第六章第六章 刚体力学刚体力学 6.1 6.1 刚体运动概述刚体运动概述6.2 6.2 作用在刚体上的力系作用在刚体上的力系6.3 6.3 刚体的平衡刚体的平衡6.4 6.4 刚体的定轴转动刚体的定轴转动6.5 6.5 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动6.1 6.1 刚体运动概述刚体运动概述一、刚体模型介绍一、刚体模型介绍刚体模型的适用范围：刚体模型的适用范围：刚性物体的低速运动刚性物体的低速运动。 作用在作用在A A端的力传递到端的力传递到Z Z端，是靠弹力（波）传端，是靠弹力（波）传递完成的。当形变很小，讨论的运动过程的速度远递完成的。当形变很小，讨论的运动过程的速度远小于波传播速度时，可以忽略形变，且不考虑弹性小于波传播速度时，可以忽略形变，且不考虑弹性波的传播过程，把物体看成刚体。波的传播过程，把物体看成刚体。作用力的传递过程：作用力的传递过程：刚体模型等价于弹性波传播速度无穷大。刚体模型等价于弹性波传播速度无穷大。定定义： 刚体是整体及其部分的形状和大小保持不体是整体及其部分的形状和大小保持不变的的物体。物体。( (刚体可以看成任意两体可以看成任意两质点距离保持不点距离保持不变的的质点系。点系。) )二、自由度二、自由度确定一个力学体系在空确定一个力学体系在空间的几何位置、位形的几何位置、位形所需独立所需独立变量的个数称量的个数称为该体系的自由度。体系的自由度。 定定义：一个一个质点在空点在空间有有3 3个自由度。个自由度。N N个个质点点组成的成的质点系有点系有3N3N个自由度。个自由度。一个一个约束条件就少一个自由度。束条件就少一个自由度。m m1 1m m2 2O Oz zx xy y例例 轻杆连接的轻杆连接的2 2质点体系自由度质点体系自由度5 5O Oz zx xy ym m1 1m m2 2m m3 3例例 轻杆两两连接的轻杆两两连接的3 3质点体系自由度质点体系自由度6 6O Oz zx xy ym m1 1m m2 2m m3 3m m4 4例例 轻杆两两连接的轻杆两两连接的4 4质点体系自由度质点体系自由度6 6平动：自由度平动：自由度3 3定轴转动：自由度定轴转动：自由度1 1平面平行运动质点平面运动刚体定平面平行运动质点平面运动刚体定轴转动：自由度轴转动：自由度3 3 定点转动：自由度定点转动：自由度3 3一般运动平动定点转动：自由度一般运动平动定点转动：自由度6 62 2、刚体的运动形式及自由度、刚体的运动形式及自由度 三、刚体的运动形式及自由度三、刚体的运动形式及自由度 1 1、自由刚体的自由度是、自由刚体的自由度是6 6，非自由刚体的自由度数，非自由刚体的自由度数66。（刚体是任意两体是任意两质点距离保持不点距离保持不变的的质点系。）点系。）四、刚体质心四、刚体质心刚体是体是质量量连续分布的分布的质点系。点系。直角坐标系中直角坐标系中简易判断密度均匀的刚简易判断密度均匀的刚体的质心位置：体的质心位置：1 1）如如果果具具有有对对称称中中心心，质心就在对称中心。质心就在对称中心。2 2）如如果果没没有有对对称称中中心心，但但刚刚体体分分区区对对称称，个个部部分分的的质质心心就就在在其其对对称称中中心心，这这些些质质心心形形成成分分立立的的质质点点组组，刚刚体体的的质质心心就就是是这这个个质质点组的质心。点组的质心。薄板、细线质心的简易求法：薄板、细线质心的简易求法：Pappus定理定理I：假如在一个平面上取任一：假如在一个平面上取任一闭合区域，并合区域，并使它在空使它在空间运运动形成一个立体，在运形成一个立体，在运动时，令各点的，令各点的运运动方向始方向始终垂直于垂直于该区域的平面，区域的平面，这样形成的立体形成的立体的体的体积就等于它的横截面就等于它的横截面积乘以乘以质心在运心在运动过程中所程中所经过的距离。的距离。Pappus定理定理II：假如在一个平面上取一段曲：假如在一个平面上取一段曲线，并使，并使它在空它在空间运运动形成一个曲面，在运形成一个曲面，在运动时，令各点的运，令各点的运动方向始方向始终垂直于垂直于该曲曲线平面，平面，这样形成的曲面就等形成的曲面就等于曲于曲线长度乘以度乘以质心在运心在运动过程中所程中所经过的距离。的距离。五、刚体的运动特征五、刚体的运动特征质心运动方程：质心运动方程：1 1）刚体的质心固结在刚体上，随刚体一起运动，）刚体的质心固结在刚体上，随刚体一起运动， 刚体的平动运动可以用质心的运动表征。刚体的平动运动可以用质心的运动表征。3 3）刚体的内力做功为零。）刚体的内力做功为零。4 4）刚体的动能定理：）刚体的动能定理：角动量定理：角动量定理：2)2)刚体的转动满足质点系角动量定理刚体的转动满足质点系角动量定理内力做功决定于相对位移，刚体各质点的内力做功决定于相对位移，刚体各质点的相对位移为零。相对位移为零。6.2 6.2 作用在刚体上的力系作用在刚体上的力系一、力系一、力系 1 1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。2 2、分类：、分类：a)a)共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交于一点的力系。于一点的力系。b)b)平行力系：所有力互相平行或反平行。平行力系：所有力互相平行或反平行。共面力系：所有的力位于同一平面内。共面力系：所有的力位于同一平面内。异面力系：力的作用线不在一个平面内。异面力系：力的作用线不在一个平面内。2 2、力系的等效条件：、力系的等效条件：二、力系等效二、力系等效如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这两个力系互为等效力系。两个力系互为等效力系。 1 1、等效力系的定义、等效力系的定义3 3、零力系：、零力系： 所有的零力系都等效所有的零力系都等效 任何力系加上零力系后与原力系等效任何力系加上零力系后与原力系等效 最简单的零力系是一对平衡力组成的力系最简单的零力系是一对平衡力组成的力系力系力的矢量和为零，对固定参考点力系力的矢量和为零，对固定参考点的力矩和为零的力系。的力矩和为零的力系。 说明：说明： 4 4、力偶：、力偶：力偶的力矩和与参考点无关，只和作用点的相力偶的力矩和与参考点无关，只和作用点的相对位置有关。对位置有关。力偶矩相等的力偶等效。力偶矩相等的力偶等效。等值反向不共线的一对力。等值反向不共线的一对力。力偶矩力偶矩三、力的平移定理：三、力的平移定理： 1 1、作用在刚体上的力的特性：、作用在刚体上的力的特性：作用在刚体上的力是滑移矢量，可以沿着力的作作用在刚体上的力是滑移矢量，可以沿着力的作用线移动（滑移），但不能任意平移。用线移动（滑移），但不能任意平移。力的效果决定于力的三要素：力的效果决定于力的三要素：大小、方向、作用点大小、方向、作用点作用在刚体上的力沿着力的作用线滑移时，作用在刚体上的力沿着力的作用线滑移时， 对刚体的作用效果不变。对刚体的作用效果不变。力不是自由矢量力不是自由矢量自由矢量：矢量和起始参考点无关，自由矢量：矢量和起始参考点无关，如位移、速度、加速度；反之称为如位移、速度、加速度；反之称为非自由矢量，如位矢、力。非自由矢量，如位矢、力。作用在刚体上某点的一个力等效于作用于刚体上作用在刚体上某点的一个力等效于作用于刚体上另一点的一个与它相等的力及一个附加力偶。附另一点的一个与它相等的力及一个附加力偶。附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩。加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩。2 2、力的平移定理：、力的平移定理： OPF F1 1F F2 2F F3 3F F1 1 = F= F2 2 = F= F3 3F F1 1与力系（与力系（F F1 1、F F2 2、F F3 3）等效，等效，F F1 1、F F3 3构成力偶。构成力偶。F F2 2、F F3 3构成零力系构成零力系四、力系的简化（等效力系）四、力系的简化（等效力系） 共点力系（汇交力系）共点力系（汇交力系）: :平行力系：平行力系：共点力系等效于一个作用于交点的单力，单力共点力系等效于一个作用于交点的单力，单力就是力系中所有力的矢量和。就是力系中所有力的矢量和。 等效于一个单力等效于一个单力或或一个力偶。一个力偶。 f f-f-fF F1 1F F2 2F F2 2F F1 1A AB BD DC CF FF F1 1+F+F2 2f f-f-fF F1 1F F2 2F F2 2F F1 1A A B BD DF FF F2 2 - F- F1 1C CF F1 1、共面力系：可分为共点力系和平行力系、共面力系：可分为共点力系和平行力系力的滑移特性力的滑移特性2 2、异面力系：、异面力系：等效于一个单力等效于一个单力与与一个力偶一个力偶A AF F1 1B BF F2 2O Oy yx xz z-F-F3 3F F3 3F F6.3 6.3 刚体的平衡刚体的平衡平动：平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。刚体运动刚体运动平动：平动：转动：转动： 定轴转动、一般转动定轴转动、一般转动直线平动、曲线平动直线平动、曲线平动转动：转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。刚刚体体的的一一般般运运动动(n=6)(n=6)可可视视为为随随刚刚体体上上某某一一基基点点A A的的平平动动和和绕绕该该点点的定点转动的合成的定点转动的合成. .O OO O O O 刚体运动分解为基点的平动和绕该点的定点转动的刚体运动分解为基点的平动和绕该点的定点转动的合成合成, ,选择不同的基点，平动速度就不同选择不同的基点，平动速度就不同, ,而转动角而转动角速度就与基点的选择无关。即刚体上的角速度矢量速度就与基点的选择无关。即刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同的大小和方向都相同, ,这即是刚体角速度的绝对性。这即是刚体角速度的绝对性。证明：如图证明：如图, ,选选c c为基点，为基点， 则则p p点的速度点的速度刚体角速度刚体角速度( (矢量矢量) )的绝对性的绝对性若选若选 为基点，则为基点，则p p点绕点绕 点有一角速度点有一角速度 ，则，则由此得到由此得到故刚体上的角速度矢量的大小和方向都相故刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同，与基点无关。同，与基点无关。二、刚体的平衡方程二、刚体的平衡方程2 2、平衡条件：、平衡条件：1 1、刚体的运动方程、刚体的运动方程质心运动方程：质心运动方程：角动量定理：角动量定理：( (对任一定点成立对任一定点成立) )一、刚体的平衡状态一、刚体的平衡状态处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和角动量均不随时间改变（通常等于零）的状态。角动量均不随时间改变（通常等于零）的状态。例例 质量为质量为 m ，长为，长为 a 的匀质杆的匀质杆 AB 由系于两端长是由系于两端长是 a 的线悬于的线悬于 O 点，在点，在 B 端挂质量为端挂质量为 m 的重物。求平衡的重物。求平衡时杆与水平方向的夹角时杆与水平方向的夹角及每根及每根线中的中的张力力 TA 和和 TB 。maOaaA AB B解：解： 考虑杆的刚体平衡，考虑杆的刚体平衡，B B为参考点为参考点yxO定理：刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交定理：刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。作用线共面。O OO O 证证 2 2、根据力的平行四边形法则，将、根据力的平行四边形法则，将 合成合力合成合力三力三力 必汇交且共面。必汇交且共面。1 1、根据力的滑移特性，将、根据力的滑移特性，将 沿作用线移至汇交点沿作用线移至汇交点O O 3 3、根据二力平衡条件、根据二力平衡条件 ， 这两力必共线，故这两力必共线，故 也过也过O O点点 。 例例：半半径径为为R R 的的半半球球形形碗碗内内搁搁一一均均匀匀的的筷筷子子ABAB。筷筷子子长长2 2 l, , 设设 , , 且且为为光光滑滑接接触触。求筷子平衡时的倾角求筷子平衡时的倾角 a。6.4 6.4 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚刚体体作作定定轴轴转转动动时时，其其上上的的任任意意一一点点都都绕绕转转轴轴做做圆周运动圆周运动, ,用一个变量用一个变量=(t)=(t)即可描述其运动。即可描述其运动。x=rcosx=rcos，y=rsiny=rsinY YX设轨迹圆半径设轨迹圆半径r r： 2. 2. 角速度角速度3. 3. 角加速度角加速度定义：角位置定义：角位置,(,(与零点选取有关）与零点选取有关）1.1.角位移角位移一、刚体定轴转动的角量描述一、刚体定轴转动的角量描述4.4.刚体定轴匀变速转动方程刚体定轴匀变速转动方程角位移不是矢量角位移不是矢量二、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度二、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度3 3、切向加速度和法向加速度、切向加速度和法向加速度2 2、速度和角速度的关系、速度和角速度的关系1 1、角量与线量的对应关系、角量与线量的对应关系r r的的起起始始点点在在转转轴轴上上！三、刚体的转动惯量三、刚体的转动惯量1 1、刚体对定轴的角动量、刚体对定轴的角动量2 2、刚体的转动动能、刚体的转动动能质点动量：质点动量：质点的动能：质点的动能：3 3、刚体的转动惯量、刚体的转动惯量定义：定义：刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至转轴的其至转轴的垂直距离垂直距离的平方的乘积之和。的平方的乘积之和。质量分立的体系：质量分立的体系：质量连续分布的刚体：质量连续分布的刚体：线分布：线分布：面分布：面分布：体分布：体分布：4)4)回转半径回转半径k k：1)1)转动惯量和质量类似，是转动惯量和质量类似，是刚体转动惯性大小刚体转动惯性大小的量度，的量度，单位：单位：kgmkgm2 2。2)2)刚刚体体的的转转动动惯惯量量不不仅仅和和刚刚体体的的总总质质量量有有关关，还和质量相对轴的质量分布有关。还和质量相对轴的质量分布有关。3)3)质量均匀分布形状规则的刚体，可以用定义公质量均匀分布形状规则的刚体，可以用定义公式计算，形状复杂的刚体通常通过实验测量。式计算，形状复杂的刚体通常通过实验测量。说明：说明：几种典型形状几种典型形状刚体的转动惯量刚体的转动惯量计算计算1) 1) 均匀细棒均匀细棒a) a) 转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直dxxodmzb) b) 转轴过棒一端与棒垂直转轴过棒一端与棒垂直dxxodmz2)2)均匀细园环均匀细园环转轴过圆心与环面垂直转轴过圆心与环面垂直Rozdmm问题：如何计算园环转轴通过园环直径的转动惯量？问题：如何计算园环转轴通过园环直径的转动惯量？3) 3) 均匀圆盘绕中心轴的转动惯量均匀圆盘绕中心轴的转动惯量质量为质量为m, m, 半径为半径为R, R, 厚为厚为l, , 转轴过圆心与环面垂直转轴过圆心与环面垂直Rrolmz圆柱的转动惯量？圆柱的转动惯量？4) 4) 均匀薄球壳绕直径的转动惯量均匀薄球壳绕直径的转动惯量 圆环质元圆环质元质元面积质元面积均匀薄球壳转动惯量均匀薄球壳转动惯量z zR R典典型型形形状状刚刚体体的的转转动动惯惯量量 圆筒圆筒 圆环圆环I=mRI=mR2 2 R RmO O O O 圆柱圆柱 R R2 2R R1 1细圆棒细圆棒R R圆球圆球 球壳球壳 R R例例 求组合刚体的转动惯量。求组合刚体的转动惯量。如如图所示，一所示，一质量量为M、半径半径为R的的圆盘，边缘粘一粘一质量为质量为m m的质点，试求对中心轴的质点，试求对中心轴ozoz的转动惯量。的转动惯量。解：圆环解：圆环dm的转动惯量为的转动惯量为r2dm转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布4 4、平行轴定理、平行轴定理设C是是刚体的体的质心，心，刚体体绕过质心心C 的的转轴的的转动惯量量IC、将此、将此轴平移距离平移距离 d 后，后，刚体体绕此新此新轴的的转动惯量量ID为：CDdP P1) 1) 均匀细棒均匀细棒a) a) 转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直dxxodmzdxxodmz应用平行轴定理应用平行轴定理b) b) 转轴过棒一端与棒垂直转轴过棒一端与棒垂直5 5、正交轴定理、正交轴定理适用于薄板刚体或者平适用于薄板刚体或者平面分布的质点组，面分布的质点组，z z轴轴垂直与刚体平面。垂直与刚体平面。如如果果一一块薄薄板板绕位位于于板板上上两两个个相相互互垂垂直直的的轴（设为x、y轴）的的转动惯量量为 Ix 和和 Iy ，则薄薄板板绕z轴的的转动惯量量为：xyzO OP P用用表示细元环的质量密度表示细元环的质量密度 =m/2R ; dm=ds例例 求质量为求质量为m、半径为半径为R的细元环绕直径转动的转动惯量。的细元环绕直径转动的转动惯量。已知已知圆环绕中心中心轴：Iz=mR2IxIy Iz /2解解1 1：垂直垂直轴定理定理 Iz=Ix+Iy（质量分布在量分布在xy平面内）平面内）解解2 2：xyzO OdmOOd力力F 分解为分解为F和和F。过力的作用点作轴的垂面过力的作用点作轴的垂面, ,交轴于交轴于OO点。点。过过OO点作点作F的垂线的垂线d d。定义：定义：（r 垂直于垂直于l）力力F F对轴对轴 l 的力矩的力矩: : 1.1.力对定轴转动刚体转轴的力矩力对定轴转动刚体转轴的力矩四、定轴转动定律四、定轴转动定律为力为力F F对转轴的力矩。对转轴的力矩。2.2.刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量3.3.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律视刚体为质点系，质点系的角动视刚体为质点系，质点系的角动量定理：量定理：内=0=0对转轴的分量对转轴的分量I: :刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量说明：说明：(2)(2)力矩、角动量、转动惯量必须对同一转轴而言力矩、角动量、转动惯量必须对同一转轴而言, , 转动定律具有瞬时性。转动定律具有瞬时性。定轴转动定律：定轴转动定律：I 不不变变时时成立成立(3)L(3)L是是角角动动量量转转轴轴上上的的分分量量、M M是是外外力力对对转转轴轴的的力矩之和。力矩之和。(1)(1)定定轴轴转转动动定定律律和和牛牛顿顿第第二二定定律律形形式式类类似似、地地位相当。位相当。牛顿第二定律：牛顿第二定律：五、刚体定轴转动的角动量定理五、刚体定轴转动的角动量定理由质点系角动量定理，相对由质点系角动量定理，相对z z 轴对任一瞬时有：轴对任一瞬时有：刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理即即使使物物体体不不是是刚刚体体，即即对对定定轴轴的的转转动动惯惯量量I I随随时时间间改改变变，只只要要任任一一瞬瞬时时它它可可看看作作是是绕绕该该定定轴轴以以角速度角速度转动，即有：转动，即有：对上式积分有对上式积分有六、刚体角动量守恒定律六、刚体角动量守恒定律2.2.多物体组成的系统角动量具有可叠加性多物体组成的系统角动量具有可叠加性； 3.3.角动量守恒定律是一条普适定律角动量守恒定律是一条普适定律。说明：说明：1. 1. 角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变. . 角动量守恒的两种情况角动量守恒的两种情况: :(1) (1) 刚体定轴转动时刚体定轴转动时, , 如果转动惯量不变如果转动惯量不变, , 则角速度也不变则角速度也不变; ;(2) (2) 如转动惯量改变如转动惯量改变, , 则角速度也改变则角速度也改变. .例例 设设电电风风扇扇的的电电机机力力矩矩恒恒定定为为M，风风叶叶所所受受空空气气阻阻力力矩矩为为Mf =K，风风叶叶转转动动惯惯量量为为I。求求（1）通通电电后后t时时刻刻的的角角速速度度；(2)稳稳定定转转动动时时的的角角速速度度；（3）稳稳定定转转动动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？时断开电源，风叶还能继续转多少角度？解：解：1)1)为电扇的稳定角速度为电扇的稳定角速度2 2) )3 3) )如图，圆盘绕过如图，圆盘绕过o点定轴转动，圆盘的点定轴转动，圆盘的M、R、及、及0已知。子弹已知。子弹m,以以v0射入盘边缘，求此后盘转动的射入盘边缘，求此后盘转动的角速度。角速度。解：解：对M和和m,用用动量守恒律量守恒律其中：其中：V0=R0正解：正解： 对M和和m 用角用角动量守恒律，量守恒律，对转轴有有例：例：错例例 有有一一长为l，质量量为m1的的均均匀匀细棒棒，静静止止平平放放在在光光滑滑水水平平桌桌面面上上，它它可可绕通通过其其端端点点O且且与与桌桌面面垂垂直直的的固固定定光光滑滑轴转动。另另有有一一质量量为m2 、水水平平运运动的的小小滑滑块，从从棒棒的的侧面面沿沿垂垂直直于于棒棒的的方方向向与与棒棒的的另另一一端端A相相碰碰撞撞，并并被被棒棒反反向向弹回回，碰碰撞撞时间极极短短。已已知知小小滑滑块与与细棒棒碰碰撞撞前前后后的的速速率率分分别为v和和u，则碰碰撞撞后后棒棒绕轴转动的的角角速速度度 为多大？多大？解：解：对于整个系统不考虑轴间的摩擦阻力对于整个系统不考虑轴间的摩擦阻力矩，则系统不受外力矩的作用，碰撞矩，则系统不受外力矩的作用，碰撞前后角动量守恒。前后角动量守恒。例例 一轻绳跨过一定滑轮一轻绳跨过一定滑轮, , 滑轮视为圆盘滑轮视为圆盘, , 绳的两端绳的两端分别悬有质量为分别悬有质量为m m1 1和和m m2 2的物体的物体, , m m1 1 m m2 2 . . 设滑轮的质量设滑轮的质量为为m m, , 半径为半径为r r, , 所受的摩擦阻力矩为所受的摩擦阻力矩为M Mr r. . 绳与滑轮之绳与滑轮之间无相对滑动间无相对滑动. . 求求: : 物体的加速度和绳的张力物体的加速度和绳的张力. .m m1 1m m2 2a aT T2 2 T T1 1 T T1 1T T2 2G G2 2G G1 1a aa am m1 1m m2 2解解: : 隔离法列出运动方程隔离法列出运动方程滑轮边缘上的切向加速度滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等和物体的加速度相等从以上各式解得从以上各式解得m m1 1m m2 2a aT T2 2 T T1 1 T T1 1T T2 2G G2 2G G1 1a aa am m1 1m m2 2例例 光光滑滑斜斜面面与与水水平平面面成成角角，在在斜斜面面上上放放一一质量量为m的的物物块，在在斜斜面面的的延延长线上上方方有有一一半半径径为R，转动惯量量为I的的轮轴，轮轴上上绕有有细绳，一一端端与与m相相连。物物块由由静静止止下下滑滑距距离离为L时细绳拉拉紧，开开始始计时，求求任任一一时刻刻轮轴的角速度。的角速度。由角动量守恒求初始角速度由角动量守恒求初始角速度解：细绳拉紧时滑块的速度解：细绳拉紧时滑块的速度TTmg七、刚体定轴转动的功能原理七、刚体定轴转动的功能原理1.1.力矩的功力矩的功刚体在力刚体在力F F作用下绕定轴转动角作用下绕定轴转动角位移位移d d，力，力F F做功：做功：当功率一定时，转动力矩与角速度成反比。当功率一定时，转动力矩与角速度成反比。力力F使使刚体由体由0转到到时，力矩做功，力矩做功为：力矩做功功率：力矩做功功率：2 2、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理3 3、刚体的重力势能、刚体的重力势能4 4、刚体定轴转动的功能原理、刚体定轴转动的功能原理M M为除重力外其余外力的合力矩为除重力外其余外力的合力矩5 5、机械能守恒定律、机械能守恒定律只有保守力做功，系统机械能守恒。只有保守力做功，系统机械能守恒。例例 质量量m半径半径为R的均匀的均匀圆盘,可在水平桌面上可在水平桌面上绕中心中心轴转动,盘面与桌面面与桌面间摩擦系数摩擦系数为,求求盘转过一圈一圈时摩摩擦力矩的功擦力矩的功.解：解：例例 一一均均匀匀细棒棒绕通通过其其端端点点并并与与棒棒垂垂直直的的水水平平轴转动，棒棒长为l，质量量为m。开开始始时棒棒处于于水水平平位位置置。令令棒棒由由静静止止下下摆，求求(1)棒棒在在任任意意位位置置时的的角角加加速速度度；(2) 角角为300，900时的角速度。的角速度。解：解：由定轴转动定律由定轴转动定律（1 1）棒在重力矩作用）棒在重力矩作用下转动下转动用用动能定理动能定理求解求解还可以用机械能守恒还可以用机械能守恒例例 如如图图所所示示，滑滑轮轮转转动动惯惯量量为为0.010.01kgmkgm2 2，半半径径为为7 7cmcm，物物体体质质量量为为5 5kgkg，由由一一绳绳与与倔倔强强系系数数k=200N/mk=200N/m的的弹弹簧簧相相连连，若若绳绳与与滑滑轮轮间间无无相相对对滑滑动动，滑滑轮轮轴轴上上的的摩摩擦忽略不计。擦忽略不计。（1 1）当当绳绳拉拉直直，弹弹簧簧无无伸伸长长时时，使使物物体体由由静静止止而下落的最大距离；而下落的最大距离； （2 2）物体速度达到最大值的位置及最大速率。）物体速度达到最大值的位置及最大速率。求：求：刚体和质点力学规律的对照刚体和质点力学规律的对照转动定律：转动定律：Mz 是外力是外力对转轴（z轴）力矩，）力矩，Iz 是是刚体体对转轴的的转动惯量。量。当当Mz z0 0时，角动量守恒，即：时，角动量守恒，即：定轴转动刚体的动能：定轴转动刚体的动能：（转动动能）（转动动能）力矩作功：力矩作功：动能定理：动能定理：当外力为保守力或非保守外力不做功时，当外力为保守力或非保守外力不做功时，刚体的机械能守恒。刚体的机械能守恒。6.5 6.5 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体作平面平行运动时刚体作平面平行运动时, ,刚体中各点都平行于某一平面刚体中各点都平行于某一平面而运动而运动, ,即各点始终和某一平面保持一定的距离。即各点始终和某一平面保持一定的距离。一、运动学特征一、运动学特征1. 1. 基面、基点与基轴基面、基点与基轴.选定基面上的一点作为参考的基点选定基面上的一点作为参考的基点. .基点基点: :基面基面: : 选定一轨道平面为参考平面，简称为基面，选定一轨道平面为参考平面，简称为基面，其他轨道平面均平行于基面其他轨道平面均平行于基面. .通过基点且垂直基面的直线被称为基轴通过基点且垂直基面的直线被称为基轴, ,一般选基轴通过质心。一般选基轴通过质心。基轴基轴: :刚体的平面运动基轴的平动刚体的平面运动基轴的平动+ +绕基轴的转动绕基轴的转动（n=3n=3）取取A A为基点，考察为基点，考察B B点的运动点的运动ABCABC2.2.运动学关系式运动学关系式 3.3.转动中心（瞬心）转动中心（瞬心）: : 基面上存在一个特殊点基面上存在一个特殊点 ，其瞬时速度为零，其瞬时速度为零 , ,该点被称作瞬心该点被称作瞬心. .过该点且垂直过该点且垂直于运动平面的转轴称为瞬时转轴。于运动平面的转轴称为瞬时转轴。在平面平行运动问题中，利用瞬时转轴概念，在平面平行运动问题中，利用瞬时转轴概念，可将问题简化为单纯的转动问题。可将问题简化为单纯的转动问题。(1)(1)如图，若已知质心如图，若已知质心C C的速度的速度 和角速和角速度度 , ,则可知瞬心则可知瞬心 在与在与 垂直的垂直的方向上距离方向上距离C C点为点为 的地方。的地方。 (2)(2)在在任任一一瞬瞬时时，截截面面上上任任一一点点的的速速度度方方向向均均与与该该点点相相对对于于瞬瞬心心的的位位置置垂垂直直。故故只只要要过过截截面面上上任任意意两两点点引引两两条条与与速速度度方方向向垂垂直直的的直直线线，两两直直线线的的交交点点即即为为瞬瞬心的位置。心的位置。瞬心位矢的方程瞬心位矢的方程: :确定瞬心的方法确定瞬心的方法: :瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体保持刚性连结的空间点上（如图二）。保持刚性连结的空间点上（如图二）。二、运动方程二、运动方程利用定轴转动定理，在质心坐标系中，讨论通过利用定轴转动定理，在质心坐标系中，讨论通过质心并垂直于空间固定平面的轴的转动，有质心并垂直于空间固定平面的轴的转动，有平面平行运动有三个自由度，利用上述三个方程完平面平行运动有三个自由度，利用上述三个方程完全描述运动全描述运动. .利用质心运动定理，求质心的运动利用质心运动定理，求质心的运动定轴转动的转动定律同样适用刚体定轴转动的转动定律同样适用刚体通过质心通过质心并垂直并垂直于平面的轴的转动。于平面的轴的转动。证：要使定轴转动定律适用于通过加速度为证：要使定轴转动定律适用于通过加速度为 的的质心的转轴质心的转轴 ，应在作用于刚体的力矩中加上惯性力，应在作用于刚体的力矩中加上惯性力矩矩 即可，即可，惯性力对质心的力矩惯性力对质心的力矩所以所以=0=0即即刚刚体体相相对对过过质质心心的的动动轴轴的的转转动动定定律律和和定定轴轴转转动动定定律律相相同同，只只要要考考虑虑外外力力矩矩，不不需需要要考考虑虑惯惯性力的力矩。性力的力矩。三、功能原理三、功能原理由质点系动能柯尼希定理由质点系动能柯尼希定理由质心运动定理由质心运动定理合外力合外力由质心角动量定理由质心角动量定理总外力矩总外力矩刚体平面平行运动的功能原理为刚体平面平行运动的功能原理为讨论：讨论： 如果作用在刚体上的力仅为保守力，必然如果作用在刚体上的力仅为保守力，必然导致机械能守恒，即导致机械能守恒，即 若不取质心为基点，就不能如此分解若不取质心为基点，就不能如此分解. .四、滚动及摩擦力四、滚动及摩擦力接触面之间无相对滑动的滚动。接触面之间无相对滑动的滚动。 滚动滚动有滑动滚动：有滑动滚动：无滑动滚动：无滑动滚动：（纯滚动）（纯滚动）接触面之间有相对滑动的滚动。接触面之间有相对滑动的滚动。1.1.纯滚动（无滑摩擦）的运动学判据纯滚动（无滑摩擦）的运动学判据纯滚动运动学判据纯滚动运动学判据2.2.纯滚动接触点的速度为零，纯滚动接触点的速度为零，如纯滚动有摩擦力则为静摩擦力如纯滚动有摩擦力则为静摩擦力以质心以质心C C为基点，任一点为基点，任一点E E的速度为的速度为: :最高点最高点D D的速度为的速度为接触点接触点A A的速度为的速度为以接触点以接触点A A为基点：为基点：任一点任一点 P P 的速度为的速度为例如：例如：对于纯滚动，若取接触点对于纯滚动，若取接触点A A 为基点，在某瞬时为基点，在某瞬时刚体的平面平行运动，可视为刚体的平面平行运动，可视为A A点的单纯转动。点的单纯转动。3.3.纯滚动中的瞬心和瞬轴纯滚动中的瞬心和瞬轴4.4.纯滚动过程中静摩擦力做功为零纯滚动过程中静摩擦力做功为零如图，静摩擦力做功为如图，静摩擦力做功为根据运动学判据，有根据运动学判据，有R R5. 5. 滚动中的摩擦力滚动中的摩擦力若若忽忽略略滚滚动动物物体体和和承承滚滚面面的的形形变变，在在有有滑滑动动滚滚动动中中，摩摩擦擦力力为为滑滑动动摩摩擦擦力力；在在纯纯滚滚中中，摩摩擦擦力力为为静静摩摩擦擦力力。静静摩摩擦擦力力的的方方向向不不易易判判断断，必必须须视视具具体情况而定。体情况而定。确定静摩擦力方向的方法：确定静摩擦力方向的方法：假定两刚性表面不存在摩擦，判定其中一个刚体假定两刚性表面不存在摩擦，判定其中一个刚体相对滑动将滑向何方，作用在此刚体的静摩擦力相对滑动将滑向何方，作用在此刚体的静摩擦力方向必与其反向方向必与其反向. . 车轮在刚性水平地面上纯滚动车轮在刚性水平地面上纯滚动.静摩擦力为零静摩擦力为零汽车主、被动轮所受静摩擦力的方向汽车主、被动轮所受静摩擦力的方向主主动动轮轮有有向向前前的的静静摩摩擦擦力力，作作为为推推动动汽汽车车前前进进的的动动力力(a)(a)；被被动动轮轮受受向向后后的的摩摩擦擦力力(b)(b)。车轮在斜面上的纯滚动车轮在斜面上的纯滚动车轮向上，静摩擦力必向上；车轮向上，静摩擦力必向上；车轮向下，静摩擦力仍向上车轮向下，静摩擦力仍向上. .（a a）（b b）实例：实例：例例 一一质量量为m, 半半径径为R的的均均质圆柱柱, 在在水水平平外外力力F作作用用下下, 在在粗粗糙糙的的水水平平面面上上作作纯滚动, 力力的的作作用用线与与圆柱柱中中心心轴线的的垂垂直直距距离离为l. 求求: 质心心的的加加速速度度和和圆柱柱所所受受的的静摩擦力静摩擦力.圆柱对质心的转动定律：圆柱对质心的转动定律：纯滚动条件纯滚动条件圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为解解: : 设静摩擦力设静摩擦力f f 的方向如图所示的方向如图所示, , 则由质心运动方程则由质心运动方程F Fm mR R联立以上四式联立以上四式, , 得得由此可见由此可见无摩擦力无摩擦力静摩擦力向后静摩擦力向后静摩擦力向前静摩擦力向前F Fm mR R解解: : 取圆柱体取圆柱体, , 弯形和圆形滑道以及地球为一个系统弯形和圆形滑道以及地球为一个系统, , 在圆柱体下滑过程中机械能守恒在圆柱体下滑过程中机械能守恒所以所以例例 有一半径为有一半径为r r 的匀质圆柱体的匀质圆柱体, , 从其质心距地面高为从其质心距地面高为h h的滑道上由静止滚下的滑道上由静止滚下, , 进入半径为进入半径为R R的圆环形滑道的圆环形滑道, , 设设圆柱体在两段滑道上均做纯滚动。求此圆柱体能在圆环圆柱体在两段滑道上均做纯滚动。求此圆柱体能在圆环形滑道内完成圆周运动形滑道内完成圆周运动, , h h至少有多大的值至少有多大的值? ?v vC CP P2 2r rC Ch h而而可得圆柱体在圆环滑道上完成圆周运动的条件可得圆柱体在圆环滑道上完成圆周运动的条件圆柱体在圆形滑道顶点时的质心运动方程为圆柱体在圆形滑道顶点时的质心运动方程为圆柱体能完成完整的圆周运动的条件应当是圆柱体能完成完整的圆周运动的条件应当是例例 何时开始纯滚动？有一缓慢改变倾角的固定斜面，如何时开始纯滚动？有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。一质量为图所示。一质量为m m ，半径为，半径为R R 的匀质圆柱体从高的匀质圆柱体从高h h 处由处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数平面与圆柱体间的摩擦系数 , ,求：求： 1 1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。 2 2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。解解：1 1）沿沿光光滑滑斜斜面面，圆圆柱柱体体仅仅作作滑滑动动；沿沿水水平平面面达达到到纯纯滚滚动前作滑滚运动。动前作滑滚运动。动力学方程为：动力学方程为：由以上三式解得：由以上三式解得：达到纯滚动前有：达到纯滚动前有：达到纯滚动时有：达到纯滚动时有：解得作纯滚动经历的时间：解得作纯滚动经历的时间：2 2）达到纯滚动时经历的距离：）达到纯滚动时经历的距离：例例 沿加速平板表面的纯滚动：在水平板上放一半径为沿加速平板表面的纯滚动：在水平板上放一半径为R R, ,质量为质量为m m 的匀质球。设平板具有加速度的匀质球。设平板具有加速度a a ，球沿平板作纯，球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小。滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小。解：以球为研究对象、平板为参考系解：以球为研究对象、平板为参考系（非惯性系），则动力学方程为（非惯性系），则动力学方程为由以上三式解得：由以上三式解得：球心的加速度为球心的加速度为6.6 6.6 陀螺的运动陀螺的运动 绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转仪。陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属仪。陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体的定点运动刚体的定点运动. .利用角动量和角速度的矢量性质，利用角动量和角速度的矢量性质，可以解释陀螺的运动可以解释陀螺的运动. .一、陀螺的进动一、陀螺的进动进动进动O Oz zO Oz z r rC Csinsin M Mmgmgr rC CO Oz z L Lsinsin M MmgmgL Ld d 如图，对固定点如图，对固定点0 0，陀螺只受重力矩的作用，即，陀螺只受重力矩的作用，即根据刚体角动量定理根据刚体角动量定理即角动量的变化量即角动量的变化量dLdL应像应像M M一样垂直于一样垂直于L L。L L顶顶端绕一水平圆周运动端绕一水平圆周运动. .陀螺自转轴绕竖直轴的陀螺自转轴绕竖直轴的转动即为进动。转动即为进动。O Oz z L Lsinsin M MmgmgL Ld d 陀螺的进动角速度随着自转角速度陀螺的进动角速度随着自转角速度、I I的增的增大而减少，与角度大而减少，与角度无关无关. .如图如图其中其中L L是陀螺的自转角动量，为陀螺是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转动惯量绕其对称轴旋转的转动惯量I I与自转与自转角速度角速度的乘积的乘积. .因此，陀螺的进动因此，陀螺的进动角速度为角速度为O Oz z L Lsinsin M MmgmgL Ld d 二、陀螺特点二、陀螺特点: :z z进动进动O OO Oz z进动进动章章动动进动进动2.2.章章动动当当陀陀螺螺的的自自转转角角速速度度不不够够大大时时，则则除除了了自自转转和和进进动动外外，陀陀螺螺对对称称轴轴还还会会在在铅铅垂垂面面内内上上下下摆动，即角会有大小波动，称为章动摆动，即角会有大小波动，称为章动. .高速自转的陀螺具有极大的反抗外力矩的高速自转的陀螺具有极大的反抗外力矩的作用，力图保持其转轴在空间的方向不变作用，力图保持其转轴在空间的方向不变. .1.1.不不受受外外力力矩矩或或外外力力矩矩很很小小时时，刚刚体体的的角角动动量量保持恒定保持恒定保持转动方向保持转动方向本章基本要求本章基本要求1 1、掌握刚体概念和刚体的基本运动、掌握刚体概念和刚体的基本运动. .2 2、理解转动惯量的意义及计算方法、理解转动惯量的意义及计算方法, ,会利用平行轴定会利用平行轴定和垂直轴定理求转动惯量和垂直轴定理求转动惯量. .3 3、熟练应用刚体定轴转动定律、熟练应用刚体定轴转动定律. .4 4、应用刚体的角动量定理、角动量守恒定律及机械、应用刚体的角动量定理、角动量守恒定律及机械能守恒定律解决转动问题能守恒定律解决转动问题. .5 5、掌握刚体平面平行运动的基本规律和计算方法、掌握刚体平面平行运动的基本规律和计算方法. .6 6、陀螺部分不要求掌握，只需了解陀螺运动现象和、陀螺部分不要求掌握，只需了解陀螺运动现象和基本特征基本特征. .