第第五五章章 相交线与平行线相交线与平行线5.1 相交线相交线第第2课时课时 垂线垂线1课堂讲解课堂讲解垂直的定义垂直的定义垂线的画法垂线的画法垂线的性质垂线的性质2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 如图所示是北京天安门如图所示是北京天安门广场庄严隆重的升国旗仪式，广场庄严隆重的升国旗仪式，是亿万中国人民特别关注的是亿万中国人民特别关注的活动活动.众所周知，众所周知，1949年年10月月1日，毛泽东主席在天安日，毛泽东主席在天安门城楼上用洪亮的声音向全门城楼上用洪亮的声音向全世界宣告中华人民共和国诞世界宣告中华人民共和国诞生，亲手升起了第一面五星生，亲手升起了第一面五星红旗红旗. 天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，人们概括有人们概括有“五绝五绝”.一绝：升旗；二绝：护旗；三绝：一绝：升旗；二绝：护旗；三绝：敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗.其中的每招每式都有其中的每招每式都有极其严格的要求极其严格的要求.每一次，当擎旗手以优美的动作，在每一次，当擎旗手以优美的动作，在国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，都是最后一个音符终止，都是2分分07秒，国旗也准时到达秒，国旗也准时到达30米高的旗杆顶端，做到了分秒不差米高的旗杆顶端，做到了分秒不差.可是，你看着旗杆可是，你看着旗杆与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？ 1知识点知识点垂直的定义垂直的定义 在相交线的模型在相交线的模型(上面上面练习插图练习插图)中，固定木条中，固定木条a，转动木条转动木条b.当当b的位的位 置变化置变化时，时，a，b所成的所成的也会发也会发生变化生变化.当当 =90时时(如如图图)，我们说，我们说a与与b互相垂直互相垂直(perpendicular)，记作，记作ab.知知1 1导导知知1 1导导 垂直是相交的一种特殊情形，两条直垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂互相垂直，其中的一条直直，其中的一条直线叫做另叫做另 条直条直线的垂的垂线(perpendicular line)，它，它们的交点叫做垂足的交点叫做垂足(foot of a perpendicular). 在在图 中，中， AB CD ， 垂足垂足为 O.知知1 1讲讲1. 定定义：在两条直：在两条直线AB和和CD相交所成的相交所成的4个角中，个角中， 如果有一个角是直角，就如果有一个角是直角，就说这两条直两条直线互相垂直；互相垂直； 记作作“ABCD”，读作作“AB垂直于垂直于CD”；其中；其中 一条直一条直线叫做另一条直叫做另一条直线的垂的垂线，它，它们的交点的交点O 叫做垂足如叫做垂足如图.知知1 1讲讲要点精析：要点精析：(1)在两条直在两条直线相交所成的四个角中，只要其中有一相交所成的四个角中，只要其中有一 个角是直角，即可由个角是直角，即可由邻补角与角与对顶角的性角的性质，得，得 到另三个角也是直角到另三个角也是直角(2)垂直定垂直定义具有双重作用，已知直角得具有双重作用，已知直角得线垂直，已垂直，已 知知线垂直得直角垂直得直角(3)垂垂线是直是直线：当遇到：当遇到线段与射段与射线的垂直的垂直问题时， 都是指它都是指它们所在的直所在的直线互相垂直互相垂直知知1 1讲讲2.推理格式：推理格式： 因因为AOC90(已知已知)， 所以所以ABCD(垂直定垂直定义) 反反过来：因来：因为ABCD(已知已知)， 所以所以AOC90(垂直定垂直定义)导引：引： 要判断要判断OE，OF是什么位置关是什么位置关 系，其系，其实质是是说明明OE，OF是是 否垂直，即要看否垂直，即要看EOF是否是否为 90；要；要让EOF90，需，需说明明EOF AOC或或EOFBOC都可，都可，这样就把就把问题 转化化为说明明AOECOF(已知已知)了了知知1 1讲讲 例例1 如如图，COAB于点于点O，AOECOF，则射射 线OE，OF是什么位置关系？是什么位置关系？请说明理由明理由知知1 1讲讲解：解：射射线OE，OF互相垂直理由如下：互相垂直理由如下： 因因为COAB，所以，所以AOC90. 又因又因为AOECOF， 所以所以AOECOECOFCOE， 即即AOCEOF90. 所以所以OE与与OF互相垂直互相垂直(垂直定垂直定义)总总 结结知知1 1讲讲 判断两直判断两直线(线段、射段、射线所在直所在直线)互相垂直互相垂直，主要，主要依据是垂直定依据是垂直定义，只要，只要说明两条相交直明两条相交直线所构成的四所构成的四个角中有一个角是直角即可个角中有一个角是直角即可导引：引：根据根据AOC与与BOD是是对顶角，角， 且且BOD与与BOE互余，即可互余，即可 求出求出AOC的度数；根据的度数；根据OD平平 分分BOF，EOFBOEBOF即可求出即可求出 EOF的度数；根据的度数；根据AOF与与BOF互互补可求得可求得 AOF的度数的度数知知1 1讲讲 例例2 如如图，直，直线AB，CD相交于点相交于点O，过O点画射点画射线OE， OF，使，使OECD，OD平分平分BOF.如果如果BOE 50，求，求AOC，EOF和和AOF的度数的度数知知1 1讲讲解：解：因因为OECD，所以，所以DOE90(垂直定垂直定义) 因因为BOE50， 所以所以AOCBODDOEBOE 905040. 因因为OD平分平分BOF， 所以所以BOF2BOD80. 所以所以EOFBOFBOE8050130， AOFAOBBOF18080100.总总 结结知知1 1讲讲1.本本题解解题思路可概括思路可概括为“顺藤摸瓜藤摸瓜”，即由已知条，即由已知条 件件 OECD入手，根据入手，根据对顶角、角、邻补角、角平分角、角平分线 的有关知的有关知识，逐步深入求得各角的度数，逐步深入求得各角的度数2.已知两条直已知两条直线垂直或已知一条直垂直或已知一条直线的垂的垂线时，能直，能直 接得到接得到90的角，因此利用的角，因此利用这个条件，并与角平分个条件，并与角平分 线、余角、余角、补角、角、邻补角、角、对顶角等知角等知识相相结合，合， 可求出可求出图中其他未知各角的度数中其他未知各角的度数1下列语句中，正确的有下列语句中，正确的有() 一条直线的垂线只有一条；一条直线的垂线只有一条；若两条直线相交所若两条直线相交所 成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；两条两条 直线相交，则交点叫垂足；直线相交，则交点叫垂足；互相垂直的两条直线互相垂直的两条直线 形成的四个角一定都是直角形成的四个角一定都是直角 A0个个 B1个个1 C2个个 D3个个 知知1 1练练3如图，点如图，点O在直线在直线AB上，且上，且OCOD，若，若 COA36，则，则DOB的大小为的大小为()3 A36 B54 C55 3 D44知知1 1练练4如图，已知如图，已知OAOB，OCOD，AOC27， 则则BOD的度数是的度数是() A117 B127 C153 D163知知1 1练练2知识点知识点垂线的画法垂线的画法知知2 2讲讲用三角尺画垂用三角尺画垂线的方法：的方法：一一贴，用三角尺的一条直角，用三角尺的一条直角边贴住已知直住已知直线；二靠，用三角尺的另一条直角二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；靠住已知点；三画，画出垂三画，画出垂线 如果作如果作线段互相垂直或作射段互相垂直或作射线的垂的垂线，实际上是作上是作线段所在的直段所在的直线互相垂直，或作射互相垂直，或作射线所在的直所在的直线的垂的垂线，因，因为射射线和和线段都是直段都是直线的一部的一部分在垂分在垂线的画法中，有的画法中，有时需延需延长线段，垂足在延段，垂足在延长线上，并上，并记上直角符号上直角符号“” 知知2 2讲讲注意：注意：画垂画垂线也可用以下两种方法：也可用以下两种方法：(1)利用量角器画；利用量角器画；(2)用折叠法画用折叠法画知知2 2讲讲 例例3 如如图，M是三角形是三角形ABC中中BC边上的任意一点，上的任意一点，请 你按照下列要求画你按照下列要求画图： (1)过M点画直点画直线AB的垂的垂线m； (2)过M点画直点画直线BC的垂的垂线n； (3)过M点画直点画直线AC的垂的垂线p.知知2 2讲讲导引：引：观察察图形不形不难看出，看出，(1)(3)属于属于过直直线外一点画外一点画 已知直已知直线的垂的垂线，(2)属于属于过直直线上一点画已知上一点画已知 直直线的垂的垂线，所以按照，所以按照“一靠、二一靠、二过、三画、三画” 的方法画的方法画图即可即可 解：解：画出的直画出的直线m，n，p如上如上页图.总总 结结知知2 2讲讲 过已知点画已知直已知点画已知直线的垂的垂线，实际上就是上就是过已知已知点画一条直点画一条直线，使所画直，使所画直线与已知直与已知直线相交所成的角相交所成的角是是90.知知2 2练练 1 下列下列选项中，中，过点点P画画AB的垂的垂线CD，三角板放法，三角板放法 正确的是正确的是()2过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足 在在() A这条线段上这条线段上 B这条线段的端点处这条线段的端点处 C这条线段的延长线上这条线段的延长线上 D以上都有可能以上都有可能知知2 2练练3知识点知识点垂线的性质垂线的性质知知3 3导导探究探究如如图.(1)用三角尺或量角器画已知直用三角尺或量角器画已知直线l的垂的垂线，这样的垂的垂线能画出几条能画出几条?(2)经过直直线l上一点上一点A画画l的垂的垂线，这样的垂的垂线能画出几条？能画出几条？(3)经过直直线l外一点外一点B画画l的垂的垂线，这样的垂的垂线能画出几条？能画出几条？归归 纳纳知知3 3导导 经过一点一点(已知直已知直线上或直上或直线外外)，能画出已知直，能画出已知直线的一条垂的一条垂线，并且只，并且只 能画出一条垂能画出一条垂线.即即 在同一平面内，在同一平面内，过一点有且只有一条直一点有且只有一条直线与已知与已知直直线垂直垂直.知知3 3讲讲在平面内，不是在空在平面内，不是在空间内，内，这是需要注意的条件是需要注意的条件:其中，一点可以是直其中，一点可以是直线上一点也可以是直上一点也可以是直线外一点；外一点；“有且只有有且只有”中的中的“有有”是指能画出一条已知直是指能画出一条已知直线的的垂垂线，即存在性，即存在性，“只有只有”是指只能画一条，即唯是指只能画一条，即唯一性一性知知3 3讲讲例例4厦厦门如如图，已知直，已知直线AB，CB，l在同一平面内，在同一平面内， 若若ABl，垂足，垂足为B，CBl，垂足也，垂足也为B，则符合符合 题意的意的图形可以是形可以是()C知知3 3讲讲导引：引：根据根据题意可知，意可知，过点点B有有AB，CB都与直都与直线l垂直，垂直， 由垂由垂线的性的性质可知，在同一平面内，可知，在同一平面内，过一点有且一点有且 只有一条直只有一条直线与已知直与已知直线垂直，所以垂直，所以A、B、C三三 点在一条直点在一条直线上上总总 结结知知3 3讲讲利用直利用直线的性的性质解答解答题目，要注意直目，要注意直线性性质满足的条件：足的条件： 1. 在平面内；在平面内；2. 过一点，点的位置可以在直一点，点的位置可以在直线上也可以在直上也可以在直线外；外；3. 相交所成的角必相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可是直角，以上三条缺一不可.1 下列下列说法正确的有法正确的有() 在同一平面内，在同一平面内，过直直线上一点有且只有一条直上一点有且只有一条直线 垂直于已知直垂直于已知直线； 在同一平面内，在同一平面内，过直直线外一点有且只有一条直外一点有且只有一条直线 垂直于已知直垂直于已知直线； 在同一平面内，在同一平面内，过一点可以画一条直一点可以画一条直线垂直于已垂直于已 知直知直线； 在同一平面内，有且只有一条直在同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直垂直于已知直 线 A1个个 B2个个 C3个个 D4个个知知3 3练练2如图，过点如图，过点P作直线作直线l的垂线和斜线，下列叙述正确的垂线和斜线，下列叙述正确的是的是() A都能作且只能作一条都能作且只能作一条 B垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条 C垂线能作两条，斜线可作无数条垂线能作两条，斜线可作无数条 D均可作无数条均可作无数条知知3 3练练 以下几个方面由学生自己以下几个方面由学生自己总结: 垂垂线的定的定义及垂直的符号表示及垂直的符号表示; 垂垂线的有关性的有关性质; 过一点作已知直一点作已知直线的垂的垂线的方法的方法.1、聪明的人有长的耳朵和短的舌头。 弗莱格 2、重复是学习之母。 狄慈根 3、当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉。 利希顿堡 4、人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。 B.V 5、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 洛 克 6、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。 阿卜日法拉兹 7、学习是劳动，是充满思想的劳动。 乌申斯基 8、聪明出于勤奋，天才在于积累 华罗庚 9、好学而不勤问非真好学者。 10、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 11、人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废 茅以升 12、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦 屠格涅夫 13、成功艰苦劳动正确方法少说空话 爱因斯坦 14、不经历风雨，怎能见彩虹 真心英雄 15、只有登上山顶，才能看到那边的风光。 16只会幻想而不行动的人，永远也体会不到收获果实时的喜悦。 17、勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。 1 8成功，往往住在失败的隔壁！1 9 生命不是要超越别人，而是要超越自己2 0命运是那些懦弱和认命的人发明的！1人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！2世界上大部分的事情，都是觉得不太舒服的人做出来的3昨天是失效的支票，明天是未兑现的支票，今天才是现金4一直割舍不下一件事，永远成不了!5扫地，要连心地一起扫！6不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力7当你停止尝试时，就是失败的时候8心灵激情不在，就可能被打败9凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！0成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践1只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星2上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价3现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。4宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子5为成功找方法，不为失败找借口6不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。7垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！8不一定要做最大的，但要做最好的9死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！0成功是动词，不是名词！20、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。