换元法换元法一）一） 第一换元法第一换元法二）二） 第二换元法第二换元法 （选讲）（选讲）问题问题一、第一类换元法一、第一类换元法第二第二类换元法元法第一第一类换元法元法基本思路基本思路 机动目录上页下页返回结束设可导, 则有 设 F= f ， u = (x) 由复合函数求导法则，有 F(x) = F(u)u = F(x)(x) = f (x)(x) 根 据 原 函 数 的 定 义 ， 不 难 看 出F(x) 是 f(x) (x) 的一个原函数，因而f (x) (x) dx=f (u) du= F(u)+C = F (x) +C 第一换元公式第一换元公式（凑微分法凑微分法）定理定理1 1例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例例1. 求解解: 令则故原式原式 =注注: 当时机动目录上页下页返回结束 例例2. 求解解:令则想到公式机动目录上页下页返回结束例例3. 求想到解解:(直接配元)机动目录上页下页返回结束例例4. 求解解:机动目录上页下页返回结束类似例例5. 求解解: 原式原式 =机动目录上页下页返回结束常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 万能凑幂法机动目录上页下页返回结束例例6. 求解解: 原式 =机动目录上页下页返回结束例例7. 求解解: 原式 =例例8. 求解解: 原式 =机动目录上页下页返回结束例例9. 求解法解法1解法解法2 两法结果一样机动目录上页下页返回结束例例10. 求解法解法1 机动目录上页下页返回结束解法解法 2 同样可证或机动目录上页下页返回结束例例11. 求解解: 原式 =机动目录上页下页返回结束例例12 . 求解解:机动目录上页下页返回结束降幂例例13. 求解解:原式 =机动目录上页下页返回结束降幂降幂降幂降幂例例14. 求解解: 原式=机动目录上页下页返回结束分析分析: 小小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如思考与思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束2. 求提示提示:法法1法法2法法3作业目录上页下页返回结束