第七章第七章 稳定性模型稳定性模型7.1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获7.2 军备竞赛军备竞赛7.3 种群的相互竞争种群的相互竞争7.4 种群的相互依存种群的相互依存7.5 食饵食饵- -捕食者模型捕食者模型7.6 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型稳定性模型稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间 充分长以后过程的变化趋势充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是平衡状态是 否稳定否稳定. 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性理论研究平衡状态的稳定性. 差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论相似相似.7.1 捕鱼业的持续收获捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）再生资源（渔业、林业等） 再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳产在持续稳产 前提下实现最大产量或最佳效益前提下实现最大产量或最佳效益.问题问题及及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控制的条件下，如何控制 捕捞使产量最大或效益最佳捕捞使产量最大或效益最佳? 如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场渔场 鱼量将保持不变鱼量将保持不变，则捕捞量稳定，则捕捞量稳定.背景背景产量模型产量模型假设假设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律. 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.建模建模有捕捞情况下有捕捞情况下渔场鱼量满足渔场鱼量满足 不需要求解不需要求解x(t), 只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条件.r固有增长率固有增长率, N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex, E捕捞强度捕捞强度x(t) 渔场鱼量渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点.不求不求x(t), 判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法稳定不稳定产量模型产量模型平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断x0 稳定稳定, 可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定, 渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使控制捕捞强度使产量产量最大最大.图解法图解法P的横坐标的横坐标 x0平衡点平衡点y=rxhPx0yOy=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标 h产量产量产量最大产量最大f 与与h交点交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半效益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使强度使效益效益最大最大.稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大渔场渔场鱼量鱼量收入收入 T = ph(x) = pEx支出支出 S = cEEsS(E)T(E)OrE捕捞捕捞过度过度 封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大 开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E) 0R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度Es=2ER临界强度下的渔场鱼量临界强度下的渔场鱼量ERE*令令=0xs由成本由成本价格比决定价格比决定捕捞过度捕捞过度 临界强度临界强度捕捞捕捞过度过度T(E)OrES(E)Es2Es1S(E)pNEE*pNE/2收入收入支出支出利润利润临界强度临界强度Es=0 经济学捕捞过度经济学捕捞过度 生态学捕捞过度生态学捕捞过度捕鱼业的捕鱼业的持续收获持续收获在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度讨论产量、效益和捕捞过度3个模型个模型.7.2 军备竞赛军备竞赛 描述双方描述双方(国家或国家集团国家或国家集团)军备竞赛过程军备竞赛过程. 解释解释(预测预测)双方军备竞赛的结局双方军备竞赛的结局.假设假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快；方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力在增加军备的潜力.进一步进一步假设假设 1）2）的作用为线性；）的作用为线性；3）的作用为常数）的作用为常数.目的目的建模建模军备竞赛的结局军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性微分方程的平衡点及其稳定性x(t)甲方军备数量，甲方军备数量， y(t)乙方军备数量乙方军备数量 , 本方经济实力的制约；本方经济实力的制约； k, l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g, h 本方本方军备竞赛的潜力军备竞赛的潜力.t 时的时的x(t)，y(t)线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x0,y0)=(0,0) 代数方程代数方程的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点记系数矩阵记系数矩阵特征方程特征方程特征根特征根线性常系数线性常系数微分方程组微分方程组的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性特征根特征根平衡点平衡点 P0(0,0)微分方程一般解形式微分方程一般解形式平衡点平衡点 P0(0,0)稳定稳定平衡点平衡点 P0(0,0)不稳定不稳定 1,2为负数或有负实部为负数或有负实部p 0 且且 q 0p 0 或或 q kl 下下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平即友好邻国通过裁军可达到永久和平.模型模型 , 本方经济实力的制约；本方经济实力的制约； k, l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g, h 本方本方军备竞赛的潜力军备竞赛的潜力.3）若）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t) 很小，但因很小，但因 ，也会重整军备，也会重整军备.4）即使某时一方）即使某时一方(由于战败或协议由于战败或协议)军备大减军备大减, 如如 x(t)=0， 也会因也会因 使该方重整军备，使该方重整军备， 即存在互不信任即存在互不信任( ) 或固有争端或固有争端( ) 的单方面的单方面 裁军不会持久裁军不会持久.模型的定性解释模型的定性解释 , 本方经济实力的制约；本方经济实力的制约； k, l 对方对方军备数量的刺激；军备数量的刺激；g, h 本方本方军备竞赛的潜力军备竞赛的潜力.模型模型7.3 种群的相互竞争种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的 关系：关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食相互竞争；相互依存；弱肉强食. 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量竞争力强的达到环境容许的最大容量. 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件分析产生这种结局的条件. 经过自然界的长期演变，经过自然界的长期演变，今天看到的只是结局今天看到的只是结局.模型假设模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时有甲乙两个种群，它们独自生存时 数量变化均服从数量变化均服从Logistic规律规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用 与乙的数量成正比与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用甲对乙有同样的作用.对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相相对于对于N1) 的的 1 倍倍.对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙大于甲作用，乙大于甲.乙的竞争力强乙的竞争力强模型模型模型模型分析分析(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性)二阶非线性二阶非线性自治自治方程方程的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x10, x20) 代数方程代数方程的根的根.若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点.模型模型判断判断P0 (x10, x20) 稳定稳定性的方法性的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程平衡点平衡点 P0稳定稳定(对对(2),(1)p 0 且且 q 0平衡点平衡点 P0不稳定不稳定(对对(2),(1)p 0 或或 q 0仅当仅当 1, 2 1时，时，P3才有意义才有意义.模型模型平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析平衡点平衡点 Pi 稳定条件：稳定条件： p 0 且且 q 0种群竞争模型的平衡点及稳定性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定不稳定平平 衡点衡点 21, 11, P1, P2 是一个种群存活而另一是一个种群存活而另一个个灭绝的平衡点灭绝的平衡点P3 是两是两个个种群共存的平衡点种群共存的平衡点 11, 21P1稳定的条件稳定的条件 11 ? 11 21, 11P1局部稳定局部稳定O(3) 11, 21, 21, 21加上与加上与(4)相区别的相区别的 11 P2 稳定稳定 P3 稳定稳定P1全局稳定全局稳定P2局部稳定局部稳定结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对于于N1)的的 1 倍倍. P1稳定的条件：稳定的条件： 11 21 甲的竞争力强甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：稳定的条件： 11, 21 P3稳定的条件：稳定的条件： 11, 21通常通常 1 1/ 2，P3稳定条件不满足稳定条件不满足.对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱. 117.4 种群的相互依存种群的相互依存种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生. 受粉的植物与授粉的昆虫受粉的植物与授粉的昆虫.以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存，以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存，而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率. 人类与人工饲养的牲畜人类与人工饲养的牲畜.模型模型假设假设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长. 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提 供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的 阻滞作用阻滞作用 (服从服从Logistic规律规律).模型模型乙为甲提供食物乙为甲提供食物是甲消耗的是甲消耗的 1 倍倍甲为乙提供食物甲为乙提供食物是乙消耗的是乙消耗的 2 倍倍种群依存模型的平衡点及稳定性种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点是甲乙相互依存而共生的平衡点不稳定不稳定稳定条件稳定条件平衡点平衡点平衡点平衡点P2稳定稳定性的相轨线性的相轨线O 11, 1 21 P2稳定稳定 1 21 前提下前提下P2存在的必要条件存在的必要条件.结果结果解释解释 21 甲必须为乙提供足够的食物甲必须为乙提供足够的食物. 11条件下条件下 1 21 成立成立, 1必须足够小必须足够小 限制限制乙向甲提供食物，防止甲过分增长乙向甲提供食物，防止甲过分增长. P2稳定稳定(甲乙相互依存甲乙相互依存)条件：条件： 甲可以独自生存甲可以独自生存乙不能独立生存乙不能独立生存乙为甲提供食物是甲消耗的乙为甲提供食物是甲消耗的 1 倍倍.甲为乙提供食物是乙消耗的甲为乙提供食物是乙消耗的 2 倍倍. 11, 1 2 0P: 临界状态临界状态 q 0P 不稳定不稳定 tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLAB求求微分方程数值解微分方程数值解xy 平面上的相轨线平面上的相轨线计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）x(t), y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(x,y)是封闭曲是封闭曲线线观察，猜测观察，猜测x(t), y(t)的周期约为的周期约为9.6xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9用数值积分可算出用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25, y(t)的平均值约为的平均值约为10.食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra) 消去消去dt用相轨线分析用相轨线分析 点稳定点稳定性性c 由初始条件确定由初始条件确定取指数取指数x0fmf(x)xOg(y)gmy0yO在相平面上讨论相轨线的图形在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析用相轨线分析 点稳定点稳定性性相轨线相轨线时无相轨线时无相轨线以下设以下设y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0POx1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1), Q4(x,y2)相轨线相轨线退化为退化为P点点 存在x1x0x2, 使f(x1)=f(x2)=p存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fmOg(y)gmy0yO相轨线相轨线P中心中心x是是x1, x2内任意点内任意点相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t), y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记 T)求求x(t), y(t) 在一周期的平均值在一周期的平均值轨线轨线中心中心用相轨线分析用相轨线分析 点稳定点稳定性性T2T3T4T1PT1 T2 T3 T4x(t) 的的“相位相位”领先领先 y(t)模型解释模型解释初值初值相轨线的方向相轨线的方向模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力捕食者捕食者 数量数量食饵食饵数量数量Pr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比, , 与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比, , 与与b成反比成反比模型模型解释解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr- 1, dd+ 1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr- 2, dd+ 2 , 2 1食饵食饵( (鱼鱼) )减少，减少，捕食者捕食者( (鲨鱼鲨鱼) )增加增加自然环境自然环境 还表明：对还表明：对害虫害虫( (食饵食饵) )益虫益虫( (捕食者捕食者) )系统，系统，使用灭两种使用灭两种虫的虫的杀虫剂杀虫剂, , 会使害虫增加，益虫减少会使害虫增加，益虫减少. .xyO食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改进的缺点与改进Volterra模型模型改写改写多数多数食饵食饵捕食者系统观察不到周期震荡捕食者系统观察不到周期震荡, ,而是趋向某个平衡状态而是趋向某个平衡状态, ,即存在稳定平衡点即存在稳定平衡点. .加加Logistic项项有有稳定平衡点稳定平衡点 相轨线是封闭曲线，结构不稳定相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状. 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状.食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改进的缺点与改进r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18相轨线趋向极限环相轨线趋向极限环结构稳定结构稳定 两种群模型的几种形式两种群模型的几种形式 相互竞争相互竞争相互依存相互依存弱肉强食弱肉强食连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N, 则则yk+1=yk+2=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点7.6 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性O1的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x* 稳定稳定x* 不不稳定稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=0不稳定不稳定O1/21O1的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性 初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 3.57, 不存在不存在2n倍周期收敛子序列倍周期收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛混混 沌沌 现现 象象 “差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里”混沌现象的一个典型特征混沌现象的一个典型特征 对初始条件的敏感性对初始条件的敏感性 kxk xk 00.10000.100110.34300.343320.95140.952031.07621.0753211.13700.8442220.71651.1993231.26490.5540310.55241.0058321.22000.9901330.49531.0165设设x0=0.1000, x0=0.1001, 比较比较xkb =3.7 著名的著名的“蝴蝶效应蝴蝶效应” 的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌现象b 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型 阻滞增长模型阻滞增长模型( (微分方程形式、差分方程形式）微分方程形式、差分方程形式） 有广泛的应用有广泛的应用. . 基本模型基本模型 是很简单的是很简单的非线性非线性差分差分 方程方程. 方程解的收敛性研究可以导出相当复杂和有趣的方程解的收敛性研究可以导出相当复杂和有趣的 结果结果分岔分岔理论和理论和混沌混沌现象现象. 在混沌区域可以出现周期为在混沌区域可以出现周期为3,5,收敛的收敛的“窗口窗口”.