经验谈：经验谈：你见过两片完全相同的树叶吗？你见过你见过两片完全相同的树叶吗？你见过两个完全相同的事物吗？也许你从未意识到两个完全相同的事物吗？也许你从未意识到这世界上还有完全相同。在这里我们将引导这世界上还有完全相同。在这里我们将引导你的思路，给你解题技巧：完全相同你的思路，给你解题技巧：完全相同-全等全等三角形。三角形。内容综述：内容综述： 三解形是平面几何中最重要的图形，三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要根底。三角形全边形乃至立体几何的重要根底。三角形全等的判定和性质是证明有关三角形问题的等的判定和性质是证明有关三角形问题的根底，必须熟练掌握。判定两个三角形全根底，必须熟练掌握。判定两个三角形全等的方法有：等的方法有：SAS，ASA，AAS，SSS。全等三角形的性质：全等三角形的对应边、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角及其它对应元素相等。对应角及其它对应元素相等。试一试试一试年武汉如图年武汉如图,A在在DE上上,F在在AB上上,且且AC=CE, 1=2=3,那么那么DE的长等于的长等于( )A.DC B.BC C.AB D.AE+AC(2004年重庆竞赛年重庆竞赛)如图，在如图，在中，分别是边，上的点，中，分别是边，上的点，交于，的延长线交，交于，的延长线交于点，假设于点，假设，那么图中的全等三角形共有那么图中的全等三角形共有A.3对对 B.5对对 C.6对对 D.7对对ABCHDEF12CD例例1：如图：如图2-7-1，ABC和和DCE均均是等边三角形，是等边三角形，B、C、E三点共线，三点共线，AE交交CD于于G，BD交交AC于于F。求证：求证： AE=BD CF=CG思路思路 证明证明ACEBCD。证明证明 ABC和和DCE都是等边三角形，都是等边三角形， CB=CA， CD=CE，BCA=ECD=60， BCD=ACE=120， BCDACE， AE=BD。思路思路 证明证明FCDGCE。证明证明 由由BCDDCE都是等边三角形可知都是等边三角形可知 CD=CE，BCA=ECD=60 ACD=180- BCA- ECD=60 FCDGCE， CF=CG例例2：如图：如图2-7-2，在正方形，在正方形ABCD中，中，M是是AB的中点，的中点，MNMD，BN平分平分CBE。求证：求证：MD=MN。思路：取思路：取AD的中点的中点P，连结，连结PM，证明，证明DMPMNB。证明：取证明：取AD的中点的中点P，连结，连结PM，那么有，那么有DP=MB。 DMMN， DMA+BMN=90，又由正方形又由正方形ABCD 知知A=90， DMA+MDA=90， BMN=MDA又又 BN平分平分CBE， MBN=135 又由又由P、M分别为分别为AD、AB的中点，的中点，ABCD是正方形，是正方形， 得得PAM是等腰直角三角形，故是等腰直角三角形，故DPM=135。 DPM=MBN， DPMMBN， DM=MN。问问:假设把条件假设把条件“M是是BC的中点改的中点改为为“M是是BC边上任意一点边上任意一点,其他条件不变其他条件不变,结论还成立吗结论还成立吗?BCADMN答答:结论仍成立结论仍成立.在在BA上截取上截取BP=BM,连结连结MP.P证证APMMCN,有条件吗有条件吗?例例3：如图：如图2-7-3，ABC中，中，ABC=2C，BAC的平分线交的平分线交BC于于D。求证：求证：AB+BD=AC思路思路1：延长：延长AB到到E，使，使BE=BD，证明，证明AEDACD。证法证法1：延长：延长AB到到E，使，使BE=BD，连结，连结ED，那么，那么E=BDE。 ABD=E+BDE=2E 又又 ABC=2C， C=E AD平分平分BAC， 1=2， 又又 AD=AD， ADEADC， AC=AE。即即 AC=AB+BE=AB+BD。思路思路2：在AC上取一点E，使AE=AB， 证明AEDABD。证法证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。由AD平分BAC 得1=2又 AD=AD， ADBADE， AED=ABC，DE=DB，又 ABC=2C， AED=2C又 AED=EDC+C， EDC=C， ED=EC， EC=BD， AB+BD=AE+EC+AC。例例4 如图如图2-7-4，ABC中，中，ACAB，AD平分平分BAC，P为为AD上任一点，上任一点，连结连结PB、PC。求证：求证：PC-PBAC-AB。思路： 通过构造全等三角形，把PC、PB、AC、AB集中在同一三角形中，利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明此题结论。证明：证明：在在AC上取点上取点E，使，使AE=AB，连结，连结PE，由，由AD平分平分ABC得得1=2。又又 AE=AB， AP=AP，APEAPB， PE=PB，在在 EPC中，中，PC-PEEC，即即PC-PBAC-AE。 PC-PB1),那么那么m的最小正整的最小正整数值是数值是_。提示：由题意得：提示：由题意得：(m-1)+mm+1m2故故m的最小正整数值是的最小正整数值是3。34、如图、如图2-7-8，D、E分别为等边分别为等边ABC的的AB、AC边上的点，且边上的点，且AD=CE，CD和和BE交于点交于点P，那么，那么BPD的度数是多少？的度数是多少？由由AD=CE，A=BCE=60，AC=BC，可，可得得DACECB，从而得，从而得DCA=EBC，故，故BPD=EBC+BCD=DCA+BCD=BCA=60。5、给定、给定ABC的三个顶点和它内部的七的三个顶点和它内部的七个点，且这十个点中的任意三点均不共个点，且这十个点中的任意三点均不共线，那么以这十个点为顶点能将线，那么以这十个点为顶点能将ABC分割为互不重叠的小三角形个数为分割为互不重叠的小三角形个数为_。提示：会聚在提示：会聚在ABC内每一点的诸角之和为内每一点的诸角之和为，个点就有个周角，又，个点就有个周角，又的内的内角之和为角之和为；所以，所有小三角形的内角和；所以，所有小三角形的内角和为为：。又由于每：。又由于每个三角形的内角和为个三角形的内角和为，故小三角形的个数，故小三角形的个数为：为：。6.如图如图2-7-9，点，点C是线段是线段AB上一上一点，点，ACD和和BCE是两个等边是两个等边三角形，点三角形，点D、E在在AB同旁，同旁，AE、BD分别分别CD、CE于于G、H，那么，那么CG和和CH的大小关系是的大小关系是_。DACEBGH提示：易证提示：易证ACE=DCB=120，又因为，又因为AC=DC，EC=BC，从而得，从而得ACEDCB，那么，那么AEC=DBC，又因为，又因为GCE=HCB=60，EC=BC，从而，从而GECHBC，故，故CG=CH。CG=CH问问:当点当点A,C,B不在同一条直线不在同一条直线上时上时,上述结论是否仍成立上述结论是否仍成立?7.如图如图,在在ABC中中ABAC,AM为角平分线，那么为角平分线，那么BM和和MC的大小关系是的大小关系是_ABCMBMMC提示：如图，在AB上截取AD=AC，连结DM，易证易证ADMACM，从而，从而MC=MD，又因为又因为BDMAMD=AMCB, 从而从而BMMD， 所以所以BMMC。D8.如图如图2-7-10，在，在ABC中，经过中，经过BC的中点的中点M，有垂直相交于，有垂直相交于M的两的两条直线，它们与条直线，它们与AB、AC分别交于分别交于D、E，求证：，求证：BD+CEDE.ABCMDE延长延长DM到到D ，使，使DM=MD ,连结连结CD,DE. DD ME DE=ED BM=MC DM=MD, BMD=CMD BMDCMD BD=CD 在在EDC中有中有EC+CD ED ,故故BD+CEDE.D9.(第五届希望杯第五届希望杯2试试)如图如图,在正方形在正方形ABCD内有一内接内有一内接AEF,假设假设EAF=45,AB=8,EF=7,求求CEF的面积的面积ABCDEFG解解:延长延长EB到到G,使使BG=DF,连结连结AG.AB=AD, 可证可证ABGADF.得得 2=3,又又1+2=EAF=45,1+3=45,即即GAE=FAE.从而可证从而可证AEFAEG, EF=EG=7,CEF的面积正方形的面积正方形ABCD的面积的面积个个的面积的面积123 310.(2002年江苏如图，等边年江苏如图，等边ABC，在，在AB上上取点取点D，在，在AC上取点上取点E，使得，使得AD=AE，分别作，分别作等边三角形等边三角形PCD，QAE，RAB。求证：求证：P，Q，R是等边三角形的三个顶点。是等边三角形的三个顶点。RAQBCPD证明：连结证明：连结BP先证先证ADCBPC。有条件吗？。有条件吗？ACD=BCP 为什么？为什么？得得AD=BP， CBP= CAD=60。再证再证R，A，Q三点共线，三点共线，P，B，R三点共线。三点共线。而而AQ=AE=AD=BP RQ=RA+AQ=RB+BP=RP，又，又 PRQ=60，故，故 PQR是等边三角形，即是等边三角形，即P，Q，R三点三点是等边三角形的三个顶点。是等边三角形的三个顶点。E