第1章 线性系统的状态空间描述 系统的数学模型2021/6/31要解决的问题1.什么是状态空间描述（模型）？2.描述（模型）？描述（模型）？就是方程就是方程(组组)的意思的意思状态？状态？ 指方程指方程(组组)中含有中含有状态变量状态变量 空间？空间？ 状态变量的个数状态变量的个数=状态空间的维数状态空间的维数 在本章中，建立系统的状态空间描述，实际上在本章中，建立系统的状态空间描述，实际上就是人为选择一组状态变量，用含这些状态变量及就是人为选择一组状态变量，用含这些状态变量及其一阶导数的其一阶导数的一阶微分方程组一阶微分方程组来表示系统输入和输来表示系统输入和输出之间的关系。出之间的关系。2021/6/32要解决的问题2. 怎么才能列出状态空间描述（模型）？A.通过物理机理直接列出状态空间模型；通过物理机理直接列出状态空间模型；B.B. 由经典控制理论中的数学模型（微分由经典控制理论中的数学模型（微分方程或传递函数）导出。方程或传递函数）导出。2021/6/331.1 状态空间的概念1.引入引入2. 例例1：P41 图图2.1 图示电路中，设图示电路中，设u为输入，为输入，uc为输出，求系统的输入输出关系。为输出，求系统的输入输出关系。2021/6/341.1 状态空间的概念2. 状态变量的概念状态变量的概念 能够完整的、准确的描述系统行为的最少一组能够完整的、准确的描述系统行为的最少一组变量。若已知这组变量在变量。若已知这组变量在t=t0时刻的值和时刻的值和tt0时刻的时刻的输入信号，则系统在输入信号，则系统在tt0时刻的行为就可以被完全时刻的行为就可以被完全确定。这样的一组变量就称为状态变量。确定。这样的一组变量就称为状态变量。2021/6/351.1 状态空间的概念2. 状态变量的概念状态变量的概念 设一个系统中有设一个系统中有A，B两个物理量，若两个物理量，若则就可以被考虑选为状态变量之一。则就可以被考虑选为状态变量之一。例如：2021/6/361.1 状态空间的概念2. 状态变量的概念状态变量的概念 （1）状态变量的物理意义可以理解为系统中与储）状态变量的物理意义可以理解为系统中与储能元件有关系的积分物理量。能元件有关系的积分物理量。（2）不是所有的积分物理量都可以被选为状态变）不是所有的积分物理量都可以被选为状态变量，必须是独立变量。量，必须是独立变量。（3）若系统为）若系统为n阶，则系统有且只有阶，则系统有且只有n个独立的状个独立的状态变量，即只能列出态变量，即只能列出n个独立的一阶微分方程。个独立的一阶微分方程。2021/6/371.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般（规范）形式状态空间模型的一般（规范）形式 例2：P43 图2.4状态变量状态变量输入信号输入信号状态变量的一阶导数状态变量的一阶导数状态变量状态变量输入信号输入信号输出信号输出信号2021/6/381.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般（规范）形式状态空间模型的一般（规范）形式 为了描述方便，在建立系统的状态空间模型时做为了描述方便，在建立系统的状态空间模型时做如下规定：如下规定： 状态变量状态变量统一用统一用x表示，多个状态变量就分别用表示，多个状态变量就分别用x1， x2,表示；表示； 输入信号输入信号统一用统一用u表示，多个输入信号就分别用表示，多个输入信号就分别用u1，u2,表示；表示； 输出信号输出信号统一用统一用y表示，多个输出信号就分别用表示，多个输出信号就分别用y1，y2,表示；表示；2021/6/391.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般（规范）形式状态空间模型的一般（规范）形式 例2：P43 图2.4ABCDx1x2uy2021/6/3101.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般（规范）形式状态空间模型的一般（规范）形式 例2：P43 图2.4令状态方程输出方程状态向量2021/6/3111.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般（规范）形式状态空间模型的一般（规范）形式 若系统为时变系统，则系数矩阵若系统为时变系统，则系数矩阵A、B、C、D可能与时间可能与时间有关，此时系统的状态空间描述为有关，此时系统的状态空间描述为说明说明:（1）对于输入、输出和状态变量而言，）对于输入、输出和状态变量而言，u1,x1,y1和和 u1(t),x1(t),y1(t)这两种写法是一个意思。这两种写法是一个意思。 （2）对于系数矩阵而言，用）对于系数矩阵而言，用A、B、C、D表示通常是表示通常是 指系统为定常系统，用指系统为定常系统，用A(t),B(t),C(t),D(t)表示通表示通 常是指系统为时变系统。常是指系统为时变系统。2021/6/3121.1 状态空间的概念4. 状态空间模型的方框图状态空间模型的方框图 +注意：顺着箭头的方向，输出顺着箭头的方向，输出=方框方框输入，顺序不能颠倒输入，顺序不能颠倒2021/6/3131.1 状态空间的概念5. 关于状态空间模型的几点说明关于状态空间模型的几点说明（1）经典控制理论中的数学模型为）经典控制理论中的数学模型为输入输入输出输出模型，模型，状态空间模型为状态空间模型为输入输入状态状态输出输出模型。模型。（2）状态空间模型中只包含输入变量、状态变量和）状态空间模型中只包含输入变量、状态变量和输出变量，不能包含有其它的变量。输出变量，不能包含有其它的变量。2021/6/3141.1 状态空间的概念5. 关于状态空间模型的几点说明关于状态空间模型的几点说明（3）状态变量的选择是不唯一的。）状态变量的选择是不唯一的。 P41页页 例例2.1中，若选择电容电荷中，若选择电容电荷q(t)和电流和电流i(t)作为状态变量，则状态空间的模型为：作为状态变量，则状态空间的模型为：令令2021/6/3151.1 状态空间的概念5. 关于状态空间模型的几点说明关于状态空间模型的几点说明（3）状态变量的选择是不唯一的。）状态变量的选择是不唯一的。例：例：U(t)为输入电压信号，取为输入电压信号，取u2作为输出信号作为输出信号取取或或均可。均可。2021/6/3161.1 状态空间的概念5. 关于状态空间模型的几点说明关于状态空间模型的几点说明取取取取2021/6/3171.1 状态空间的概念5. 关于状态空间模型的几点说明关于状态空间模型的几点说明（4）状态变量不是随意选择的）状态变量不是随意选择的问：取问：取或或或或或或可否？可否？2021/6/3181.1 状态空间的概念本次课应了解的知识点（1）状态空间模型是什么？）状态空间模型是什么？状态空间模型状态空间模型 状态方程：一阶微分方程组，只含输入、状态方程：一阶微分方程组，只含输入、 状态变量及其一阶导数。状态变量及其一阶导数。输出方程：代数方程组，只含输出、输出方程：代数方程组，只含输出、 输出及状态变量输出及状态变量2021/6/3191.1 状态空间的概念本次课应了解的知识点（2）状态变量的物理意义是什么？）状态变量的物理意义是什么？ 状态变量从物理意义上而言指的是能够反映整状态变量从物理意义上而言指的是能够反映整个系统中独立储能元件的储能多少（状态）的物理个系统中独立储能元件的储能多少（状态）的物理量。量。 2021/6/3201.1 状态空间的概念本次课应了解的知识点（3）状态变量的选择依据是什么？）状态变量的选择依据是什么？ 在在t=t0时刻，在已知输入和某一组变量的值的情况时刻，在已知输入和某一组变量的值的情况下，若系统中所有独立储能元件的状态都可以被确下，若系统中所有独立储能元件的状态都可以被确定下来，则这一组变量就可以被选为状态变量。定下来，则这一组变量就可以被选为状态变量。 2021/6/3211.1 状态空间的概念本次课应了解的知识点（4）状态变量要选多少个？）状态变量要选多少个？ A. n阶系统的状态变量有且只有阶系统的状态变量有且只有n个。个。 B. 系统中有多少个独立储能元件，状态变量就有多系统中有多少个独立储能元件，状态变量就有多少个。少个。 2021/6/3221.1 状态空间的概念需要大家自行验证的结论 若若X是系统中的一组状态变量（是系统中的一组状态变量（n个），个），P是任意是任意nn非奇异矩阵，则非奇异矩阵，则也是系统的一组状态变量。也是系统的一组状态变量。2021/6/3231.2 微分方程状态空间模型1.方程中不含输入信号的导数方程中不含输入信号的导数（1）状态变量的选择方法）状态变量的选择方法2021/6/3241.2 微分方程状态空间模型1.方程中不含输入信号的导数方程中不含输入信号的导数（2）状态空间模型的形式）状态空间模型的形式2021/6/3251.2 微分方程状态空间模型2.方程中含输入信号的导数方程中含输入信号的导数（1）状态变量的选择方法）状态变量的选择方法待定系数待定系数2021/6/3261.2 微分方程状态空间模型2.方程中含输入信号的导数方程中含输入信号的导数（2）状态空间模型的形式）状态空间模型的形式2021/6/3271.3 传递函数状态空间模型1.传递函数的极点两两相异传递函数的极点两两相异（1）选择状态变量）选择状态变量2021/6/3281.3 传递函数状态空间模型1.传递函数的极点两两相异传递函数的极点两两相异（2）状态空间表达式）状态空间表达式可以证明：矩阵可以证明：矩阵A的特征方程式就是的特征方程式就是传递函数的分母，矩阵传递函数的分母，矩阵A的特征值就的特征值就是传递函数的极点。是传递函数的极点。若矩阵若矩阵A A是对角阵，是对角阵，相应的状态方程就相应的状态方程就称为对角规范型。称为对角规范型。2021/6/3291.3 传递函数状态空间模型2.传递函数的极点为一个重根传递函数的极点为一个重根（1）选择状态变量）选择状态变量2021/6/3301.3 传递函数状态空间模型2.传递函数的极点为一个重根传递函数的极点为一个重根（2）状态空间表达式）状态空间表达式若矩阵若矩阵A A是约当阵，是约当阵，相应的状态方程就相应的状态方程就称为约当规范型。称为约当规范型。2021/6/3311.3 传递函数状态空间模型3.传递函数的极点为多个重根传递函数的极点为多个重根2021/6/3321.3 传递函数状态空间模型3.传递函数的极点为多个重根传递函数的极点为多个重根2021/6/3331.3 传递函数状态空间模型4.传递函数的极点同时具有单根和重根传递函数的极点同时具有单根和重根单根单根重根重根2021/6/3341.3 传递函数状态空间模型4.传递函数的极点同时具有单根和重根传递函数的极点同时具有单根和重根2021/6/335