第四节 平面向量应用举例三年三年6 6考考 高考指数高考指数:1.1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. .2.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. .1.1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，也是热点也是热点. .2.2.以向量为工具解决平面几何问题是难点以向量为工具解决平面几何问题是难点. .3.3.三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题形式出现，难度三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题形式出现，难度中档偏上中档偏上. .1.1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用(1)(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题长度、夹角等问题. .(2)(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧用向量解决常见平面几何问题的技巧线平行、点共线、相似问题线平行、点共线、相似问题利用共线向量定理：利用共线向量定理：ab_垂直问题垂直问题利用数量积的运算性质：利用数量积的运算性质： _夹角问题夹角问题利用夹角公式：利用夹角公式：coscos=_(=_(为为 的夹角的夹角) )(3)(3)用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”平面几何问题平面几何问题 向量问题向量问题 解决向量问题解决向量问题 解决几何问题解决几何问题【即时应用【即时应用】判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？( (请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”) )若若 ，则三点，则三点A A、B B、C C共线共线. . ( ) ( )在在ABCABC中，若中，若 则则ABCABC为钝角三角形为钝角三角形. . ( ) ( )在四边形在四边形ABCDABCD中，边中，边ABAB与与CDCD为对边，若为对边，若 则此四则此四边形为平行四边形边形为平行四边形. . ( ) ( )【解析【解析】因因 共始点共始点A A，且，且 ，故，故正确；正确； 0 0 0 0，BB为锐角，不能判断为锐角，不能判断ABCABC的形状，故的形状，故不正确；不正确； ,AB DC, ,AB DC,故故正确正确. .答案：答案： 2.2.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用(1)(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决. .(2)(2)物理学中的功是一个标量，是力物理学中的功是一个标量，是力F与位移与位移s的数量积的数量积. .即即 (为为F与与s的夹角的夹角).).【即时应用【即时应用】(1)(1)已知两个力已知两个力 的夹角为的夹角为9090，它们的合力，它们的合力F的大小的大小为为10N10N，合力与，合力与F1 1的夹角为的夹角为6060, ,那么那么F1 1的大小为的大小为_._.(2)(2)已知已知a=(cosx,sinx),=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx=(cosx,-sinx),),则函数则函数y=y=的最小正周期为的最小正周期为_._.(3)(3)如图，已知两个力的大小和方如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为向，则合力的大小为_N_N；若在图示坐标系中，用坐标表示合若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为力，则合力的坐标为_._.【解析【解析】(1)(1)如图所示如图所示. .(2)(2)T= =.T= =.(3) (3) 合力合力 =(2,3)+(3,1)=(5,4),=(2,3)+(3,1)=(5,4),合力的大小为合力的大小为答案：答案：(1)5N (2) (3) (5,4)(1)5N (2) (3) (5,4) 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用【方法点睛【方法点睛】平面几何问题的向量解法平面几何问题的向量解法平面向量在平面几何中的应用主要体现在：利用平面向量在平面几何中的应用主要体现在：利用 可以求线可以求线段的长度，利用段的长度，利用coscos= (= (为为a与与b的夹角的夹角) )可以求可以求角，利用角，利用 可以证明垂直，利用可以证明垂直，利用 可以判定可以判定平行等平行等. .【提醒【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例如：向量例如：向量 并不能说明直线并不能说明直线ABCD.ABCD.【例【例1 1】(2011(2011天津高考天津高考) )已知直角梯形已知直角梯形ABCDABCD中，中，ADBC,ADBC,ADC=90ADC=90,AD=2,BC=1,P,AD=2,BC=1,P是腰是腰DCDC上的动点，则上的动点，则 的的最小值为最小值为_._.【解题指南【解题指南】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点表示出点P P、C C、B B、A A的坐标，进而表示出的坐标，进而表示出 ，然后转，然后转化为函数问题求解化为函数问题求解. .【规范解答【规范解答】建立平面直角坐标系如建立平面直角坐标系如图所示图所示. .设设P(0,y),C(0,b)P(0,y),C(0,b)，则，则B(1,b),B(1,b),A(2,0),A(2,0),则则 =(2,-y)+3(1,b-y)=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).=(5,3b-4y). =25+(3b-4y) =25+(3b-4y)2 2(0yb),(0yb),当当y= by= b时，时， 最小，最小， =5.=5.答案：答案：5 5【反思【反思感悟感悟】平面几何问题的向量解法平面几何问题的向量解法(1)(1)坐标法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题得到解决. .(2)(2)基向量法基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解关于设定未知量的方程来进行求解. . 向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用【方法点睛【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路题思路(1)(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解解. .(2)(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等函数在定义域内的有界性，求得值域等. .【例【例2 2】(1)(1)已知向量已知向量 则函数则函数 的值域为的值域为_._.(2)(2)在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所对的边分别为所对的边分别为a a、b b、c c，向量，向量p=(1-sinA, ), =(1-sinA, ), q=(cos2A,2sinA),=(cos2A,2sinA),且且pq. .求求sinAsinA的值；的值；若若b=2,ABCb=2,ABC的面积为的面积为3 3，求，求a.a.【解题指南【解题指南】(1)(1)利用向量的基本运算写出关于利用向量的基本运算写出关于x x的函数，然后的函数，然后求出值域求出值域. .(2)(2)利用利用pq列出关于列出关于sinAsinA的方程；的方程；由由sinA,bsinA,b及及S SABCABC= bcsinA= bcsinA可求出可求出c c，再由余弦定理求，再由余弦定理求a.a.【规范解答【规范解答】(1) (1) = = xx0, 0, ，g(xg(x)0,20,2. .答案：答案：0,20,2(2)(2)pq, cos2A=(1-sinA), cos2A=(1-sinA) 2sinA,2sinA,6(1-2sin6(1-2sin2 2A)=7sinA(1-sinA),A)=7sinA(1-sinA),5sin5sin2 2A+7sinA-6=0,sinA= .(sinAA+7sinA-6=0,sinA= .(sinA=-2=-2舍舍) )由由S SABCABC= bcsinA= bcsinA=3,b=2,=3,b=2,得得c=5,c=5,又又a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA=4+25-2-2bccosA=4+25-22 25cosA=29-20cosA,5cosA=29-20cosA,当当cosAcosA= = 时时,a,a2 2=13,a= ;=13,a= ;当当cosAcosA= = 时，时，a a2 2=45,a= .=45,a= .【反思【反思感悟感悟】1.1.该类题的解题关键该类题的解题关键把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的把向量关系转化为向量的运算，再进一步转化为纯三角函数的运算，即该类题的解题关键是运算，即该类题的解题关键是“转化思想方法的应用转化思想方法的应用”. .2.2.向量在该类题中的作用向量在该类题中的作用向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数向量作为载体，通过向量间的平行、垂直关系转化为三角函数运算运算. . 平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中的应用【方法点睛【方法点睛】向量在解析几何中的作用向量在解析几何中的作用(1)(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包包装装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向向量外衣量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用 可解决可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法. . 【例【例3 3】已知两点】已知两点M(-1,0),N(1,0)M(-1,0),N(1,0)，且点，且点P P使使 成公差非负的等差数列成公差非负的等差数列. .(1)(1)求点求点P P的轨迹方程的轨迹方程; ;(2)(2)若若为为 与与 的夹角，求的夹角，求的最大值及此时点的最大值及此时点P P的坐的坐标标. .【解题指南【解题指南】(1)(1)设设P(x,yP(x,y),),直接求点直接求点P P的轨迹方程的轨迹方程; ;(2)(2)先求出先求出coscos的范围，再求的范围，再求的最大值的最大值. .【规范解答【规范解答】(1)(1)设点设点P P坐标为坐标为(x,y(x,y),),则则 =(-1-x,-y),=(-1-x,-y),依题意得依题意得 ，点点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+y+y2 2=3(x0).=3(x0).(2) =(-1-x,-y)(2) =(-1-x,-y)(1-x,-y)(1-x,-y)=x=x2 2+y+y2 2-1=2,-1=2,0x , cos1,0 .0x , cos1,0 .的最大值为的最大值为 , ,此时此时x=0,x=0,点点P P的坐标为的坐标为(0,(0, ). ). 【反思【反思感悟感悟】1.1.向量法解决平面解析几何问题的关键是把点向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算. .2.2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握熟练掌握. . 【易错误区【易错误区】忽视对直角位置的讨论致误忽视对直角位置的讨论致误【典例】【典例】(2012(2012烟台模拟烟台模拟) )已知平面上三点已知平面上三点A A、B B、C C， =(2-k,3), =(2,4).=(2-k,3), =(2,4).(1)(1)若三点若三点A A、B B、C C不能构成三角形，求实数不能构成三角形，求实数k k应满足的条件；应满足的条件；(2)(2)若若ABCABC为直角三角形，求为直角三角形，求k k的值的值. .【解题指南【解题指南】(1)(1)三点三点A A、B B、C C不能构成三角形，即不能构成三角形，即A A、B B、C C三点共线三点共线. .(2)(2)对对A A、B B、C C谁为直角顶点进行分类讨论谁为直角顶点进行分类讨论. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由三点由三点A A、B B、C C不能构成三角形，得不能构成三角形，得A A、B B、C C在同一直线上，即向量在同一直线上，即向量 与与 平行，平行， ,4(2-k)-2 ,4(2-k)-23=0,3=0,解得解得k= .k= .(2) =(2-k,3), =(k-2,-3),(2) =(2-k,3), =(k-2,-3), =(k,1). =(k,1).ABCABC为直角三角形，为直角三角形，则当则当BACBAC是直角时，是直角时， , ,即即2k+4=02k+4=0，解得，解得k=-2;k=-2;当当ABCABC是直角时，是直角时， ，即，即k k2 2-2k-3=0,-2k-3=0,解得解得k=3k=3或或k=-1;k=-1;当当ACBACB是直角时，是直角时， ，即，即16-2k=016-2k=0，解得，解得k=8.k=8.综上得综上得k-2,-1,3,8.k-2,-1,3,8.【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警示和备考建议：示和备考建议：误误区区警警示示解答本题易出现以下两个错误：解答本题易出现以下两个错误：(1)(1)由于思维定势误认为第由于思维定势误认为第(2)(2)问中的问中的A A一定是直角，从而使解一定是直角，从而使解答不完整答不完整. .(2)(2)混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误. .备备考考建建议议建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：(1)(1)加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题，考虑问题要全面题，考虑问题要全面. .(2)(2)要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运算等算等. .1.(20121.(2012合肥模拟合肥模拟) )设设ABCABC的三个内角的三个内角A A，B B，C C，向量，向量 若若 =1+cos(A+B),=1+cos(A+B),则则C=( )C=( )(A) (A) (B)(B)(C) (C) (D)(D)【解析【解析】选选C. (sinAcosB+cosAsinBC. (sinAcosB+cosAsinB) )= sin(A+B)= sinC= sin(A+B)= sinC, , sinC sinC=1+cos(A+B)=1-cosC,=1+cos(A+B)=1-cosC, sinC+cosC sinC+cosC=1,=1,C(0,),C(0,),2.(20122.(2012福州模拟福州模拟) )如图，已知点如图，已知点O O是边长为是边长为1 1的等边的等边ABCABC的的中心，则中心，则 等于等于( )( )【解析【解析】选选D.ABCD.ABC的边长为的边长为1 1，O O为中心，为中心，3.(20123.(2012北京模拟北京模拟) )在在ABCABC中，中，(1)(1)求求ABCABC的边的边ABAB的长的长; ;(2)(2)求求 的值的值. .【解析【解析】(1)(1)bb2 2+c+c2 2-a-a2 2=2,a=2,a2 2+c+c2 2-b-b2 2=6=6c c2 2=4=4c=2,c=2,即即AB=2.AB=2.(2) ,acosB(2) ,acosB=3bcosA,=3bcosA,sinAcosBsinAcosB=3sinBcosA.=3sinBcosA.