第三节第三节 参数的区间估计参数的区间估计一一. 区间估计根本概念区间估计根本概念二二. 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计三三. 内容小结内容小结 引言引言 前面，我们讨论了参数的点估计前面，我们讨论了参数的点估计, 它是用样本算得的一个估计值去估计未它是用样本算得的一个估计值去估计未知参数知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，这是点估计的一个缺似值的误差范围，这是点估计的一个缺陷。下面我们将介绍的区间估计正好弥陷。下面我们将介绍的区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷补了点估计的这个缺陷 .一、区间估计的根本概念一、区间估计的根本概念1. 置信区间的定义置信区间的定义(6.7)(6.7) 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间内内.由定义可见，由定义可见， 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限(X1,Xn)(X1,Xn)2. 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤( (共共3步步) )二、正态总体均值与方差的区间估计二、正态总体均值与方差的区间估计1.I. 单个正态总体均值与方差的区间估计单个正态总体均值与方差的区间估计 推导过程如下推导过程如下:这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成其置信区间的长度为其置信区间的长度为 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了12包糖包糖,称得重量称得重量(单位单位:克克)分别为分别为506,500,495,488,504,486,505, ,513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布, ,解解 附表附表2-12-1例例1附表附表2-22-2查表得查表得从以上解题过程还可以看出，求未知参数的区间从以上解题过程还可以看出，求未知参数的区间估计最关估计最关 键一步是，选择适宜的函数并求出它的键一步是，选择适宜的函数并求出它的分布；其次是对给定的分布；其次是对给定的 实数实数 ，查分位数表，查分位数表求出分位点，通过不等式变形得到参数的区间求出分位点，通过不等式变形得到参数的区间估计估计 。 我们将以上步骤总结成一个顺口流我们将以上步骤总结成一个顺口流,帮助同学们帮助同学们记忆。这就是：记忆。这就是： 区间估计并不难，选择函数是关键，区间估计并不难，选择函数是关键， 给定给定 查数表，不等式变形得区间。查数表，不等式变形得区间。推导过程如下推导过程如下:解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋, 称得称得重量重量(克克)如下如下: 设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值试求总体均值附表附表3-13-1例例2就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间, 这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%.这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%.解解附表附表3-23-2例例3 ( (续例续例1)1)如果只假设糖包的重量服从正态分布如果只假设糖包的重量服从正态分布解解例例4推导过程如下推导过程如下:根据第五章第三节定理根据第五章第三节定理5.8知知II.进一步可得进一步可得:注意注意: 在密度函数不对称时在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图). (续例续例2) 求例求例2 2中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间的置信区间. .解解代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间附表附表4-14-1附表附表4-24-2例例52、两个正态总体均值与方差的区间估计、两个正态总体均值与方差的区间估计 讨论两个总体讨论两个总体均值差均值差和和方差比方差比的估计问题的估计问题.推导过程如下推导过程如下:I.例例6机床厂某日从两台机床加工的零件中机床厂某日从两台机床加工的零件中,分别分别抽取抽取 假设干个样品假设干个样品,测得零件尺寸分别如下测得零件尺寸分别如下(单位单位:cm): 第一台机器第一台机器 6.2, 5.7, 6.5, 6.0, 6.3, 5.8 5.7, 6.0, 6.0, 5.8, 6.0 第二台机器第二台机器 5.6, 5.9, 5.6, 5.7, 5.8 6.0, 5.5, 5.7, 5.5 假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布,且且方差相等方差相等,试求两机床加工的零件平均尺寸之试求两机床加工的零件平均尺寸之差的差的区间估计区间估计 解解 用用 X 表示第一台机床加工的零件尺寸表示第一台机床加工的零件尺寸,用用 Y表示第二台机床加工的零件尺寸表示第二台机床加工的零件尺寸,由由 题设题设经计算，得经计算，得置信下限置信下限置信上限置信上限故所求故所求 的置信度为的置信度为95%的置信的置信区间为区间为 0.0912,0.5088.推导过程如下推导过程如下:II.根据根据F分布的定义分布的定义, 知知解解例例7 研究由机器研究由机器A和机器和机器B生产的钢管内径生产的钢管内径, 随随机抽取机器机抽取机器A生产的管子生产的管子18只只, 测得样本方差为测得样本方差为均未知均未知, 求方差比求方差比区间区间.设两样本相互独设两样本相互独抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子13只只,测测得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器A和机器和机器B生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布信信三、内容小结三、内容小结 点估计不能反映估计的误差和精度点估计不能反映估计的误差和精度, 因此，因此，本节引入了区间估计本节引入了区间估计.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(分三步分三步).正态总体均值与方差的置信区间正态总体均值与方差的置信区间当n1,n2充分大时近似置信区间附表附表2-12-1标准正态分布表标准正态分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表附表2-22-2标准正态分布表标准正态分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.091.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表附表3-13-1 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208分布表分布表1.8125附表附表3-23-2 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.92082.1315分布表分布表附表附表4-14-1= 0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表分布表17.535=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.9123.247附表附表4-24-2分布表分布表=0.250.100.050.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.32834.382附表附表4-34-3分布表分布表附表附表5-15-1分布表分布表 1234567891012152024304012012345678910111213141516171819647.838.5117.4412.2210.01 8.81 8.07 7.57 7.21 6.94 6.72 6.55 6.41 6.30 6.20 6.12 6.04 5.95 5.92799.539.0016.0410.65 8.43 7.26 6.54 6.06 5.71 5.46 5.26 5.10 4.97 4.86 4.77 4.69 4.62 4.56 4.51864.239.1715.44 9.98 7.76 6.60 5.89 5.42 5.08 4.83 4.63 4.47 4.35 4.24 4.15 4.08 4.01 3.95 3.90899.639.2515.10 9.60 7.39 6.23 5.52 5.50 4.72 4.47 4.28 4.12 4.00 3.89 3.80 3.73 3.66 3.61 3.56921.839.3014.88 9.36 7.15 5.99 5.29 4.82 4.48 4.24 4.04 3.89 3.77 3.66 3.58 3.50 3.44 3.38 3.33937.139.3314.73 9.20 6.98 5.82 5.12 4.65 4.23 4.07 3.88 3.73 3.60 3.50 3.41 3.34 3.28 3.22 3.17948.239.3614.62 9.07 6.85 5.70 4.99 4.53 4.20 3.95 3.76 3.61 3.48 3.38 3.29 3.22 3.16 3.10 3.05956.739.3714.54 8.98 6.76 5.60 4.90 4.43 4.10 3.85 3.66 3.51 3.39 3.29 3.20 3.12 3.06 3.01 2.96963.339.3914.47 8.90 6.68 5.52 4.82 4.36 4.03 3.78 3.59 3.44 3.31 3.21 3.12 3.05 2.98 2.93 2.88968.639.4014.42 8.84 6.62 5.46 4.76 4.30 3.96 3.72 3.53 3.37 3.25 3.15 3.06 2.99 2.92 2.87 2.82976.739.4114.34 8.75 6.52 5.37 4.67 4.20 3.87 3.62 3.43 3.28 3.15 3.05 2.96 2.89 2.82 2.77 2.72984.939.4314.25 8.66 6.43 5.27 4.57 4.10 3.77 3.52 3.33 3.18 3.05 2.95 2.86 2.79 2.72 2.67 2.62993.139.4514.17 8.56 6.33 5.17 4.47 4.00 3.67 3.42 3.23 3.07 2.95 2.84 2.76 2.68 2.62 2.56 2.51997.239.4614.12 8.51 6.28 5.12 4.42 3.59 3.61 3.37 3.17 3.02 2.89 2.79 2.70 2.63 2.56 2.50 2.45100139.4614.08 8.46 6.23 5.07 4.36 3.89 3.56 3.31 3.12 2.96 2.84 2.73 2.64 2.57 2.50 2.44 2.39100639.4714.04 8.41 6.18 5.01 4.31 3.84 3.51 3.26 3.06 2.91 2.78 2.67 2.59 2.51 2.44 2.38 2.33101439.4913.95 8.31 6.07 4.90 4.20 3.73 3.39 3.14 2.94 2.79 2.66 2.55 2.46 2.38 2.32 2.26 2.20101839.5013.90 8.26 6.02 4.85 4.14 3.67 3.33 3.08 2.88 2.72 2.60 2.49 2.40 2.32 2.25 2.19 2.134.90 1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 3.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.41 4.38199.519.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 5.55 3.52215.719.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.81 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13224.619.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90230.219.30 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 2.96 2.90 2.85 2.81 2.77 2.74234.019.33 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 2.85 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63236.819.35 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54238.919.37 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 2.70 2.64 2.59 2.55 2.51 2.4824.0519.38 8.81 6.00 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 2.65 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42241.919.40 8.79 5.96 4.74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67 2.60 2.54 2.49 2.45 2.41 2.38245.919.43 8.70 5.86 4.62 3.94 2.51 3.22 3.01 2.85 2.72 2.62 2.53 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23248.019.45 8.66 5.80 4.56 3.87 3.44 3.15 2.94 2.77 2.65 2.54 2.46 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.16249.119.45 8.64 5.77 4.53 3.84 3.41 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11250.119.46 8.62 5.75 4.50 3.81 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 5.47 2.38 2.31 2.25 2.19 2.15 2.11 2.07151.119.47 8.59 5.72 4.46 3.77 3.34 3.04 2.83 2.66 2.53 2.43 2.34 2.27 2.20 2.15 2.10 2.06 2.03252.219.48 8.57 5.69 4.43 3.74 3.30 3.01 2.79 2.62 2.49 2.38 2.30 2.22 2.16 2.11 2.06 2.02 1.98253.319.49 8.55 5.66 4.40 3.70 3.27 2.97 2.75 2.58 2.45 2.34 2.25 2.18 2.11 2.06 2.01 1.97 1.93254.319.50 8.53 5.63 4.36 3.67 3.23 2.93 2.71 2.54 2.40 2.30 2.21 2.13 2.07 2.01 1.96 1.92 1.88附表附表5-25-2分布表分布表2.31求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(分三步分三步). ，有，有于任意的于任意的知参数具有预先给定的高概率置信度，即对知参数具有预先给定的高概率置信度，即对它覆盖未它覆盖未置信区间是一个随机区间置信区间是一个随机区间 点估计不能反映估计的误差和精度点估计不能反映估计的误差和精度, 因此，因此，本节引入了区间估计本节引入了区间估计.内容小结内容小结内容小结内容小结正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计1. 单个总体均值单个总体均值的置信区间的置信区间2. 单个总体均值单个总体均值的置信区间的置信区间3. 两个总体均值差两个总体均值差的置信区间的置信区间4. 两个总体方差比两个总体方差比的置信区间的置信区间某商店每百元投资的利润服从正态分布，某商店每百元投资的利润服从正态分布，均值为均值为方差为方差为其中其中现随机抽现随机抽取的五天的利润率为取的五天的利润率为 -0.2，0.1，0.8，-0.6，0.9，试求试求的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为使的置信区间为使的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间长度不超过的置信区间长度不超过0.4，那，那么么至少应随机抽取多少天的利润才能到达至少应随机抽取多少天的利润才能到达.解解 以以表示每天的利润率，方差表示每天的利润率，方差已知，则已知，则 的置信区间为的置信区间为例例例例1-11-1由题意可得置信度为由题意可得置信度为查标准正态分布表得查标准正态分布表得故故的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为当当未定时，置信区间长度为未定时，置信区间长度为由由，则，则所以所以例例1-2某单位要估计平均每天职工的总医疗费，某单位要估计平均每天职工的总医疗费， 观察了观察了30天天,其总金额的平均值是其总金额的平均值是170元，标准差元，标准差为为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区区间估计置信水平为区间估计置信水平为0.95.解解 设每天职工的总医疗费为设每天职工的总医疗费为大样本，由中心极限定理得，大样本，由中心极限定理得，近似服从正态分布近似服从正态分布未知，用样本标准差未知，用样本标准差近似代替近似代替.取统计量取统计量近似服从正态分布近似服从正态分布对给定的置信水平对给定的置信水平, 确定分位确定分位数数使使故均值故均值的置信水平为的置信水平为的区间估计为的区间估计为将将代入上代入上述区间得，述区间得，的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间是的置信区间是两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠个，从乙机床生产的滚珠 中抽取中抽取9个，测得这些滚珠的直径个，测得这些滚珠的直径mm如下如下:甲机床甲机床:15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8乙机床乙机床:15.2，15.0，14.8，15.1，15.6，14.8，15.1，14.5，15.01假设两台机床生产的滚珠直径的标准差假设两台机床生产的滚珠直径的标准差分分别是别是，求这两台机床生产的，求这两台机床生产的滚珠直径均值差滚珠直径均值差的置信度为的置信度为0.90的置信的置信区间区间.例例例例4-14-1 2假假设设未知，求未知，求度为度为0.90的置信区间的置信区间.的置信的置信3假设两台机床生产的滚珠直径的均值分假设两台机床生产的滚珠直径的均值分别是别是，求方差比，求方差比的置的置信度为信度为0.90的置信区间的置信区间. （4）若）若未知，求方差比未知，求方差比的置的置信度为信度为0.90的置信区间的置信区间.解解 1当当时，时，信度为信度为0.90的置信区间为的置信区间为的置的置查标准正态分布表得查标准正态分布表得，从而，从而故置信区间为故置信区间为2当当未知时，未知时，的置信度的置信度为为0.90的置信区间为的置信区间为式中式中，那，那么么3当当时，时，的置信度为的置信度为的置信区间为的置信区间为这里这里从而得从而得的的0.90的置信区间为的置信区间为 4当当未知时，未知时，的置信度为的置信度为的的0.90的置信区间为的置信区间为这里这里从而从而的的0.90的置信区间为的置信区间为