第二节第二节 方差方差方差的定义方差的定义方差的计算方差的计算方差的性质方差的性质课堂练习课堂练习 小结小结 布置作业布置作业 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心 由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易容易看到看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度. 但由于但由于上式带有绝对值上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在 , 称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差. 记为记为D(X)或或Var(X)，即，即D(X)=Var(X)=EX-E(X)2若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度离散程度 .若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D（X）是刻画）是刻画X取值分散程度的一个量，它取值分散程度的一个量，它是衡量是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。X为离散型，为离散型，分布律分布律PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的数学期望数学期望 .二、方差的计算二、方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度f(x)计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质例例1设随机变量设随机变量X具有具有(01）分布，其分布律为）分布，其分布律为求求D(X) . 解解由公式由公式因此因此,0-1分布分布例例2解解X的分布律为的分布律为上节已算得上节已算得因此因此,泊松分布泊松分布例例3解解 因此因此,均匀分布均匀分布例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为解解由此可知由此可知,指数分布指数分布三、方差的性质三、方差的性质 1. 设设C 是常数是常数, 则则 D(C)=0 ; 2. 若若 C 是常数是常数, 则则 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 4. D(X)=0 PX= C=1 , 这里这里C=E(X)下面我们证明性质下面我们证明性质3证明证明若若 X,Y 相互独立相互独立, 由数学期望的性质由数学期望的性质4得得此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况的情况.例例6 设设Xb(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若设若设i=1,2，n 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功” 的次数的次数下面我们举例说明方差性质的应用下面我们举例说明方差性质的应用 .解解Xb(n,p),“成功成功” 次数次数 . 则则X表示表示n重努里试验中的重努里试验中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互独立独立= np(1- p)E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) ,例例7解解于是于是例如例如,四、切比雪夫不等式四、切比雪夫不等式(随机变量的分布未知随机变量的分布未知）或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则越小，则事件事件|X-E(X)| 的概率越大，即的概率越大，即随机变量随机变量X 集集中在期望附近的可能性越大中在期望附近的可能性越大.证证我们只就连续型随机变量的情况来证明我们只就连续型随机变量的情况来证明.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它与它的期望的偏差不小于的期望的偏差不小于 的概率的估计式的概率的估计式 .如取如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，存在， 则则 r.v X取值偏离取值偏离E(X)超过超过 3 的概率小于的概率小于0.111 .例例9 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞，每一毫升白细胞数平均是数平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率 .解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P |X-E(X)| 2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P |X-E(X)| 2100即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不之间的概率不小于小于8/9 . 例例10 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得需要多么大时，才能使得在在n次独立重复试验中次独立重复试验中, 事件事件A出现的频率在出现的频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次数，E(X)=0.75n, 的最小的的最小的n .则则 Xb(n, 0.75)所求为满足所求为满足D(X)=0.750.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n) = P |X-E(X)| 0.01n P(0.74n X0.76n )可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则，则 = P |X-E(X)| 0.01n解得解得依题意，取依题意，取 即即n 取取18750时，可以使得在时，可以使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中, 事件事件A出现的频率在出现的频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90 .五、课堂练习五、课堂练习1、 设随机变量设随机变量X服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为PX=k=p(1-p)k-1, k=1,2,其中其中0p1,求求E(X),D(X)2、1、解：解：记记 q=1-p求和与求导求和与求导交换次序交换次序无穷递缩等比无穷递缩等比级数求和公式级数求和公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 +E(X)2、解、解六、小结六、小结这一讲，我们介绍了随机变量的方差这一讲，我们介绍了随机变量的方差. 它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征的一个数字特征 .下一讲，我们将介绍刻划两下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一间线性相关程度的一个重要的数字特征：个重要的数字特征：协方差、相关系数协方差、相关系数七、七、 布置作业布置作业17 20 21 22 24