12第九章第九章 扭扭 转转 9-1 引言引言 9-2 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 9-4 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 9-5 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 9-6 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 9-7 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 *9-8 非圆截面轴扭转简介非圆截面轴扭转简介3工工 程程 实实 例例对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽91 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 4工工 程程 实实 例例91 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 5扭转扭转：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式。：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式。扭力偶扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶，其矩为扭力偶矩。：使杆产生扭转变形的外力偶，其矩为扭力偶矩。 轴轴：凡是以扭转为主要变形的直杆：凡是以扭转为主要变形的直杆 MMAB91 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 6构件特征构件特征：等圆截面直杆：等圆截面直杆圆轴圆轴。受力特征受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。 两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动 ，称为，称为扭转角扭转角。变形特征变形特征：纵向线倾斜一个角度：纵向线倾斜一个角度 ，称为，称为剪切角剪切角( (或或称切应变称切应变) )； MMAB91 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 7一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系 其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）其中：其中：P 功率，马力（功率，马力（PS）其中：其中： n 转速，转转速，转/分（分（rpm）MMn 转速，转转速，转/分（分（rpm）其中：其中： 角速度（角速度（1/s）P 功率（功率（W）92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 892 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 功率、角速度与外力偶矩的关系：功率、角速度与外力偶矩的关系：一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系 92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 9功率、转速与外力偶矩的关系：功率、转速与外力偶矩的关系：其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）其中：其中：P 功率，马力（功率，马力（PS） n 转速，转转速，转/分（分（rpm）一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系 92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 已知：已知：n=1450r/min,P=10KN求轴求轴AB上的扭矩上的扭矩全部标准单位全部标准单位P：KW例题例题 P170 113 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩MMMTx92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 134 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 地地扭矩变化规律；扭矩变化规律；TxMM|T|max值及其截面位置值及其截面位置 危险截面（强度计算）。危险截面（强度计算）。92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 14例例9-1已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =500r/min，主动轮，主动轮B输入输入 PB=10kW，从动轮，从动轮A、C输出输出 PA=4kW，PC=6kW.求求 轴的扭矩，试绘制扭矩图。轴的扭矩，试绘制扭矩图。解：解：外力偶矩外力偶矩92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 15例例9-1已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =500r/min，主动轮，主动轮B输入输入 PB=10kW，从动轮，从动轮A、C输出输出 PA=4kW，PC=6kW.求求 轴的扭矩，试绘制扭矩图。轴的扭矩，试绘制扭矩图。解：解：计算扭矩计算扭矩92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 1693 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚壁厚（R0：为平均半径）：为平均半径）一、薄壁圆管的扭转应力一、薄壁圆管的扭转应力1.实验前实验前绘纵向线，绘纵向线，绘圆周线。绘圆周线。R093 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 172.实验后实验后1)圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。绕轴线作了相对转动。2)各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。3) 所有矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。MM93 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 18 横截面和纵截面上无正应力横截面和纵截面上无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力半径的均匀分布的切应力 ，沿，沿圆周大小不变，而且由于管壁很圆周大小不变，而且由于管壁很薄，沿壁厚也可视为均匀分布薄，沿壁厚也可视为均匀分布,方方向与该截面的扭矩方向相同。向与该截面的扭矩方向相同。3. 推论推论 MM单元体图单元体图abcddydxabcdydxtdb T93 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 19薄壁圆筒扭转时切应力薄壁圆筒扭转时切应力 大小大小 MMTR0宽宽宽宽 * * 长长长长93 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 20二、纯剪切与切应力互等定理二、纯剪切与切应力互等定理 1. 纯剪切：纯剪切：单元体的四个侧面上只单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。2. 切应力互等定理切应力互等定理 单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy z93 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 22三、剪切虎克定律三、剪切虎克定律 与与 的关系：的关系： M 与与 的关系：的关系：R0LMM93 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 23 T=M 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时当切应力不超过材料的剪切比例极限时 （ p)，切应力与切应变成正比关系。，切应力与切应变成正比关系。93 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 24式中：式中：G为为剪切弹性模量剪切弹性模量，不同材料的，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定，钢材的钢材的G值约为值约为80GPa。u剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。的三个常数。u对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导见后面章节）：（推导见后面章节）：u在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。以推算出来。93 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 25实验实验变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面假设假设应力公式应力公式研究方法：研究方法： 强度条件强度条件94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力26等直圆杆扭转实验观察等直圆杆扭转实验观察94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力一、扭转切应力的一般公式一、扭转切应力的一般公式一、扭转切应力的一般公式一、扭转切应力的一般公式 27 1. 圆周线变形后其形状、大小、间距保持不变。圆周线变形后其形状、大小、间距保持不变。 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变成斜直线，但仍为平行线。纵向线变成斜直线，但仍为平行线。 平面假设平面假设：横截面变形后仍为形状、大小、间距不变的平：横截面变形后仍为形状、大小、间距不变的平 面；只是绕轴线发生了相对转动。面；只是绕轴线发生了相对转动。 MM94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力28一、等直圆杆扭转时横截面上的应力一、等直圆杆扭转时横截面上的应力1. 变形几何关系变形几何关系94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为研究对象为研究对象微段扭转微段扭转变形变形 d 29一、等直圆杆扭转时横截面上的应力一、等直圆杆扭转时横截面上的应力1. 变形几何关系变形几何关系距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆与到圆心的距离心的距离 成正比。成正比。 扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力302. 物理关系物理关系虎克定律虎克定律：94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力313. 静力学关系：静力学关系：令令代入物理关系式代入物理关系式 得得：OdA94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力32横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。处任一点切应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆受扭。在小变形时的等圆截面直杆受扭。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力OdA33单位：单位：mm4，m4。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。DdO94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力34由由知：当知：当Wp 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：几何量，单位：mm3或或m3。对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：二、最大扭转切应力二、最大扭转切应力二、最大扭转切应力二、最大扭转切应力94 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力36第九章第九章 扭扭 转转 9-1 引言引言 9-2 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 9-4 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力 9-5 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 9-6 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 9-7 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件 *9-8 非圆截面轴扭转简介非圆截面轴扭转简介一、实心圆截面：一、实心圆截面：ddO95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩极惯性矩：抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数38二、空心圆截面：二、空心圆截面：dDOd极惯性矩极惯性矩：抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面DdOd95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数一、实心圆截面：一、实心圆截面：二、空心圆截面：二、空心圆截面：40三、薄壁圆截面：三、薄壁圆截面：极惯性矩极惯性矩：抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数抗扭截面系数可可用平均半径用平均半径R R0 0代替代替OR095 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数例题例题9-2 AB段为实心，直径段为实心，直径d=20mmBC段空心，内外径段空心，内外径di=15，do=25mm承受的扭矩分别为承受的扭矩分别为MA=MB=100N.m,MC，求最大扭转切应力。，求最大扭转切应力。解：解：1、求转矩、求转矩2、求最大扭转切应力、求最大扭转切应力T T1 1=M=MA AT T2 2=M=MC C，实心圆截面：实心圆截面：实心圆截面：实心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：小结95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数43一、扭转失效与扭转极限应力一、扭转失效与扭转极限应力96 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 扭转屈服应力扭转屈服应力：试样扭：试样扭转屈服时横截面上的最转屈服时横截面上的最大切应力。大切应力。扭转强度极限：扭转强度极限：试样扭试样扭转断裂时横截面上的最转断裂时横截面上的最大切应力。大切应力。扭转屈服应力和扭转强扭转屈服应力和扭转强度极限统称为度极限统称为扭转极限扭转极限应力，用应力，用u u表示表示。44二、轴的强度条件二、轴的强度条件 强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：( 称为许用切应力。)强度计算：强度计算： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷：96 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 45应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。96 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 三、圆轴合理截面与减缓应力集中三、圆轴合理截面与减缓应力集中 强度条件：强度条件：96 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 三、圆轴合理截面与减缓应力集中三、圆轴合理截面与减缓应力集中 强度条件：强度条件：96 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件 T1=150NmT2=100Nm解：解：例题例题例题例题9-39-3：已知：已知：已知：已知：MMA A=150Nm=150Nm，MMB B=50Nm,M=50Nm,MC C=100Nm,=100Nm, =90MPa=90MPa校验轴的强度。校验轴的强度。校验轴的强度。校验轴的强度。都小于都小于都小于都小于 =90MPa=90MPa，满足强度条件。，满足强度条件。，满足强度条件。，满足强度条件。解：解：例题例题例题例题9-49-4：某传动轴，：某传动轴，：某传动轴，：某传动轴，T=1500Nm, ,T=1500Nm, , =50MPa=50MPa按照空心按照空心按照空心按照空心/ /实心两种方案确定横截面尺寸，并比较重量实心两种方案确定横截面尺寸，并比较重量实心两种方案确定横截面尺寸，并比较重量实心两种方案确定横截面尺寸，并比较重量1 1、实心、实心、实心、实心2 2、空心、空心、空心、空心横截面（空心横截面（空心横截面（空心横截面（空心/ /实心）之比实心）之比实心）之比实心）之比3 3、质量比。材料相同质量比等于体积比、质量比。材料相同质量比等于体积比、质量比。材料相同质量比等于体积比、质量比。材料相同质量比等于体积比 长度相同，因此等于横截面之比长度相同，因此等于横截面之比长度相同，因此等于横截面之比长度相同，因此等于横截面之比5097 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式9-7：已知：长为已知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为为GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度抗扭刚度。T T为常数为常数为常数为常数97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件51二、刚度条件二、刚度条件或或或或 称为许用单位长度扭转角，一般记做称为许用单位长度扭转角，一般记做。单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角 （扭转角的变化率）（扭转角的变化率）（扭转角的变化率）（扭转角的变化率）：因此因此97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件52刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度校核刚度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷计算许可载荷：97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件解：解：例题例题例题例题9-59-5：已知：已知：已知：已知：MMA A=180Nm,M=180Nm,MB B =320Nm,M =320Nm,MC C=140Nm,=140Nm,I Ip p=3.0*10=3.0*105 5mmmm4 4, ,l l=2m,G=80GPa,=2m,G=80GPa, o oC/m,C/m,求总扭转角。求总扭转角。求总扭转角。求总扭转角。T1=180NmT1=180NmT2=-140nmT2=-140nm总扭转角总扭转角总扭转角总扭转角解：解：例题例题例题例题9-69-6：GIGIp p已知，求两端的支反力偶矩已知，求两端的支反力偶矩已知，求两端的支反力偶矩已知，求两端的支反力偶矩T1=-MAT2=MB总扭转角总扭转角总扭转角总扭转角属于超静定问题属于超静定问题属于超静定问题属于超静定问题-Maa+MBb=05598 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介矩形截面等直杆：矩形截面等直杆： 平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。 等直圆杆扭转时的应力、变形公式不适用。 弹性力学方法求解。98 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介5698 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介57P P187187表表9 91 1可查可查 、 、 。hbh 1T max 注意！b矩形杆横截面上的切应力矩形杆横截面上的切应力: :单位长度的扭转角：最大切应力：98 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介58例例 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm，b=50mm，长度，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的的 作用作用 ，钢的，钢的G =80GPa ， =100M Pa， =1/m ，试校，试校核核 此杆的强度和刚度。此杆的强度和刚度。解：解：查表求查表求 、 校核强度校核强度98 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介59校核刚度校核刚度综上综上, ,此杆满足强度和刚度要求。此杆满足强度和刚度要求。98 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介6092(d) ， 9861例例1已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试，试绘制扭矩图。绘制扭矩图。解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩nA B C DM2 M3 M1 M492 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 62求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）11223311nA B C DM2 M3 M1 M492 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 63BC段为危险截面。段为危险截面。绘制扭矩图绘制扭矩图nA B C D4.78 4.78 15.9 6.37xT4.789.566.37kNm92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 64aa1.5 a2 a6kNm6kNm30kNm10kNm8kNm6kNm14kNm24kNm6kNmBACDE 例例例例2 2 2 2 绘制扭矩图。绘制扭矩图。绘制扭矩图。绘制扭矩图。xT92 动力传递与扭矩动力传递与扭矩 65 例例例例1 1 已知：已知：已知：已知：d=50mmd=50mm，M=1kNmM=1kNm，G=82GPaG=82GPa， A A=d/4=d/4。 求：求：求：求： A A ， A A ， maxmax 。解：解：解：解：d dMMMMA A A A95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数66例例2 功率为功率为150kW，转速为转，转速为转/秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图， 许用切应力许用切应力 =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。TM解：解：求扭矩，作扭矩图求扭矩，作扭矩图计算并校核切应力强度计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCMMx95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数67例例3 已知：已知：n=100r/min， P=10马力，马力， =20MPa， 试选择实心试选择实心轴直径轴直径d和内外径比值为和内外径比值为1/2的空心轴外径的空心轴外径 d2 。解：d d2 d195 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数68例例4已知：钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比已知：钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比 ），横截面面积相同，），横截面面积相同， 钢钢=80MPa， 铝铝=50MPa 。若仅从强度考虑，哪一根轴能承受较。若仅从强度考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？大的扭矩？解：钢质轴直径为解：钢质轴直径为d，铝质轴外径为，铝质轴外径为D，由两轴横截面面积相同得：，由两轴横截面面积相同得：钢质轴承受的扭矩：钢质轴承受的扭矩：铝质轴承受的扭矩：铝质轴承受的扭矩：所以：铝质轴承受的扭矩较大。所以：铝质轴承受的扭矩较大。95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数69例例1长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若的作用，如图，若杆的内外径之比为杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/m ，试校核此杆，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。的刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件7040NmxT代入数值得：D 。 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件7140NmxT右端面转角右端面转角为：为：97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件72例例2 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率，输入功率P1 = 500 马力，马力， 输出功率输出功率分别分别 P2 = 200马力及马力及 P3 = 300马力，已知：马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：，试确定： AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：（解：（1 1）求求外力偶矩，作扭矩图外力偶矩，作扭矩图 500400P1P3P2ACBTx(kNm)97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件73500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm)（2）按强度条件设计轴的直径）按强度条件设计轴的直径97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件74 综上：综上：500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm)（3 3）按）按刚度条件设计刚度条件设计轴的直径轴的直径97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件75 （5 5）轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应该轮应该换换位。位。 4.2142.810（4）全轴选同一直径时）全轴选同一直径时换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示。轴的扭矩如图所示。此时此时, ,轴的最大直径才为轴的最大直径才为 75 75mm。500400P1P3P2ACBTx7.0244.214(kNm)Tx(kNm)97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件761.2KNm1.2KNm3KNm3KNm 例例例例3 3 已知：已知：已知：已知：MM1 1， MM2 2， G=80GPaG=80GPa， d d1 1=75mm=75mm， d d2 2=50mm=50mm，求：求：求：求： maxmax ， maxmax 。解：作扭矩图（下图）解：作扭矩图（下图）解：作扭矩图（下图）解：作扭矩图（下图）MM1 1d d1 1MM2 2A 750A 750d d2 2B 500B 500C CT T97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件771.2KNm1.2KNm3KNm3KNmMM1 1d d1 1MM2 2A 750A 750d d2 2B 500B 500C CT T97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件78习题：习题：习题：习题： 已知：钻杆外径已知：钻杆外径已知：钻杆外径已知：钻杆外径D=60mmD=60mm，内径，内径，内径，内径d=50mmd=50mm，功率，功率，功率，功率P=10P=10马力，转速马力，转速马力，转速马力，转速n=180rpmn=180rpm，钻杆入土深度，钻杆入土深度，钻杆入土深度，钻杆入土深度L=4mL=4m，G=80GPaG=80GPa， =40MPa=40MPa。 求：（求：（求：（求：（1 1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩； （2 2）作扭矩图并进行强度校核；）作扭矩图并进行强度校核；）作扭矩图并进行强度校核；）作扭矩图并进行强度校核； （3 3）ABAB两截面的相对扭转角。两截面的相对扭转角。两截面的相对扭转角。两截面的相对扭转角。解：（解：（解：（解：（1 1）求）求）求）求阻力矩阻力矩阻力矩阻力矩x xmmT Tx xx x390Nm390NmL LMMmmx x（2 2）作扭矩图并进行强度校核作扭矩图并进行强度校核作扭矩图并进行强度校核作扭矩图并进行强度校核A AB B97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件79（2 2）作扭矩图并进行强度校核作扭矩图并进行强度校核作扭矩图并进行强度校核作扭矩图并进行强度校核（3 3） ABAB两截面的相对扭转角两截面的相对扭转角两截面的相对扭转角两截面的相对扭转角x xmmT Tx xx x390Nm390NmL LMMmmx xA AB B97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件