第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限1这个概念贯串着整个数学分析，并在数学的其它领域中起重要作用。 因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表达。 微分、积分都可用极限运算来描述。 掌握极限的概念和运算很重要。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。 变量的变化有各种各样的情况，有一类变量是经常遇到，这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对也就是说它在变化的过程中无限的接近于某一确定的常数。极限概念前言极限概念前言稳定的状态。极限概念是高等数学中最基本的概念，2“割之弥细，所失弥少，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无割，则与圆周合体而无所失矣所失矣”播放播放刘徽刘徽正六边形的面积 A 1正十二边形的面积 A 21 1、割圆术：、割圆术：一、数列一、数列31 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入41 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入5“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入6“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入7“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入8“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入9“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入10“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入11“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入12之半，如此分割下去问：共去棒长多少？解：解：把所去之半排列起来：此是公比为的等比数列引例引例2：第一次去其一半， 第二次再去所余“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”一尺之棰，共去棰长13等比数列的前等比数列的前n 项和的公式项和的公式设等比数列等比数列的前n 项之和，上式两边同时乘以q 有：上（1）式两边分别减去（2）式的两边得：当时141 1、数列的定义、数列的定义依次排列的一列无穷多个数：称为数列数列， 其中每一个数称为数列的项项，第 n 项 xn称为数列的一般项一般项（或通项）， 下标称为数列的项数。或按照一定的法则，定义定义1数列简记为15可看作一动点在数轴上依次取数列对应着数轴上一个点列，数列是整标函数数列是整标函数162、 数列的性质数列的性质（1） 有界性有界性设已知数列若存在 M 0 , 对于一切 n 都有则称数列是有界的；否则，若不存在这样的正数 M，则称是无界的。例如：例如：数列都是有界的， 而数列是无界的。17( 2） 单调性单调性则称此数列是单调减少的。单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。例如:是单调增加数列;是单调减少数列其特点是数列的点作定向移动，单增向右，单减向左。反之若则称此数列是单调增加的；若的项 xn 随着项数 n 的增大而增大，即满足18数学语言描述:二、数列极限的定义二、数列极限的定义引例引例. 设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .如图所示 , 可知当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术刘徽割圆术) , 当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积总有19引例引例在1 与 1 之间跳动观察可见：的变化趋势只有两种： 不是无限地接近某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。由此， 得到数列极限的初步定义如下：观察下列数列的变化趋势20定义定义2若当 时，一般项无限地接近于某个则称 A 为数列的极限，记作或（读作 n 趋向无穷大时，趋向于 A ）.若当 时，不接近于任何确定常数A ,确定的常数 A ,则称数列没有极限。21而无极限我们称有极限的数列为收敛数列，收敛数列，无极限的数列为发散数列。发散数列。例如：例如：22例如例如,趋势不定收 敛发 散23及常数 a 有下列关系 :当 n N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .即或则称该数列的极限为 a ,若数列为了精确的反映接近 a 的程度与 n 之间的关系给出定义定义324为具体的说明几何解释几何解释 :考察一般项为数列，当 n 无限增大时 xn 与 2的距离无限的小. 当 n N 时, 总有欲使25由取只要即从10001 项起以后的所有点与 2 的距离小于即有取只要即从101 项起以后的所有点与 2 的距离小于即有26主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第三讲27例例1. 已知证明数列的极限为1. 证证: 欲使即只要因此 , 取则当时, 就有故2829303132333435363738394041例例2. 已知证明证证:欲使只要即取则当时, 就有故故也可取也可由N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取42例例3. 设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此 , 取, 则当 n N 时, 就有故的极限为 0 . 43证：证：只要注：1、化简（必要时适当地放大）2、用倒推法得到与n有关的一系列不等式例例4 4 求证即当时，恒有44三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质证证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而45矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式462. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设取则当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,虽有界但不收敛 .有数列473. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时, 有证证: 对 a 0 , 取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)48*4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列是数列的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *49由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !则原数列一定发散 。说明说明: :50内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯 一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限51思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时, 下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处52