第二章第二章 资金时间价值资金时间价值本章主要阐述了工程经济分析最基本的方法本章主要阐述了工程经济分析最基本的方法资资金时间价值分析。通过学习，应了解资本与利息的关系、金时间价值分析。通过学习，应了解资本与利息的关系、利息与利率的关系，熟悉名义利率与实际利率之间的关利息与利率的关系，熟悉名义利率与实际利率之间的关系，掌握资金等值的概念、特点、决定因素，学会现金系，掌握资金等值的概念、特点、决定因素，学会现金流量图的表达方式以及各种条件下资金等值的计算，能流量图的表达方式以及各种条件下资金等值的计算，能够运用等值原理对工程项目进行经济分析。够运用等值原理对工程项目进行经济分析。 本章提要本章提要本本 章章 内内 容容 资金时间价值概述资金时间价值概述 单利与复利单利与复利 资金等值计算资金等值计算2.1 资金时间价值概述资金时间价值概述货币的作用货币的作用体现在流通中，货币作为社会生产体现在流通中，货币作为社会生产资金参与再生产的过程中即会得到增值、带来利润。资金参与再生产的过程中即会得到增值、带来利润。我们常说的我们常说的“时间就是金钱时间就是金钱”，是指资金在生，是指资金在生产经营及其循环、周转过程中，随着时间的变化而产经营及其循环、周转过程中，随着时间的变化而产生的增值。产生的增值。 2.1.1 资金金时间价价值的含的含义及意及意义2.1.1.1 资金金时间价价值的含的含义资金的时间价值资金的时间价值，是指资金在生产和流通过程，是指资金在生产和流通过程中随着时间推移而产生的增值。中随着时间推移而产生的增值。资金的时间价值是商品经济中的普遍现象，资资金的时间价值是商品经济中的普遍现象，资金之所以具有时间价值，概括地讲，是金之所以具有时间价值，概括地讲，是基于以下两基于以下两个原因：个原因：（1）从社会再生产的过程来讲，对于投资者或从社会再生产的过程来讲，对于投资者或生产者，其当前拥有的资金能够立即用于投资并在生产者，其当前拥有的资金能够立即用于投资并在将来获取利润，而将来才可取得的资金则无法用于将来获取利润，而将来才可取得的资金则无法用于当前的投资，因此也就无法得到相应的收益。当前的投资，因此也就无法得到相应的收益。 （2）从流通的角度来讲，对于消费者或出资者，从流通的角度来讲，对于消费者或出资者，其拥有的资金一旦用于投资，就不能再用于消费。其拥有的资金一旦用于投资，就不能再用于消费。消费的推迟是一种福利损失，资金的时间价值体现消费的推迟是一种福利损失，资金的时间价值体现了对牺牲现期消费的损失所应作出的必要补偿。了对牺牲现期消费的损失所应作出的必要补偿。 （1）资金时间价值是市场经济条件下的一个经资金时间价值是市场经济条件下的一个经济范畴。济范畴。 （2）重视资金时间价值可以促使建设资金合理重视资金时间价值可以促使建设资金合理利用，使有限的资金发挥更大的作用。利用，使有限的资金发挥更大的作用。 （3）随着我国加入随着我国加入WTO，市场将进一步开放，市场将进一步开放，我国企业也要参与国际竞争，要用国际通行的项目管我国企业也要参与国际竞争，要用国际通行的项目管理模式与国际资本打交道。理模式与国际资本打交道。 总之，总之，无论进行了什么样的经济活动，都必须认无论进行了什么样的经济活动，都必须认真考虑资金时间价值，千方百计缩短建设周期，加速真考虑资金时间价值，千方百计缩短建设周期，加速资金周转，节省资金占用数量和时间，提高资金的经资金周转，节省资金占用数量和时间，提高资金的经济效益。济效益。 2.1.1.2 研究研究资金金时间价价值的意的意义衡量资金时间价值的尺度有两种：衡量资金时间价值的尺度有两种：其一为其一为绝对尺绝对尺度度，即利息、盈利或收益；，即利息、盈利或收益；其二为其二为相对尺度相对尺度，即利率，即利率、盈利率或收益率。、盈利率或收益率。利率利率和和利润率利润率都是表示原投资所能增加的百分数都是表示原投资所能增加的百分数，因此往往用这两个量来作为衡量资金时间价值的相，因此往往用这两个量来作为衡量资金时间价值的相对尺度，并且经常两者不加区分，统称为对尺度，并且经常两者不加区分，统称为利率利率。 2.1.1.3 衡量衡量资金金时间价价值的尺度的尺度（1）利息利息在借贷过程中，债务人支付给债权人超过原借贷在借贷过程中，债务人支付给债权人超过原借贷款金额（原借贷款金额常称作本金）的部分，就是款金额（原借贷款金额常称作本金）的部分，就是利利息息。其计算公式为：。其计算公式为：利息利息=目前应付（应收）的总金额目前应付（应收）的总金额本金本金从本质上看从本质上看，利息是由贷款产生的利润的一种再，利息是由贷款产生的利润的一种再分配。分配。 在工程经济学中在工程经济学中，利息是指占用资金所付出的代，利息是指占用资金所付出的代价或者是放弃现期消费所得的补偿。价或者是放弃现期消费所得的补偿。 （2）利率利率利率利率就是单位时间内（如年、半年、季、月、周就是单位时间内（如年、半年、季、月、周、日等）所得利息额与本金之比，通常用百分数表示、日等）所得利息额与本金之比，通常用百分数表示。即：。即：利率单位时间内所得的利息额利率单位时间内所得的利息额/本金本金100%【例例2.1】某人现借得本金某人现借得本金2000元，元，1年后付息年后付息180元，则元，则年利率是多少？年利率是多少？【解解】根据公式根据公式(2.2)年利率年利率180/2000100%9%。 利率的高低由如下因素决定：利率的高低由如下因素决定：利率的高低首先取决于社会平均利润的高低，利率的高低首先取决于社会平均利润的高低，并随之变动。并随之变动。 在平均利润率不变的情况下，利率高低取决于在平均利润率不变的情况下，利率高低取决于金融市场上的借款资本的供求情况。金融市场上的借款资本的供求情况。 借出资本要承担一定的风险，而风险的大小也借出资本要承担一定的风险，而风险的大小也影响利率的高低。影响利率的高低。 通货膨胀对利率的波动有直接影响。通货膨胀对利率的波动有直接影响。借出资本的期限长短对利率也有重大影响。借出资本的期限长短对利率也有重大影响。 （3）利息和利率在技术经济活动中的作用利息和利率在技术经济活动中的作用影响社会投资的多少。影响社会投资的多少。 影响社会资金的供给量。影响社会资金的供给量。 利率是调节经济政策的工具。利率是调节经济政策的工具。 2.1.2 现金流量金流量图2.1.2.1 现金流量的含金流量的含义在在工工程程技技术术经经济济分分析析中中，我我们们把把项项目目视视为为一一个个系系统统，投投入入的的资资金金、花花费费的的成成本本、获获得得的的收收益益，总总可可以以看看成成是是以以资资金金形形式式体体现现的的该该系系统统的的资资金金流流出出或或流流入入。这这种种在在项项目目整整个个寿寿命命期期内内各各时时点点上上实实际际发发生生的的资资金金流流出或流入称为出或流入称为现金流量现金流量。 流流出出系系统统的的资资金金称称现现金金流流出出，流流入入系系统统的的资资金金称称现金流入现金流入，现金流入与现金流出之差称，现金流入与现金流出之差称净现金流量净现金流量。 （1）财务现金流量财务现金流量财务现金流量主要包括财务现金流量主要包括项目财务现金流量、资本项目财务现金流量、资本金财务现金流量、投资各方财务现金流量金财务现金流量、投资各方财务现金流量。财务现金。财务现金流量主要用于工程项目财务评价。流量主要用于工程项目财务评价。（2）国民经济效益费用流量国民经济效益费用流量国民经济效益费用流量主要包括国民经济效益费用流量主要包括项目国民经济效项目国民经济效益费用流量、国内投资国民经济效益费用流量、经济益费用流量、国内投资国民经济效益费用流量、经济外汇流量外汇流量。国民经济效益费用流量主要用于工程项目。国民经济效益费用流量主要用于工程项目国民经济评价国民经济评价。2.1.2.2 现金流量的分金流量的分类所谓现金流量图所谓现金流量图，就是一种描述现金流量作为时，就是一种描述现金流量作为时间函数的图形，即把项目经济系统的资金流量绘入一间函数的图形，即把项目经济系统的资金流量绘入一时间坐标图中，表示出各项资金流入、流出与相应的时间坐标图中，表示出各项资金流入、流出与相应的对应关系，它能表示资金在不同时间点上流入与流出对应关系，它能表示资金在不同时间点上流入与流出的情况。的情况。现金流量图包括现金流量图包括三大要素三大要素：大小、流向、时间点大小、流向、时间点。其中，。其中，大小大小表示资金数额，表示资金数额，流向流向指项目的现金流入指项目的现金流入或流出，或流出，时间点时间点指现金流入或流出所发生的时间。指现金流入或流出所发生的时间。 现金流量图的一般表现形式现金流量图的一般表现形式如图所示如图所示。 2.1.2.3 现金流量金流量图 表示现金流量的工具之一表示现金流量的工具之一图2.1 现金流量图 1 1、水平线是时间标度，每一格代表一个时间单位（年、月、日），第水平线是时间标度，每一格代表一个时间单位（年、月、日），第n n 格的终点和第格的终点和第n +1n +1格的起点是相重合的。格的起点是相重合的。2 2、箭头表示现金流动的方向，向下的箭头表示流出（现金的减少），向、箭头表示现金流动的方向，向下的箭头表示流出（现金的减少），向上的箭头表示现金流入（现金的增加），箭头的长短与现金支出的大小成上的箭头表示现金流入（现金的增加），箭头的长短与现金支出的大小成比例。比例。3 3、现金流量图与立脚点（着眼点）有关：如贷款人的立脚点，或者借款、现金流量图与立脚点（着眼点）有关：如贷款人的立脚点，或者借款人的立脚点。人的立脚点。4 4、在没有具体说明的情况下，一次性的收支一般发生在计息期的期初、在没有具体说明的情况下，一次性的收支一般发生在计息期的期初（如投资）；经常性的收支一般发生在计息期的期末。（如年收益、年支（如投资）；经常性的收支一般发生在计息期的期末。（如年收益、年支出等）出等）对现金流量金流量图的几点的几点说明明2.1.2.4 现金流量表金流量表 表示现金流量的工具之二表示现金流量的工具之二用表格的形式表示特定用表格的形式表示特定项目在一定目在一定时间内内发生的生的现金流量。如下所示：金流量。如下所示：序号序号项项 目目计计 息息 期期 合合 计计012n1现金流入现金流入1.12现金流出现金流出2.13净现金流量净现金流量2.2 单利与复利单利与复利利息和利率利息和利率是衡量资金时间价值的尺度，故计是衡量资金时间价值的尺度，故计算资金的时间价值即是计算利息的方法。算资金的时间价值即是计算利息的方法。利息计算有利息计算有单利单利和和复利复利之分。当计息周期在一之分。当计息周期在一个以上时，就需要考虑个以上时，就需要考虑“单利单利”与与“复利复利”的问题。的问题。复利是相对单利而言的，是以单利为基础来进行计复利是相对单利而言的，是以单利为基础来进行计算的。算的。 2.2.1 单利与复利的利与复利的计算算所谓单利计算所谓单利计算，是只对本金计算利息，而对每期，是只对本金计算利息，而对每期的利息不再计息，从而每期的利息是固定不变的一种的利息不再计息，从而每期的利息是固定不变的一种计算方法，即通常所说的计算方法，即通常所说的“利不生利利不生利”的计息方法。的计息方法。其利息计算公式如下：其利息计算公式如下：In=Pin而而n期末的单利本利和期末的单利本利和F等于本金加上利息，即：等于本金加上利息，即：F=P(1+in) 在计算本利和在计算本利和F时，要注意式中时，要注意式中n和和i反映的时期要反映的时期要一致。一致。 2.2.1.1 单利利计算算【例例2.2】有一笔有一笔50 000元的借款，借期元的借款，借期3年，按每年年，按每年8%的的单利率计息，试求到期时应归还的本利和。单利率计息，试求到期时应归还的本利和。【解解】用单利法计算，其现金流量用单利法计算，其现金流量见图所示见图所示。根据公式（）有：根据公式（）有：FP(1+in)50 000(1+8%3)62 000(元元)即到期应归还的本利和为即到期应归还的本利和为62000元。元。 图采用单利法计算本利和 复利法复利法是在单利法的基础上发展起来的，它克服是在单利法的基础上发展起来的，它克服了单利法存在的缺点，了单利法存在的缺点，其基本思路是：其基本思路是：将前一期的本将前一期的本金与利息之和（本利和）作为下一期的本金来计算下金与利息之和（本利和）作为下一期的本金来计算下一期的利息一期的利息,也即通常所说的也即通常所说的“利上加利利上加利”、“利生利利生利”、“利滚利利滚利”的方法。其利息计算公式如下：的方法。其利息计算公式如下：In=iFn-1第第n期期末复利本利和期期末复利本利和Fn的计算公式为：的计算公式为：Fn=P(1+i)n公式（）的推导过程公式（）的推导过程如表所示如表所示。2.2.1.2 复利复利计算算【例例2.3】在例中，若年利率仍为在例中，若年利率仍为8%，但按复利计算，则，但按复利计算，则到期应归还的本利和是多少？到期应归还的本利和是多少？【解解】用复利法计算，根据复利计算公式（）有：用复利法计算，根据复利计算公式（）有： Fn=P(1+i)n=50 000(1+8%)3=62 985.60(元元)与采用单利法计算的结果相比增加了元，这个差额所与采用单利法计算的结果相比增加了元，这个差额所反映的就是利息的资金时间价值。反映的就是利息的资金时间价值。 表表2.1 采用复利法计算本利和的推导过程采用复利法计算本利和的推导过程 计息期数期初本金期末利息期末本利和1PPi F1=P+Pi=P(1+i) 2P(1+i) P(1+i) i F2=P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)23P(1+i)2P(1+i)2i F3=P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)3 n-1P(1+i)n-2P(1+i)n-2i Fn-1=P(1+i)n-2+P(1+i)n-2i=P(1+i)n-1 nP(1+i)n-1P(1+i)n-1i Fn=P(1+i)n-1+P(1+i)n-1i=P(1+i)n 2.2.2 名名义利率与利率与实际利率利率2.2.2.1 名名义利率利率所所谓谓名名义义利利率率，是是指指按按年年计计息息的的利利率率，即即计计息息周周期期为为一一年年的的利利率率。它它是是以以一一年年为为计计息息基基础础，等等于于每每一一计息期的利率与每年的计息期数的乘积。计息期的利率与每年的计息期数的乘积。例例如如，每每月月存存款款月月利利率率为为3，则则名名义义年年利利率率为为3.6%，即，即312个月个月/每年每年=3.6%。实际利率实际利率又称为又称为有效利率有效利率，是把各种不同计息的，是把各种不同计息的利率换算成以年为计息期的利率。利率换算成以年为计息期的利率。例如例如，每月存款月利率为，每月存款月利率为3，则有效年利率为，则有效年利率为3.66%，即（，即（1+3）12-1=3.66%。需要注意的是，在资金的等值计算公式中所使用需要注意的是，在资金的等值计算公式中所使用的利率都是指实际利率。当然，如果计息期为一年，的利率都是指实际利率。当然，如果计息期为一年，则名义利率就是实际年利率，因此可以说两者之间的则名义利率就是实际年利率，因此可以说两者之间的差异主要取决于实际计息期与名义计息期的差异。差异主要取决于实际计息期与名义计息期的差异。2.2.2.2 实际利率利率2.2.3 名名义利率与利率与实际利率的利率的应用用设名义利率为设名义利率为r，一年中计息期数为，一年中计息期数为m，则每一，则每一个计息期的利率为个计息期的利率为r/m。若年初借款。若年初借款P元，一年后本元，一年后本利和为：利和为：FP(1+r/m)m其中，本金其中，本金P的年利息的年利息I为为IF-P=P(1+r/m)m-P根据利率定义可知，利率等于利息与本金之比。根据利率定义可知，利率等于利息与本金之比。当名义利率为当名义利率为r时，实际利率为：时，实际利率为：i=I/P=(F-P)/P=P(1+r/m) m-P/P所以所以i=(1+r/m)m-1【例例2.4】某厂向外商订购设备，有两家银行可以提供贷某厂向外商订购设备，有两家银行可以提供贷款，甲银行年利率为款，甲银行年利率为8%，按月计息；乙银行年利率为，按月计息；乙银行年利率为9%，按半年计息，均为复利计算。试比较哪家银行贷款，按半年计息，均为复利计算。试比较哪家银行贷款条件优越？条件优越？【解解】企业应当选择具有企业应当选择具有较低实际利率较低实际利率的银行贷款。的银行贷款。分别计算甲、乙银行的实际利率：分别计算甲、乙银行的实际利率：i甲甲(1+r/m)m-1=(1+8%/12)12-18.30%i乙乙=(1+r/m)m-1=(1+9%/2)2-1=0.0920=9.20%由于由于i甲甲i乙乙，故企业应选择向甲银行贷款。，故企业应选择向甲银行贷款。 从上例可以看出，从上例可以看出，名义利率与实际利率存在下列名义利率与实际利率存在下列关系：关系：（1）当实际计息周期为当实际计息周期为1年时，名义利率与实际年时，名义利率与实际利率相等；实际计息周期短于利率相等；实际计息周期短于1年时，实际利率大于年时，实际利率大于名义利率。名义利率。（2）名义利率不能完全反映资金的时间价值，名义利率不能完全反映资金的时间价值，实际利率才真实地反映了资金的时间价值。实际利率才真实地反映了资金的时间价值。（3）实际计息周期相对越短，实际利率与名义实际计息周期相对越短，实际利率与名义利率的差值就越大。利率的差值就越大。2.3 资金等值计算资金等值计算“等值等值”是指在时间因素的作用下，在不同的是指在时间因素的作用下，在不同的时间点上绝对值不等的资金而具有相同的价值。时间点上绝对值不等的资金而具有相同的价值。 利用等值的概念，可以把在一个（或一系列）利用等值的概念，可以把在一个（或一系列）时间点发生的资金金额换算成另一个（或一系列）时间点发生的资金金额换算成另一个（或一系列）时间点的等值的资金金额，这样的一个转换过程就时间点的等值的资金金额，这样的一个转换过程就称为称为资金的等值计算资金的等值计算。2.3.1 资金等金等值的概念的概念资金等值的特点是资金等值的特点是，在利率大于零的条件下，在利率大于零的条件下，资金的数额相等，发生的时间不同，其价值肯定不资金的数额相等，发生的时间不同，其价值肯定不等；资金的数额不等，发生的时间也不同，其价值等；资金的数额不等，发生的时间也不同，其价值却可能相等。却可能相等。决定资金等值的因素是：决定资金等值的因素是：资金数额；资金数额；金额金额发生的时间；发生的时间；利率。利率。 把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额称为等值金额称为“折现折现”或或“贴现贴现”。将来时点上的资金折现后的资金金额称将来时点上的资金折现后的资金金额称“现值现值”。与现值等价的将来某时点的资金金额称为。与现值等价的将来某时点的资金金额称为“终终值值”或或“将来值将来值”。 一般地说，将一般地说，将t+k个时点上发生的资金折现到第个时点上发生的资金折现到第t个时点，所得的等值金额就是第个时点，所得的等值金额就是第t+k个时点上资金金个时点上资金金额在第额在第t个时点上的现值。进行资金等值计算时使用个时点上的现值。进行资金等值计算时使用的反映资金时间价值的参数叫的反映资金时间价值的参数叫折现率或贴现率折现率或贴现率。 2.3.2 计算算资金金时间价价值的几个基本概念的几个基本概念(1) 利率（折现率）利率（折现率）i在工程经济分析中，把根据未来的现金流量求现在工程经济分析中，把根据未来的现金流量求现在的现金流量时所使用的利率称为在的现金流量时所使用的利率称为折现率折现率。本书中利。本书中利率和折现率一般不加以区分，均用率和折现率一般不加以区分，均用i来表示，并且来表示，并且i一一般指年利率（年折现率）。般指年利率（年折现率）。(2)计息次数计息次数n计息次数计息次数是指投资项目从开始投入资金（开始建是指投资项目从开始投入资金（开始建设）到项目的寿命周期终结为止的整个期限，计算利设）到项目的寿命周期终结为止的整个期限，计算利息的次数，通常以息的次数，通常以“年年”为单位。为单位。(3)现值现值P现值现值表示资金发生在某一特定时间序列始点上的表示资金发生在某一特定时间序列始点上的价值。在工程经济分析中，现值表示在现金流量图中价值。在工程经济分析中，现值表示在现金流量图中0点的投资数额或投资项目的现金流量折算到点的投资数额或投资项目的现金流量折算到0点时的点时的价值。折现计算法是评价投资项目经济效果时经常采价值。折现计算法是评价投资项目经济效果时经常采用的一种基本方法。用的一种基本方法。(4)终值终值F终值终值表示资金发生在某一特定时间序列终点上的表示资金发生在某一特定时间序列终点上的价值。其含义是指期初投入或产出的资金转换为计算价值。其含义是指期初投入或产出的资金转换为计算期末的期终值，即期末本利和的价值。期末的期终值，即期末本利和的价值。(5)年金年金A年金年金是指各年等额收入或支付的金额，通常以等是指各年等额收入或支付的金额，通常以等额序列表示，即在某一特定时间序列期内，每隔相同额序列表示，即在某一特定时间序列期内，每隔相同时间收支的等额款项。时间收支的等额款项。(6)等值等值等值等值是指在特定利率条件下，在不同时点的两笔是指在特定利率条件下，在不同时点的两笔绝对值不相等的资金具有相同的价值。绝对值不相等的资金具有相同的价值。 2.3.3 资金等金等值计算的基本公式算的基本公式2.3.3.1 一次支付一次支付类型型一次支付一次支付又称又称整付整付，是指所分析的系统的现金流，是指所分析的系统的现金流量，无论是流入还是流出均在某一个时点上一次发生。量，无论是流入还是流出均在某一个时点上一次发生。它又包括两个计算公式：它又包括两个计算公式：（1）一次支付终值复利公式一次支付终值复利公式如果有一笔资金，按年利率如果有一笔资金，按年利率i进行投资，进行投资，n年后本年后本利和应该是多少？也就是已知利和应该是多少？也就是已知P，i，n，求终值，求终值F。解决此类问题的公式称为一次支付终值公式，其计算解决此类问题的公式称为一次支付终值公式，其计算公式是：公式是：F=P(1+i)n公式（）表示在利率为公式（）表示在利率为i，计息期数为，计息期数为n条件下，条件下，终值终值F和现值和现值P之间的等值关系。之间的等值关系。一次支付终值公式的现金流量图一次支付终值公式的现金流量图如图所示如图所示。在公式（在公式（）中，）中，(1+i)n又称为又称为终值系数终值系数，记为，记为(F/P,i,n)。这样，式（）又可写为：这样，式（）又可写为：F=P(F/P,i,n) 【例例2.5】现在把现在把500元存入银行，银行年利率为元存入银行，银行年利率为4%，计，计算算3年后该笔资金的实际价值。年后该笔资金的实际价值。【解解】这是一个已知现值求终值的问题，其现金流量图这是一个已知现值求终值的问题，其现金流量图见图所示见图所示。由公式（）可得：由公式（）可得：F=P(1+i)3=500(1+4%)3=562.43(元元) 即即500元资金在年利率为元资金在年利率为4%时，经过时，经过3年后变为元，年后变为元，增值元。增值元。这个问题也可以利用公式（）查表计算求解。这个问题也可以利用公式（）查表计算求解。由复利系数表（见附录）可查得：由复利系数表（见附录）可查得：所以，所以，F=P(F/P,i,n（元）（元）（2）一次支付现值复利公式一次支付现值复利公式如果我们希望在如果我们希望在n年后得到一笔资金年后得到一笔资金F，在年利，在年利率为率为i的情况下，现在应该投资多少？也即是已知的情况下，现在应该投资多少？也即是已知F，i，n，求现值，求现值P。解决此类问题用到的公式称为一次。解决此类问题用到的公式称为一次支付现值公式，其计算公式为：支付现值公式，其计算公式为：P=F(1+i)-n其现金流量图其现金流量图如图所示如图所示。 在公式（）中，在公式（）中，(1+i)-n又称为现值系数，记为又称为现值系数，记为(P/F,i,n)，它与终值系数，它与终值系数(F/P,i,n)互为倒数，可通过查互为倒数，可通过查表求得。因此，公式（）又可写为：表求得。因此，公式（）又可写为：P=F(P/F,i,n) 【例例2.6】某企业某企业6年后需要一笔年后需要一笔500万元的资金，以作为万元的资金，以作为某项固定资产的更新款项，若已知年利率为某项固定资产的更新款项，若已知年利率为8%，问现在，问现在应存入银行多少钱？应存入银行多少钱？【解解】这是一个根据终值求现值的问题，其现金流量图这是一个根据终值求现值的问题，其现金流量图见图所示见图所示。 根据公式（）可得：根据公式（）可得：P=F(1+i)-n=500(1+8%)-6=315.10(万元万元) 即现在应存入银行万元。即现在应存入银行万元。也可以通过查表，根据公式（）得出。从附表可查也可以通过查表，根据公式（）得出。从附表可查得：得：所以，所以，P=F(P/F,i,n（万元）（万元）图2.3 一次支付终值公式现金流量图 图2.4 现金流量图 图2.5 一次支付现值公式现金流量图 图2.6 一次支付求现值现金流量图 等额支付等额支付是指所分析的系统中现金流入与现金流是指所分析的系统中现金流入与现金流出可在多个时间点上发生，而不是集中在某一个时间出可在多个时间点上发生，而不是集中在某一个时间点，即形成一个序列现金流量，并且这个序列现金流点，即形成一个序列现金流量，并且这个序列现金流量额的大小是相等的。量额的大小是相等的。它包括四个基本公式：它包括四个基本公式：（1）等额支付序列年金终值复利公式等额支付序列年金终值复利公式其含义是：其含义是：在一个时间序列中，在利率为在一个时间序列中，在利率为i的情况的情况下连续在每个计息期的期末支付一笔等额的资金下连续在每个计息期的期末支付一笔等额的资金A，求求n年后由各年的本利和累计而成的终值年后由各年的本利和累计而成的终值F。也即已知。也即已知A，i，n，求，求F。其现金流量图其现金流量图如图所示如图所示。 2.3.3.2 等等额支付支付类型型各期期末年金各期期末年金A相对于第相对于第n期期末的本利和可用期期末的本利和可用表表表示表示。F=A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+A(1+i)n-3+A(1+i)+A上式两边同时乘以（上式两边同时乘以（1+i）则有：）则有：F(1+i)=A(1+i)n+A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+A(1+i)n-3+A(1+i)后式减前式得：后式减前式得：F(1+i)-F=A(1+i)n-A即：即：F=A (1+i)n-1/i 也可以表示为：也可以表示为：F=A(F/A,i,n) 【例例2.7】某大型工程项目总投资某大型工程项目总投资10亿元，亿元，5年建成，每年年建成，每年末投资末投资2亿元，年利率为亿元，年利率为7%，求，求5年末的实际累计总投资额。年末的实际累计总投资额。【解解】这是一个已知年金求终值的问题，其现金流量图这是一个已知年金求终值的问题，其现金流量图见见图所示图所示。根据公式（）可得：根据公式（）可得：F=A (1+i)n-1/i=11.5(亿元亿元)此题表示若全部资金是贷款得来，需要支付亿元的利此题表示若全部资金是贷款得来，需要支付亿元的利息。息。也可以通过查表，根据公式（）得出。也可以通过查表，根据公式（）得出。 （2）偿债基金公式偿债基金公式其含义是：其含义是：为了筹集未来为了筹集未来n年后需要的一笔偿债资年后需要的一笔偿债资金，在利率为金，在利率为i的情况下，求每个计息期末应等额存储的情况下，求每个计息期末应等额存储的金额。也即已知的金额。也即已知F，i，n，求，求A。类似于我们日常商。类似于我们日常商业活动中的分期付款业务。业活动中的分期付款业务。.其现金流量图其现金流量图如图所示如图所示。其计算公式可根据公式（）推导得出：其计算公式可根据公式（）推导得出：A=Fi/(1+i)n-1又可写为：又可写为：A=F(A/F,i,n) 【例例2.8】某企业某企业5年后需要一笔年后需要一笔50万元的资金用于固定资万元的资金用于固定资产的更新改造，如果年利率为产的更新改造，如果年利率为5%，问从现在开始该企业每，问从现在开始该企业每年应存入银行多少钱？年应存入银行多少钱？【解解】这是一个已知终值求年金的问题，其现金流量图这是一个已知终值求年金的问题，其现金流量图见见图所示图所示。根据公式（）及公式（）有：根据公式（）及公式（）有：A=Fi/(1+i) n-1=F(A/F,i,n)=50(A/F,5%,5)=500.1810=9.05(万元万元) 即每年末应存入银行万元。即每年末应存入银行万元。（3）资金回收公式资金回收公式其含义是：其含义是：期初一次投资数额为期初一次投资数额为P，欲在，欲在n年内将年内将投资全部收回，则在利率为投资全部收回，则在利率为i的情况下，求每年应等额的情况下，求每年应等额回收的资金。也即已知回收的资金。也即已知P，i，n，求，求A。其现金流量图。其现金流量图如图所示如图所示。资金回收公式可根据偿债基金公式和一次支付终资金回收公式可根据偿债基金公式和一次支付终值公式来推导，即：值公式来推导，即：A=Fi/(1+i)n-1=Pi(1+i)n/(1+i)n-1又可写为：又可写为：A=P(A/P,i,n) 【例例2.9】某项目投资某项目投资100万元，计划在万元，计划在8年内全部收回投资，年内全部收回投资，若已知年利率为若已知年利率为8%，问该项目每年平均净收益至少应达到，问该项目每年平均净收益至少应达到多少？多少？【解解】这是一个已知现值求年金的问题，其现金流量图这是一个已知现值求年金的问题，其现金流量图见见图所示图所示。根据公式（）、公式（）有：根据公式（）、公式（）有：A=Pi(1+i)n/(1+i) n-1=P(A/P,i,n)（万元）（万元）即每年的平均净收益至少应达到万元，才可以保证在即每年的平均净收益至少应达到万元，才可以保证在8年内将投资全部收回年内将投资全部收回 （4）年金现值公式年金现值公式其含义是：其含义是：在在n年内每年等额收支一笔资金年内每年等额收支一笔资金A，则，则在利率为在利率为i的情况下，求此等额年金收支的现值总额。的情况下，求此等额年金收支的现值总额。也即已知也即已知A，i，n，求，求P。其现金流量图其现金流量图如图所示如图所示。其计算公式可表示为：其计算公式可表示为：P=A (1+i)n-1/i(1+i)n又可写为：又可写为：P=A(P/A,i,n) 【例例2.10】设立一项基金，计划在从现在开始的设立一项基金，计划在从现在开始的10年内，年内，每年年末从基金中提取每年年末从基金中提取50万元，若已知年利率为万元，若已知年利率为10%，问，问现在应存入基金多少钱？现在应存入基金多少钱？【解解】这是一个已知年金求现值的问题，其现金流量图这是一个已知年金求现值的问题，其现金流量图见见图所示图所示。根据公式（）、公式（）有：根据公式（）、公式（）有：P=A (1+i)n-1/i(1+i)n=A(P/A,i,n)（万元）（万元） 图2.7 年金终值公式现金流量图 表表2.2 普通年金复利终值计算表普通年金复利终值计算表 期数 123 n-1n每期末年金 AAA AAn期末年金终值 A(1+i)n-1 A(1+i)n-2A(1+i)n-3 A(1+i)A图2.8 例现金流量图 图2.9 偿债基金公式现金流量图 图2.10 已知终值求年金现金流量图 图2.11 资金回收公式现金流量图图2.12 已知现值求年金现金流量图 图2.13 年金现值公式现金流量图 图2.14 已知年金求现值现金流量图 等等值基本公式相互关系示意基本公式相互关系示意图运用基本等运用基本等值公式公式应注意的注意的问题 1 1、实施方案所需的初始投资，假定发生在方案的寿命期初、实施方案所需的初始投资，假定发生在方案的寿命期初（期初惯例）；（期初惯例）； 2 2、方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）、方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末（期末惯例）；末（期末惯例）； 3 3、本年的年末即是下一年的年初；、本年的年末即是下一年的年初； 4 4、P P是在当年度开始时发生；是在当年度开始时发生； 5 5、F F是在当年以后的第是在当年以后的第n n年年末发生；年年末发生； 6 6、A A是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括P P和和A A时，系列的第一个时，系列的第一个A A是在是在P P发生一年后的年末发生；当现金流发生一年后的年末发生；当现金流量系列包括量系列包括F F和和A A时，系列的最后一个时，系列的最后一个A A是和是和F F同时发生。同时发生。均匀梯度序列的梯度序列将来值现金流量图均匀梯度序列的梯度序列将来值现金流量图如图如图所示所示。第一年年末的支付是第一年年末的支付是A1，第二年年末的支付为，第二年年末的支付为A1+G，以后每年都比上一年增加一笔支付，以后每年都比上一年增加一笔支付G，第，第n年年年末的支付是年末的支付是A1+(n-1)G。梯度序列的将来值。梯度序列的将来值F2计算如计算如下：下： 2.3.3.3 均匀梯度序列公式均匀梯度序列公式而与而与F2等值的等额年值等值的等额年值A2为为则梯度序列的等额年值则梯度序列的等额年值 【例例2.11】若某人第一年支付一笔若某人第一年支付一笔10 000元的保险金，之后元的保险金，之后9年内每年少支付年内每年少支付1000元，若元，若10年内采用等额支付的形式，年内采用等额支付的形式，则等额支付款为多少时等价于原保险计划则等额支付款为多少时等价于原保险计划?【解解】根据公式根据公式(2.20)并查书中的附表求得并查书中的附表求得A10 000-1000(A/G，i,10)10 000-10003.87136128.7(元元) 图2.15 均匀梯度序列现金流量图 (1) 方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初，即初，即“零点零点”处；方案的经常性支出假定发生在处；方案的经常性支出假定发生在计息期末。计息期末。(2) P是在计算期初开始发生（零时点），是在计算期初开始发生（零时点），F在当在当前以后第前以后第n年年末发生，年年末发生，A是在考察期间各年年末发是在考察期间各年年末发生。生。(3) 利用公式进行资金的等值计算时，要充分利利用公式进行资金的等值计算时，要充分利用现金流量图。现金流量图不仅可以清晰、准确地用现金流量图。现金流量图不仅可以清晰、准确地反映现金收支情况，而且有助于准确确定计息期数，反映现金收支情况，而且有助于准确确定计息期数，使计算不致发生错误。使计算不致发生错误。2.3.3.4 公式公式应用中用中应注意的注意的问题(4) 在进行等值计算时，如果现金流动期与计息在进行等值计算时，如果现金流动期与计息期不同时，就需注意实际利率与名义利率的换算。期不同时，就需注意实际利率与名义利率的换算。如例所示如例所示。 (5) 利用公式进行计算时，要注意现金流量计算利用公式进行计算时，要注意现金流量计算公式是否与等值计算公式中的现金流量计算公式相公式是否与等值计算公式中的现金流量计算公式相一致。如果一致，可直接利用公式进行计算；否则，一致。如果一致，可直接利用公式进行计算；否则，应先对现金流量进行调整，然后再进行计算。应先对现金流量进行调整，然后再进行计算。如例如例所示所示。【例例2.12】某项目采用分期付款的方式，连续某项目采用分期付款的方式，连续5年每年末年每年末偿还银行借款偿还银行借款150万元，如果银行借款年利率为万元，如果银行借款年利率为8%，按，按季计息，问截至到第季计息，问截至到第5年末，该项目累计还款的本利和是年末，该项目累计还款的本利和是多少？多少？【解解】该项目还款的现金流量图该项目还款的现金流量图如图所示如图所示。首先求出现金流动期的等效利率，也即实际年利率。首先求出现金流动期的等效利率，也即实际年利率。根据公式（），有：根据公式（），有：i=(1+r/m)m-1=8.24%这样，原问题就转化为年利率为这样，原问题就转化为年利率为8.24%，年金为，年金为150万元，期限为万元，期限为5年，求终值的问题。年，求终值的问题。然后根据等额支付序列年金终值公式然后根据等额支付序列年金终值公式(2.12)，有：，有：F=A(1+i)n-1/i=884.21(万元万元) 即该项目累计还款的本利和是万元。即该项目累计还款的本利和是万元。 【例例2.13】某企业某企业5年内每年初需要投入资金年内每年初需要投入资金100万元用于万元用于技术改造，企业准备存入一笔钱以设立一项基金，提供技术改造，企业准备存入一笔钱以设立一项基金，提供每年技改所需的资金。如果已知年利率为每年技改所需的资金。如果已知年利率为6%，问企业应，问企业应该存入基金多少钱？该存入基金多少钱？【解解】这个问题的现金流量图这个问题的现金流量图如图所示如图所示。调整后的现金流量情况可调整后的现金流量情况可参考图所示参考图所示。由图可知，这是一个已知由图可知，这是一个已知A，i，n，求，求P的问题。根的问题。根据年金现值公式据年金现值公式(2.18)，有：，有：P=A(P/A,i,n)100(1+6%)(P/A,6%,5)= 446.51(万万元元)即企业现在应该存入基金万元。即企业现在应该存入基金万元。 图2.16 按季计息年度支付的现金流量图 图2.17 预付年金的等值变换 图2.18 调整后的现金流量图 2.3.4 等等值计算算2.3.4.1 计息周期等于支付周期息周期等于支付周期【例例2.14】年利率为年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，每半年计息一次，从现在起，连续连续3年，每半年作年，每半年作100万元的等额支付，问与其等值的万元的等额支付，问与其等值的现值为多少？现值为多少？【解解】每计息期的利率每计息期的利率i=12%/2=6%m=32=6P=A(P/A,i,n)100(P/A,6%,6)=1004.9173=491.73(万元万元) 【例例2.15】年利率为年利率为10%，每半年计息，每半年计息1次，从现在起连次，从现在起连续续3年的等额年末支付为年的等额年末支付为500万元，与其等值的第万元，与其等值的第0年的现年的现值是多少？值是多少？【解解】方法一：方法一：先求出支付期的有效利率，支付期为先求出支付期的有效利率，支付期为1年，年，则有效年利率为则有效年利率为i=(1+r/m)m-1=(1+10%/2)2-1=10.25%则则P=A(1+i)n-1/i(1+i) n=1237.97(万元万元)方法二：方法二：可把等额支付的每一个支付看作为一次支可把等额支付的每一个支付看作为一次支付，利用一次支付现值公式计算。付，利用一次支付现值公式计算。如图所示如图所示。2.3.4.2 计息周期小于支付周期息周期小于支付周期P=500(1+10%/2)-2+500(1+10%/2)-4+500(1+10%/2)-6（万元）（万元）方法三：方法三：取一个循环周期，使这个周期的年末支付取一个循环周期，使这个周期的年末支付变成等值的计息期末的等额支付序列，从而使计息期和变成等值的计息期末的等额支付序列，从而使计息期和支付期完全相同，则可将有效利率直接代入公式计算。支付期完全相同，则可将有效利率直接代入公式计算。如图所示如图所示。在年末存款在年末存款500万元的等效方式是在每半年末存入万元的等效方式是在每半年末存入A=500(A/F,i,n)=500(A/F,5%,2)（万元）（万元）则则P=A(P/A,i,n)（万元）（万元） 图2.19 现金流量图 图2.20 现金流量图 【例例2.16】现金流量图现金流量图如图所示如图所示，年利率为，年利率为12%，每季度，每季度计息计息1次，求年末终值次，求年末终值F为多少？为多少？【解解】按上述原则进行调整，得到等值的现金流量图按上述原则进行调整，得到等值的现金流量图如如图所示图所示。根据调整过的现金流量图求得终值：根据调整过的现金流量图求得终值：F=(-300+200)(1+12%/3)4+300(1+12%/3)3+100(1+12%/3)2-300(1+12%/3）+100（万元）（万元） 2.3.4.3 计息周期大于支付周期息周期大于支付周期图2.21 现金流量图 图2.22