山东理工大学机械学院机械工程测试技术机械工程学院仪器系:2786982山东理工大学机械学院第一章 信号描画第一节第一节 信号分类与描画信号分类与描画第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱第三节第三节 瞬变非周期信号的频谱瞬变非周期信号的频谱山东理工大学机械学院第一节第一节 信号分类与描画信号分类与描画一、信号的分类一、信号的分类1、确定性信号和随机信号、确定性信号和随机信号确定性信号：可表示为一个确定的时间函数，确定性信号：可表示为一个确定的时间函数，因此可确定其任何时辰的量值。因此可确定其任何时辰的量值。随机信号：具有不能被预测的特性，无法用随机信号：具有不能被预测的特性，无法用数学关系式来描画，只能经过统计察看来数学关系式来描画，只能经过统计察看来加以描画的信号。加以描画的信号。 山东理工大学机械学院确定性信号又分确定性信号又分为周期信号和非周期信号。周期信号和非周期信号。周期信号：周期信号：定定义：满足下面关系式的信号：足下面关系式的信号： x(t)=x(t+nT0)x(t)=x(t+nT0)式中，式中，T0T0周期。周期。非周期信号：非周期信号：定定义：不具有周期反复性确：不具有周期反复性确实定性信号。定性信号。非周期信号又可分成准周期信号和瞬非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两信号两类。 山东理工大学机械学院非周期信号又可分成准周期信号和瞬变非周非周期信号又可分成准周期信号和瞬变非周期信号两类。期信号两类。准周期信号：由多个具有不成比例周期的正准周期信号：由多个具有不成比例周期的正弦波之和构成，或者称组成信号的正余弦波之和构成，或者称组成信号的正余弦信号的频率比不是有理数弦信号的频率比不是有理数 。瞬变非周期信号：或在一定时间内存在，或瞬变非周期信号：或在一定时间内存在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。随着时间的增长而衰减至零的信号。山东理工大学机械学院锤击物体的力信号图 指数衰减振荡信号 三种瞬变非周期信号山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院2 2、延续信号和离散信号、延续信号和离散信号分类根据：分类根据：自变量即时间自变量即时间t t是延续的还是离散的是延续的还是离散的 。信号的幅值是延续的还是离散的信号的幅值是延续的还是离散的 ；延续信号：延续信号：自变量和幅值均为延续的信号称为模拟信号自变量和幅值均为延续的信号称为模拟信号 ；自变量是延续、但幅值为离散的信号，那么称为量自变量是延续、但幅值为离散的信号，那么称为量化信号。化信号。 离散信号：离散信号：信号的自变量为离散值、但其幅值为延续值时，那信号的自变量为离散值、但其幅值为延续值时，那么称该信号为被采样信号。么称该信号为被采样信号。信号的自变量及幅值均为离散的，那么称为数字信信号的自变量及幅值均为离散的，那么称为数字信号号 ；山东理工大学机械学院 延续信号延续信号 离散信号离散信号山东理工大学机械学院3.因果信号与非因果信号 假设信号x(t) 在t=0作为初始察看时辰，有x(t)0，在该输入信号作用下，因果系统的零形状呼应只能出如今 的时间区间上，故把从时辰开场的信号称为因果信号，否那么为非因果信号。 山东理工大学机械学院4 4、能量信号和功率信号、能量信号和功率信号能量信号：能量信号：例如：例如：在右图所示的电路中，在右图所示的电路中，x(t)x(t)表示电压，表示电压，瞬时功率瞬时功率P Pt)=x2(t)/R;t)=x2(t)/R;假设假设R=1R=1， P Pt)=x2(t)t)=x2(t)。瞬时功率对时间的积分即为能量。瞬时功率对时间的积分即为能量。定义：当定义：当x xt t满足关系式满足关系式 那么称信号那么称信号x xt t为有限能量信号为有限能量信号 ，简称能量，简称能量信号。信号。矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。 X(t)R山东理工大学机械学院功率信号：假设信号在区间， 的能量是无限的但它在有限区间t1,t2)的平均功率有限，即亦即信号具有有限的非零平均功率，那么称信号为功率有限信号，简称功率信号。山东理工大学机械学院二、信号的时域描画和频域描画二、信号的时域描画和频域描画时域描画：以时间为独立变量；反映时域描画：以时间为独立变量；反映信号的幅值随时间变化的关系；信号的幅值随时间变化的关系；频域描画：以频率为独立变量，由信频域描画：以频率为独立变量，由信号的时域描画经过适当方法变换得号的时域描画经过适当方法变换得到；反映信号的频率构造和各频率到；反映信号的频率构造和各频率成分的幅值、相位关系。成分的幅值、相位关系。 图中周期方波的傅里叶级数展开式：图中周期方波的傅里叶级数展开式：山东理工大学机械学院上式可改写为：上式可改写为：式中式中0=2/T0。0称称为基波基波频率，率，简称基称基频。以为独立变量，此式即为该周期方波的频域描画。在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出，按序陈列，得出信号的“频谱。假设以频率为横坐标、分别以幅值或相位为纵坐标，便分别得到信号的幅频谱和相频谱。图19。山东理工大学机械学院图图19山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院信号的频谱普通是以频率为横坐标、以幅值或相位为纵坐标分别描画，信号的幅值频率为幅频谱，相位频率为相频谱。每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱，所以每一个信号在频域描画时都要用幅频谱和相频谱来描画。山东理工大学机械学院表11为两个周期方涉及其幅频谱、相频谱。时域中两方波只是相对平移T0 /4 , 其他不变。可以看出，幅频谱一样，但相频谱不同，平移使各频率分量产生了 相角。山东理工大学机械学院表表1 11 1的阐明的阐明: : 每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱，每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱，因此，在频域中每个信号都需求同时用幅因此，在频域中每个信号都需求同时用幅频谱和相频谱描画才是完好的。频谱和相频谱描画才是完好的。山东理工大学机械学院n为什么要对信号进展频域描画：为什么要对信号进展频域描画：n信号的时域描画反映了信号瞬时值随信号的时域描画反映了信号瞬时值随时间变化的情况，频域描画反映了信时间变化的情况，频域描画反映了信号的频率组成及其幅值、相角的大小。号的频率组成及其幅值、相角的大小。n为处理不同问题，需掌握信号不同方为处理不同问题，需掌握信号不同方面的特征，因此可采用不同的描画方面的特征，因此可采用不同的描画方式。例如：评定机器振动烈度时域式。例如：评定机器振动烈度时域描画和寻觅振源频域描画。描画和寻觅振源频域描画。n两种描画方法能相互转换，而且包含两种描画方法能相互转换，而且包含同样的信息量。同样的信息量。山东理工大学机械学院 例如某大型水电站在某一发电工况下，其厂房产生剧烈振动。按实际分析和阅历估计，振源能够来自水轮机或发电机的机械振动，或来自流道某一部份如引水管、涡壳、导叶、尾水管的水体振动。为查找振源及振源向厂房传送的途径，在水轮发电机组和厂房的多处安顿拾振器，在流道多处安顿压力传感器。实验时，用多台磁带记录仪同步记录近百个测点的振动及压力动摇。实验完后，对记录的信号进展频谱分析，查找出强振振源来自导叶与尾水管间的部分水体共振。 山东理工大学机械学院第二节第二节 周期信号的频谱周期信号的频谱将周期信号分解为傅立叶级数简称傅氏级将周期信号分解为傅立叶级数简称傅氏级数数Fourier seriesFourier series，在频域中认识信号的，在频域中认识信号的特征提供了重要手段特征提供了重要手段信号的频谱普通是以频率为横坐标、以幅值信号的频谱普通是以频率为横坐标、以幅值或相位为纵坐标分别描画，信号的幅值或相位为纵坐标分别描画，信号的幅值频率为幅频谱，相位频率为相频谱。每频率为幅频谱，相位频率为相频谱。每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱，所个信号都有其特有的幅频谱和相频谱，所以每一个信号在频域描画时都要用幅频谱以每一个信号在频域描画时都要用幅频谱和相频谱来描画。和相频谱来描画。山东理工大学机械学院一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式 在有限区间上，一个周期信号在有限区间上，一个周期信号xt当满足狄里赫当满足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数：利条件时可展开成傅里叶级数： 式中，式中，(1-7)山东理工大学机械学院信号xt的另一种方式的傅里叶级数表达式： 式中， An称信号频率成分的幅值， 称初相角。n1,2, 山东理工大学机械学院讨论：式中第一式中第一项a0a0为周期信号中的常周期信号中的常值或直流分量或直流分量 ；从第二从第二项依次向下分依次向下分别称信号的基波或一次称信号的基波或一次谐波、二次波、二次谐波、三次波、三次谐波、波、n n次次谐波波 ；将信号的角将信号的角频率率00作作为横坐横坐标，可分，可分别画出信号幅画出信号幅值AnAn和相角和相角 随随频率率00变化的化的图形，分形，分别称之称之为信号的信号的幅幅频谱图和相和相频谱图。 由于由于n n为整数，各整数，各频率分量率分量仅在在n0n0的的频率率处取取值，因此，因此得到的是关于幅得到的是关于幅值AnAn和相角和相角 的离散的离散谱线。 周期信号的周期信号的频谱是离散的是离散的! !例例题1 11 1，求，求图1 16 6中周期三角波的傅里叶中周期三角波的傅里叶级数。数。山东理工大学机械学院由奇次余弦波分量叠加构成,各谐波幅值按基波幅值的1/n2比例衰减。由上阐明，周期信号的频谱由不延续线条组成,每个线条代表一个谐波分量，且与基频成比例关系。山东理工大学机械学院二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式由欧拉公式可知由欧拉公式可知 ： 代入式代入式17有：有： 令令山东理工大学机械学院那么那么或或这就是傅里叶级数的复指数展开方式。这就是傅里叶级数的复指数展开方式。(1-15)山东理工大学机械学院求傅里叶级数的复系数求傅里叶级数的复系数CnCn普通情况下，普通情况下，CnCn是复数，可写成是复数，可写成其中其中山东理工大学机械学院绘制复指数方式的频谱：幅频谱图和相频谱图实频谱图和虚频谱图v留意：复指数函数方式的频谱为双边谱幅频留意：复指数函数方式的频谱为双边谱幅频谱为偶函数，相频谱为奇函数，三角函数方式谱为偶函数，相频谱为奇函数，三角函数方式的频谱为单边谱，二者的量值关系：的频谱为单边谱，二者的量值关系：山东理工大学机械学院例:画出余弦、正弦的实虚部频谱图。故余弦只需实频谱图，与故余弦只需实频谱图，与纵轴偶对称。正弦只需虚纵轴偶对称。正弦只需虚频谱图，与纵轴齐对称频频谱图，与纵轴齐对称频谱。谱。山东理工大学机械学院周期信号的频谱的特点：周期信号的频谱的特点：周期信号的频谱是离散谱；周期信号的频谱是离散谱； 周期信号的谱线仅出如今基涉及各次谐波频率处；周期信号的谱线仅出如今基涉及各次谐波频率处； 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。幅值谱各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。在频谱分析中，没必要取次数过高的谐波分幅值越小。在频谱分析中，没必要取次数过高的谐波分量。量。山东理工大学机械学院三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述峰值峰值峰峰值峰峰值均值均值绝对均值周期信号全波整流后的均值绝对均值周期信号全波整流后的均值有效值：信号的均方根值有效值：信号的均方根值 平均功率是信号的均方值也是平均功率是信号的均方值也是 有效值的平方有效值的平方 山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院第三节第三节 瞬变非周期信号的频谱瞬变非周期信号的频谱一、傅里叶变换与延续频谱一、傅里叶变换与延续频谱 设设xt为为(-T0/2,T0/2)区间上的一个周期函数。区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的方式：它可表达为傅里叶级数的方式： 式中式中 将将cn代入上式得代入上式得 山东理工大学机械学院 当当T0T0时时，区，区间间(-T0/2,T0/2)(-T0/2,T0/2)变变成成(-, )(-, )，另外，另外，频频率率间间隔隔=0=2/T0=0=2/T0变为变为无无穷穷小量，小量，离散离散频频率率n0n0变变成延成延续频续频率率 。 将上式中括号中的将上式中括号中的积积分分记为记为X(),X(),那么有那么有 126127125山东理工大学机械学院 在数学上，称在数学上，称X()X()为为x(t)x(t)的傅里叶的傅里叶变换变换， x(t) x(t)为为X()X()的傅里叶逆的傅里叶逆变换变换，记为记为把把2f2f代入式代入式 1 12525 ，那么，那么1-261-26和和1 12727变为变为(1-28)(1-29)这样就防止了傅里叶就防止了傅里叶变换中出中出现1/2,1/2,简化了公式，且有化了公式，且有山东理工大学机械学院 非周期函数xt存在傅里叶变换的充分条件是xt在区间(-, )上绝对可积，即 但上述条件并非必要条件。由于当引入广义函数概念之后，许多本来不满足绝对可积条件的函数也能进展傅里叶变换。山东理工大学机械学院小小结：从式从式1 12929可知，一个非周期函数可分解成可知，一个非周期函数可分解成频率率f f延延续变化的化的谐波的叠加。式中波的叠加。式中X(f)dfX(f)df的是的是谐波波ej2fej2f的系的系数，决数，决议着信号的振幅和相位。着信号的振幅和相位。 X(f)X(f)或或X()X()为x(t)x(t)的延的延续频谱。由于由于X(f)X(f)普通普通为实变量量f f的复函数，故可将其写的复函数，故可将其写为 将上式中的将上式中的 称非周期信号称非周期信号x(t)x(t)的延的延续幅幅值谱， 称称x(t)x(t)的延的延续相位相位谱。例例题1 13 3，求矩形窗函数的，求矩形窗函数的频谱。山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院求该函数的频谱求该函数的频谱:山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院函数的幅频谱和相频谱分别为函数的幅频谱和相频谱分别为山东理工大学机械学院二、傅里叶变换的根本性质二、傅里叶变换的根本性质山东理工大学机械学院1.奇偶真假性奇偶真假性山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院2.线性叠加性线性叠加性3.时时-频对称性频对称性山东理工大学机械学院它阐明傅立叶变换与傅立叶逆变换之间存在对称关系，即信号的波形与信号频谱函数的波形有相互置换关系。利用这个性质，可以根据知的傅立叶变换，得出相应的变换对 山东理工大学机械学院对称性举例山东理工大学机械学院 尺度改动性质举例 a) k=1 b) k=0.5 c) k=2 山东理工大学机械学院4.时移和频移特性时移和频移特性山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院5.卷积特性卷积特性山东理工大学机械学院6.微分和积分特性微分和积分特性山东理工大学机械学院7.尺度变换特性尺度变换特性山东理工大学机械学院三、几种典型信号的三、几种典型信号的频谱1. 函数及其函数及其频谱1定定义 在在时间内矩形脉冲内矩形脉冲S(t) ，其面，其面积为1,当当 0 时， S(t)的极限称的极限称为函数函数,也称也称为单位位脉冲函数。脉冲函数。函数用函数用标有有1的箭的箭头表示。表示。 显然然(t)的函数的函数值和面和面积(通常表示能量或通常表示能量或强度度)分分别为 SSS山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院2 2采采样性性质假假设f(t)f(t)为一延一延续信号，那么有信号，那么有 f(0)(t)f(0)(t)的函数的函数值无无穷大，大，强度度为f(0)f(0)。在在， 积分，有分，有对于有延于有延时t0t0的的函数函数t-t0)t-t0)，有，有山东理工大学机械学院3 3与其他函数的卷积与其他函数的卷积x()山东理工大学机械学院4 4频谱对(t)(t)取傅里叶取傅里叶变换 可可见函数具有等函数具有等强度、无限广大的度、无限广大的频谱，这种种频谱通常称通常称为“均匀均匀谱。山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对。换对。 山东理工大学机械学院2. 正、余弦函数的频谱密度函数正、余弦函数的频谱密度函数1.1.余弦函数的余弦函数的频谱 2.2.利用欧拉公式，余弦函数可以表达利用欧拉公式，余弦函数可以表达为： 3.3. 4.4.其傅里叶其傅里叶变换为 5.5. 2.2.正弦函数的正弦函数的频谱 3.3.同理，利用欧拉公式及其傅里叶同理，利用欧拉公式及其傅里叶变换有：有： 4.4. 山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院等等间隔的周期隔的周期单位脉冲序列函数称位脉冲序列函数称为梳状函数，表梳状函数，表达式达式为： 式中式中 Ts Ts为周期，周期，n n为整数，整数，n=0,1, n=0,1, 2,3, 2,3, 。由于周期脉冲序列函数。由于周期脉冲序列函数为周期函数，所以周期函数，所以可以写成傅里叶可以写成傅里叶级数的复指数函数方式数的复指数函数方式 3. 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院因此，有周期因此，有周期单位脉冲序列函数的傅里叶位脉冲序列函数的傅里叶级数的复数数的复数表达式：表达式： 根据式根据式 山东理工大学机械学院可得周期可得周期单位脉冲序列函数的位脉冲序列函数的频谱， 周期周期单位脉冲序列的位脉冲序列的频谱仍是周期脉冲序列。仍是周期脉冲序列。时域周期域周期为 ，频域周期那么域周期那么为 ；时域脉冲域脉冲强度度为1 1，频域脉冲域脉冲强度那么度那么为 。山东理工大学机械学院山东理工大学机械学院狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)(Dirichlet)充条件充条件