2-5 信号流图与梅逊公式 方框图虽对于分析系统很有用处，但遇到结构复杂方框图虽对于分析系统很有用处，但遇到结构复杂的系统时，其简化和变换过程往往显得烦琐，还得分的系统时，其简化和变换过程往往显得烦琐，还得分清比较点和引出点，一般二者不交换。因此可采用信清比较点和引出点，一般二者不交换。因此可采用信号流图，简单易绘制。号流图，简单易绘制。 一、基本概念一、基本概念1 1组成：两个基本单元组成：两个基本单元 如如: :第二章第二章 数学模型数学模型1 1）节点节点表示变量和信号的点，用小圆圈表示。表示变量和信号的点，用小圆圈表示。2 2）支路支路起于一个节点，止于另一个节点，此间起于一个节点，止于另一个节点，此间 不包含或经过第三个节点，支路上的箭头方向表不包含或经过第三个节点，支路上的箭头方向表 示信号传递方向。示信号传递方向。 传函写在箭头旁边，称为支路传输。传函写在箭头旁边，称为支路传输。 2术语：术语：(1) 输入支路输入支路进入节点的支路。进入节点的支路。(2) 输出支路输出支路离开节点的支路。离开节点的支路。信号流图（续）第二章第二章 数学模型数学模型(3)(3)源节点源节点也叫输入节点，即只有输出支路的节点，也叫输入节点，即只有输出支路的节点， 一般表示系统的输入变量。如一般表示系统的输入变量。如(4)(4)汇节点汇节点也叫输出节点，即只有输入支路的节点，也叫输出节点，即只有输入支路的节点， 一般表示系统的输出变量。如一般表示系统的输出变量。如(5)(5)混合节点混合节点既有输入支路又有输出支路的节点，既有输入支路又有输出支路的节点， 相当于方框图中的引出点和比较点。如相当于方框图中的引出点和比较点。如信号流图（续）第二章第二章 数学模型数学模型混合节点的信号为所有的支路引进信号的迭加，且混合节点的信号为所有的支路引进信号的迭加，且此信号可通过任何一个具有单位传输的输出支路取此信号可通过任何一个具有单位传输的输出支路取出。如从出。如从 取出变为取出变为 。(6)通路通路也叫通道、路径。凡从一个节点开始，沿也叫通道、路径。凡从一个节点开始，沿 着支路箭头方向连续经过相连支路而终止到另一个着支路箭头方向连续经过相连支路而终止到另一个 节点（或同一节点）的径路称为通路。节点（或同一节点）的径路称为通路。(7)开通路开通路若通路与任一节点相交不多于一次若通路与任一节点相交不多于一次 ，且，且 起点与终点不为同一点，称为开通路。起点与终点不为同一点，称为开通路。信号流图（续）第二章第二章 数学模型数学模型(8)(8)闭通路闭通路若通路与任一点相交不多于一次，但起若通路与任一点相交不多于一次，但起 点与终点为同一点，则称为闭通路、回路、回环。点与终点为同一点，则称为闭通路、回路、回环。(9)(9)自回路自回路从一点开始，只经过一个支路，又回从一点开始，只经过一个支路，又回 到该点的回路。如：到该点的回路。如： (10)不接触回路不接触回路不具有任何公共点的回路。不具有任何公共点的回路。信号流图（续）第二章第二章 数学模型数学模型(11)(11)前向通路前向通路若从源节点到汇节点的通路上，通若从源节点到汇节点的通路上，通 过任何节点不多过一次，则称为前向通路。过任何节点不多过一次，则称为前向通路。（12)12)前向通路传输前向通路传输前向通路中各支路传输的乘积前向通路中各支路传输的乘积 称为前向通路传输或增益。称为前向通路传输或增益。 (13) (13)回路传输回路传输闭通路闭通路( (回路回路) )上各支路传输的乘积上各支路传输的乘积 称为回路传输或增益。称为回路传输或增益。信号流图（续）第二章第二章 数学模型数学模型（1 1）信号流图是表达线性方程组的一种数学图形。）信号流图是表达线性方程组的一种数学图形。 当系统由微方（或差方）描述时，应先变换成当系统由微方（或差方）描述时，应先变换成 代数方程并整理成因果关系形式。代数方程并整理成因果关系形式。（2 2）节点标志系统的变量。每个节点标志的变量是）节点标志系统的变量。每个节点标志的变量是 所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节 点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。（3 3）支路相当于）支路相当于乘法器乘法器，信号流经支路时，被乘以，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。支路增益而变换为另一信号。3 3性质：性质：（4）支路表示一个变量与另一个变量之间的关系，）支路表示一个变量与另一个变量之间的关系， 信号只能沿箭头方向流通。信号只能沿箭头方向流通。第二章第二章 数学模型数学模型 (5) (5)对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此，其信号流图不是唯一的。此，其信号流图不是唯一的。4信号流图的绘制：信号流图的绘制：信号流图（续） 1) 由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 任何线性数学方程都可以用信号流图表示，任何线性数学方程都可以用信号流图表示，但含有微分或积分的线性方程，一般应通过拉氏但含有微分或积分的线性方程，一般应通过拉氏变换，将微分或积分变换为关于的代数方程后再变换，将微分或积分变换为关于的代数方程后再画信号流图。绘制信号流图时，首先要对系统的画信号流图。绘制信号流图时，首先要对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后，用标明支路果关系，从左向右顺序排列；然后，用标明支路第二章第二章 数学模型数学模型2) 由系统动态结构图绘制信号流图：由系统动态结构图绘制信号流图：(1)(1)将输入量、输出量、引出点、比较点以及中间变将输入量、输出量、引出点、比较点以及中间变 量均改为节点。量均改为节点。(2)(2)用标有传函的定向线段代替各环节的方框。用标有传函的定向线段代替各环节的方框。二者都是数学模型，具有一一对应的关二者都是数学模型，具有一一对应的关系，在布局上很相似，并有等效对应关系，在布局上很相似，并有等效对应关系。但信号流图省略了环节的方框，不系。但信号流图省略了环节的方框，不必区分比较点和引出点，所以更简单。必区分比较点和引出点，所以更简单。信号流图（续）增益的支路，根据数学方程式将各节点变量正确增益的支路，根据数学方程式将各节点变量正确连接，便可得到系统的信号流图。连接，便可得到系统的信号流图。第二章第二章 数学模型数学模型例如：例如： 第二章第二章 数学模型数学模型结构图与信号流图的关系结构图与信号流图的关系（续）（续）第二章第二章 数学模型数学模型三梅逊公式及其应用：三梅逊公式及其应用： 信号流图虽比结构图简单，但通过等效变换来简信号流图虽比结构图简单，但通过等效变换来简化系统也很麻烦。利用梅逊公式可以不必简化流图，化系统也很麻烦。利用梅逊公式可以不必简化流图，直接写出从输入节点到输出节点的总传输直接写出从输入节点到输出节点的总传输系统总系统总传函。传函。 从输入节点到输出节点的前向通道数目。从输入节点到输出节点的前向通道数目。其中其中, , 第第条前向通道的总传输。条前向通道的总传输。流图特征式，计算公式为：流图特征式，计算公式为： 第二章第二章 数学模型数学模型其中，其中，流图中所有不同回路的回路传输之和。流图中所有不同回路的回路传输之和。所有互不接触回路中，每次取其中两所有互不接触回路中，每次取其中两 个回路传输的乘积之和。个回路传输的乘积之和。所有互不接触回路中，每次取其中三所有互不接触回路中，每次取其中三 个回路传输的乘积之和。个回路传输的乘积之和。 触的回路后的特征式。触的回路后的特征式。条前向通道特征式的余子式，其条前向通道特征式的余子式，其第第中除去与第中除去与第值为值为条前向通道相接条前向通道相接其中，其中，流图中所有不同回路的回路传输之和。流图中所有不同回路的回路传输之和。所有互不接触回路中，每次取其中两所有互不接触回路中，每次取其中两 个回路传输的乘积之和。个回路传输的乘积之和。所有互不接触回路中，每次取其中三所有互不接触回路中，每次取其中三 个回路传输的乘积之和。个回路传输的乘积之和。 梅逊公式及其应用（续）梅逊公式及其应用（续）第二章第二章 数学模型数学模型例例2 2仍为两级仍为两级RCRC网络：网络：有三条回路：有三条回路：解：只有一条前向通道：解：只有一条前向通道： 第二章第二章 数学模型数学模型且有两个回路互不接触：且有两个回路互不接触： 在此在此故故两级两级RCRC网络串联（续）网络串联（续）第二章第二章 数学模型数学模型例例3 3试用梅逊公式确定如图所示系统的传递函数。试用梅逊公式确定如图所示系统的传递函数。解：由图可知，系统有解：由图可知，系统有3条前向通路，其增益分别为条前向通路，其增益分别为P1P2P3第二章第二章 数学模型数学模型例例3 3（续）（续）有有4 4个个单独的回路，各回路独的回路，各回路增益分增益分别为L1L2L3L4第二章第二章 数学模型数学模型例例3 3（续）（续）且有且有第二章第二章 数学模型数学模型例例4 4：如图系统。：如图系统。 解：有两条前向通道：解：有两条前向通道：梅逊公式同样可以在结构图中使用梅逊公式同样可以在结构图中使用第二章第二章 数学模型数学模型均接触。均接触。五个回路：五个回路：第二章第二章 数学模型数学模型