平面向量基本定理平面向量基本定理当当 时，时， 与与 同向，同向，且且 是是 的的 倍倍;当当 时，时， 与与 反向，反向，且且 是是 的的 倍倍;当当 时，时， ，且，且 。1.复习:向量共线充要条件向量的加法：OBCAOAB平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则OCABMNOCABMN平面向量基本定理平面向量基本定理n注意：n1.这组不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底；n2.基底不唯一，关键是不共线；n3.基底给定时，分解形式唯一。OABC平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 思考思考1 1：不共线的向量有不同的方向，对不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量于两个非零向量a和和b，作，作 a， b，如图如图. .为了反映这两个向量的位置关系，为了反映这两个向量的位置关系，称称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角. .你认为向量你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？的夹角的取值范围应如何约定为宜？baabA AB BO O00，180180 思考思考2 2：如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则，则称称向量向量a与与b垂直垂直，记作，记作ab. . 互相垂直互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？一组基底？ba思考思考3 3：把一个向量分解为两个互相垂直把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .如图，向如图，向量量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量是两个互相垂直的单位向量，向量a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且| |a|=4|=4，以向量，以向量i、j为基底，向量为基底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P思考思考4 4：在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，作为基底，对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数理知，有且只有一对实数x x、y y，使得，使得 ax xiy yj. .我们把我们把有序数对（有序数对（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上轴上的坐标，的坐标，y y叫做叫做a在在y y轴轴上的坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫做向量的的坐标表示坐标表示. .那么那么x x、y y的的几何意义如何？几何意义如何？aix xy yO Ojx xy y思考思考5 5：相等向量的坐标必然相等，作向相等向量的坐标必然相等，作向量量 a，则，则 (x(x，y)y)，此时点，此时点A A的的坐坐标是什么？标是什么？A Aaix xy yO OjA(x,y)A(x,y)例例1 如图，用基底如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd图 解：由图可知a=AA1+AA2=2i+3j, a=(2,3) 同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)小结作业小结作业 1.1.平面向量基本定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点一个承前起后的重要知识点. .2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是关系的一个几何量，平行向量的夹角是0 0或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是9090. . 3.3.向量的坐标表示是一种向量与坐向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意标的对应关系，它使得向量具有代数意义义. .将向量的起点平移到坐标原点，则平将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标移后向量的终点坐标就是向量的坐标. .练习:BACDD