高等数学高等数学 函数的极限函数的极限 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 2024/9/16函数与极限2/42几何解释几何解释:复习：复习：2024/9/16函数与极限3/42 第一章 二、自变量趋于二、自变量趋于有限值有限值时函数的极限时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于一、自变量趋于无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 2024/9/16函数与极限4/42播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限2024/9/16函数与极限5/42通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.2024/9/16函数与极限6/422024/9/16函数与极限7/422.另两种情形另两种情形:2024/9/16函数与极限8/423.几何解释几何解释:2024/9/16函数与极限9/42例例1证证2024/9/16函数与极限10/42二、自变量趋向有限值时函数的极限2024/9/16函数与极限11/422024/9/16函数与极限12/422.几何解释几何解释:注意：注意：2024/9/16函数与极限13/42例例2证证例例3证证2024/9/16函数与极限14/42例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.2024/9/16函数与极限15/42例例5证证2024/9/16函数与极限16/42例例6证证2024/9/16函数与极限17/423.单侧极限单侧极限:例如例如,2024/9/16函数与极限18/42左极限左极限右极限右极限2024/9/16函数与极限19/42左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例7证证2024/9/16函数与极限20/42三、函数极限的性质2.函数极限的局部函数极限的局部有界性有界性1.唯一性唯一性2024/9/16函数与极限21/42推论推论 3.3.函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性2024/9/16函数与极限22/425. 子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定理定理推论推论4.保序性保序性定理定理2024/9/16函数与极限23/42证证2024/9/16函数与极限24/42例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .2024/9/16函数与极限25/42例例8证证2024/9/16函数与极限26/42二者不相等二者不相等,2024/9/16函数与极限27/42 第一章 二、二、 无穷大无穷大 三三 、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷小无穷小 第四节无穷小与无穷大2024/9/16函数与极限28/42四、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.2024/9/16函数与极限29/42例如例如注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数；零是可以作为无穷小的唯一的数；3. 无穷小必须与一极限过程联系起来无穷小必须与一极限过程联系起来.2024/9/16函数与极限30/422.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证必要性必要性充分性充分性2024/9/16函数与极限31/42意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);2024/9/16函数与极限32/42五、无穷大2024/9/16函数与极限33/42特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无 界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.2024/9/16函数与极限34/42不是无穷大不是无穷大无界，无界，2024/9/16函数与极限35/42证证2024/9/16函数与极限36/42六、无穷小与无穷大的关系定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证2024/9/16函数与极限37/42意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷 小的讨论小的讨论.2024/9/16函数与极限38/42七、主要内容1、函数极限的统一定义、函数极限的统一定义(见下表见下表)2024/9/16函数与极限39/42过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 2024/9/16函数与极限40/423、无穷小与无穷大主要内容、无穷小与无穷大主要内容:两个定义两个定义; 两个定理两个定理;4、几点注意、几点注意: （1）无穷小与无穷大是相对于过程而言的）无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（2） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的无穷小的数；的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.2、函数极限的性质、函数极限的性质四个定理四个定理;2024/9/16函数与极限41/42思考题思考题2024/9/16函数与极限42/42思考题解答思考题解答 答答 不能保证不能保证.例例有有2024/9/16函数与极限43/42作业作业 活页P8 4；5活页P9 3；4