第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理第一节第一节 随随 机机 误误 差差 Random Error第一节第一节 随机误差随机误差一、随机误差的产生原因一、随机误差的产生原因二、正态分布二、正态分布 Normal Distribution2 四、测量的标准差四、测量的标准差 Standard Deviation4 三、算术平均值三、算术平均值 Arithmetic Average3 定义、意义、残余误差定义、意义、残余误差分布特征分布特征 、概率密度函数、置信概率、概率密度函数、置信概率测量装置测量装置 、测量环境、测量人员、测量环境、测量人员1两组测量数据的散点图两组测量数据的散点图20.0000四、测量的标准差四、测量的标准差(Standard Deviation )12345平均值平均值第一组第一组( (张三测得张三测得) )19.999020.000619.999520.001519.9994第二组：第二组：( (李四测得）李四测得）20.000519.999620.000319.999420.0002测量某孔径得到有下列两组测得值，单位测量某孔径得到有下列两组测得值，单位mmmm 20.000020.0000 关于关于“等精度测量等精度测量”两组测量的准两组测量的准确度度一样吗确度度一样吗？大大小小大大小小低低高高张三张三李四李四分散度分散度准确度准确度定性定性定量定量定定 量量？标准差标准差两组测量数据的散点图两组测量数据的散点图20.0000标准差不是等精度测量列中任标准差不是等精度测量列中任何一个具体测得值的随机误差何一个具体测得值的随机误差 标准差标准差 Standard Deviation测量的标准偏差简称测量的标准偏差简称为标准差，也称均方为标准差，也称均方根误差。根误差。等精度测量列中的所有测得等精度测量列中的所有测得值都具有相同的标准差。值都具有相同的标准差。标准差是一个关于标准差是一个关于总体总体分布分布性质的概念。性质的概念。描述随机误差（测量描述随机误差（测量结果）分散程度的统结果）分散程度的统计量，可作为定量评计量，可作为定量评定测量精度的参数。定测量精度的参数。等精度条件下，随等精度条件下，随机误差（测量结果）机误差（测量结果）的所有可能值的所有可能值本节的重点内容本节的重点内容1 1反映等精度测量列反映等精度测量列 的分散程度的分散程度测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差2 2反映等精度测量列反映等精度测量列 的分散程度的分散程度测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差二者有何二者有何关系关系标准差的统计定义v标准差是统计参数方差开方后的值标准差是统计参数方差开方后的值。 方差定义：随机变量方差定义：随机变量X的每一个可能值对其数学期望的每一个可能值对其数学期望E（X）的偏差的平方的数学期望。）的偏差的平方的数学期望。 1测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差统计定义式：v由统计意义得在等精度测量列中，单次测量的标准差由统计意义得在等精度测量列中，单次测量的标准差按下式计算按下式计算 v i为测得值与真值之差；为测得值与真值之差；n为测量次数（趋于无穷次）。为测量次数（趋于无穷次）。注意：标准差只取正开方根值，标准差与测得值具有相同的量纲。注意：标准差只取正开方根值，标准差与测得值具有相同的量纲。 无法应用 1测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差用残差计算标准差的估计值用残差计算标准差的估计值 推导如下推导如下：真差 残差 所以： 令 ，称为算术平均值误差 所以： 有： （1） 对（1）式两边相加有： （2）对（1）式先平方（3） 后取和，有用残差计算标准差的估计值用残差计算标准差的估计值 （3） （2）式平方有 当n适当大，上式中 接近于0。 （4） 代入（3）式有： （5） 因为 ，所以（5）式为： 贝塞尔公式贝塞尔公式 用残差计算标准差的估计值用残差计算标准差的估计值 1测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差v贝塞尔公式意义：贝塞尔公式意义：根据有限次测量值计算单次测量的标根据有限次测量值计算单次测量的标准差的估计值。准差的估计值。（2-18）贝塞尔公式：贝塞尔公式：式中：式中： vi为为残差残差，n n为测量次数为测量次数对对总体标准差总体标准差的估计的估计v说明：说明：有的参考书将由贝塞尔公式计算的标准差估计值有的参考书将由贝塞尔公式计算的标准差估计值称为样本标准差或实验标准差，用称为样本标准差或实验标准差，用s s或或 s s 表示。本书中将表示。本书中将总体标准差及其估计值都用总体标准差及其估计值都用 表示。表示。12345平均值平均值分散度分散度第一组第一组( (张三测得张三测得) )19.999020.000619.999520.001519.9994大大第二组：第二组：( (李四测得）李四测得）20.000519.999620.000319.999420.0002小小测量某孔径得到有下列两组测得值，单位测量某孔径得到有下列两组测得值，单位mmmm 20.000020.0000第一组第一组：1测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差第二组第二组：求求两组测得值两组测得值单次测量的标准差：单次测量的标准差：其他精度参数用残差表示其他精度参数用残差表示平均误差 ：或然误差： 算术平均值的标准差与单次测量的标准差关系推导如下：算术平均值的标准差与单次测量的标准差关系推导如下：对 取方差，令 有： 即：利用方差的性质得：2.测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差在n次等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量的，精度得到明显提高 2.2.测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差可见可见：在：在n n次等精度测量列中，算术平均值的标准差次等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的为单次测量标准差的 ，精度得到明显提高。，精度得到明显提高。 式中式中为单次测量的标准差，为单次测量的标准差，n n为测量次数为测量次数在实际测量中，测量在实际测量中，测量次数越多越好吗？次数越多越好吗？12345平均值平均值第一组第一组( (张三测得张三测得) )19.999020.000619.999520.001519.9994第二组：第二组：( (李四测得）李四测得）20.000519.999620.000319.999420.0002测量某孔径得到有下列两组测得值，单位测量某孔径得到有下列两组测得值，单位mmmm 20.000020.0000第二组：第二组：两组测得值两组测得值单次测量的标准差：单次测量的标准差：求两组算术平均值的标准差：求两组算术平均值的标准差：第一组第一组：2.2.测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差当当n10次以后，测量精度随次以后，测量精度随测量次数增加提高不显著测量次数增加提高不显著 减少缓慢减少缓慢 减少减少如何选择合适的测量次数如何选择合适的测量次数n？n增加测量次数，可以提高测量精度增加测量次数，可以提高测量精度愈难保证测量条件的恒定愈难保证测量条件的恒定，带来新的误差，同时，带来新的误差，同时，必然会增加测量的工作量及其成本。必然会增加测量的工作量及其成本。n 10次次算术平均值的其他精度参数算术平均值的其他精度参数平均误差T 或然误差R 用残差表示为用残差表示为 ：总总 结结算术平均值的标准差算术平均值的标准差测量的标准差测量的标准差 定量评定测量准确度的参数定量评定测量准确度的参数单次测量的标准差单次测量的标准差适当增加测量次数取其算适当增加测量次数取其算术平均值表示测量结果术平均值表示测量结果随机误差的正态分布随机误差的正态分布v标准差定量描述了随机误差（测量数据）的分散程度。标准差定量描述了随机误差（测量数据）的分散程度。其中，随机误差其中，随机误差=x-，为为测量总体的数学期望，测量总体的数学期望， 为为标准差。标准差。1f()32 0123定义：定义：若在多次重复测量中，每一个测得值都是在相若在多次重复测量中，每一个测得值都是在相同的测量条件（相同的测量程序，相同的观测者，使同的测量条件（相同的测量程序，相同的观测者，使用相同的测量仪器，相同地点、在短时间内进行重复用相同的测量仪器，相同地点、在短时间内进行重复测量）下获得的，这样的测量叫做等精度测量。测量）下获得的，这样的测量叫做等精度测量。 等精度测量（补充）等精度测量（补充）Equal-accuracy Measurement随机误差的正态分布随机误差的正态分布v标准差定量描述了随机误差（测量数据）的分散程度。标准差定量描述了随机误差（测量数据）的分散程度。123数学期望数学期望 E( )=0方方 差差 D( )=2标标 准准 差差 =数字特征量：数字特征量：1f()32 0