信号与系统信号与系统第第第第 4 讲讲讲讲教材位置教材位置教材位置教材位置: : 第第2 2章章 线性时不变系统线性时不变系统 2.3-2.3-2.52.5内容概要内容概要内容概要内容概要: : 线性时不变系统的性质；线性时不变系统的性质； 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统；系统； 奇异函数奇异函数2024/9/16信号与系统第4讲2开讲前言前讲回顾开讲前言前讲回顾n离散时间离散时间LTI系统响应的分析系统响应的分析n离散时间序列的单位脉冲分解离散时间序列的单位脉冲分解n卷积和的定义以及计算卷积和的定义以及计算n连续时间连续时间LTI系统响应的分析系统响应的分析n连续时间信号的冲击函数分解连续时间信号的冲击函数分解n卷积的定义以及计算卷积的定义以及计算n卷积的性质卷积的性质2024/9/16信号与系统第4讲3开讲前言本讲导入开讲前言本讲导入n前面介绍了信号和系统的基本概念前面介绍了信号和系统的基本概念n进一步了解进一步了解LTI系统输入和输出之间的关系系统输入和输出之间的关系n将信号表示为延时脉冲的线性组合来求解将信号表示为延时脉冲的线性组合来求解n对于离散时间系统对于离散时间系统n卷积和的概念用于表达输入输出之间关系卷积和的概念用于表达输入输出之间关系n对于连续时间系统对于连续时间系统n卷积概念用于表达输入和输出之间的关系卷积概念用于表达输入和输出之间的关系n线性时不变系统的特殊性质线性时不变系统的特殊性质n常系数微（差）分方程求解常系数微（差）分方程求解n求解系统响应有帮助的奇异函数介绍求解系统响应有帮助的奇异函数介绍2024/9/16信号与系统第4讲42.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n0.引言引言-冲激响应在分析冲激响应在分析LTI系统性质上的作用系统性质上的作用n一个一个LTI系统的特性可以完全由它的冲激响应来决定系统的特性可以完全由它的冲激响应来决定n但是这个结论只在但是这个结论只在LTI系统适用，非线性系统不合适系统适用，非线性系统不合适n一离散时间系统有冲激响应一离散时间系统有冲激响应n作为作为LTI系统，可以确定为系统，可以确定为n而下列非线性系统也有同样的冲激响应而下列非线性系统也有同样的冲激响应2024/9/16信号与系统第4讲52.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n1.交换律性质交换律性质n离散系统离散系统yn=xn*hn=hn*xnn连续系统连续系统y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)2024/9/16信号与系统第4讲62.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n2.分配律性质分配律性质n离散系统离散系统n连续系统连续系统n分配率采用分配率采用LTI系统并联的解释系统并联的解释2024/9/16信号与系统第4讲72.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n3.结合律性质结合律性质n离散系统离散系统n连续系统连续系统n结合律采用结合律采用LTI系统级联的解释系统级联的解释2024/9/16信号与系统第4讲82.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n结合律与交换律结合结合律与交换律结合n多系统级联与顺序无关的结论只在多系统级联与顺序无关的结论只在LTI正确正确结论不正确的非线性系统结论不正确的非线性系统2024/9/16信号与系统第4讲92.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n4.有记忆和无记忆有记忆和无记忆LTI系统系统n无记忆系统输出仅与当前时刻输入有关无记忆系统输出仅与当前时刻输入有关n离散时间离散时间: yn=kxn, hn=?n连续时间连续时间: y(t)=kx(t), h(t)=?n无记忆系统的单位冲激响应只在无记忆系统的单位冲激响应只在0时候取值，其他时时候取值，其他时候为候为0 ，不满足这一点就不是无记忆系统，不满足这一点就不是无记忆系统2024/9/16信号与系统第4讲102.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n5. LTI系统的可逆性系统的可逆性n可逆系统的冲激响应可逆系统的冲激响应n原系统冲激响应为原系统冲激响应为h(t)，逆系统冲激响应为，逆系统冲激响应为h1(t)n系统可逆的特征系统可逆的特征n对于离散系统对于离散系统n可逆系统举例（可逆系统举例（example2.11-2.12）n连续时间纯时移系统连续时间纯时移系统n离散时间累加系统离散时间累加系统2024/9/16信号与系统第4讲112.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n6. LTI系统的因果性系统的因果性n因果系统的响应只决定于现在和过去的输入，反因果系统的响应只决定于现在和过去的输入，反映在冲激响应上的特点就是映在冲激响应上的特点就是n离散时间系统离散时间系统n连续时间系统连续时间系统2024/9/16信号与系统第4讲122.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n7. LTI系统的稳定性系统的稳定性n系统对所有有界的输入，其输出都是有界的系统对所有有界的输入，其输出都是有界的n离散时间系统离散时间系统n连续时间系统连续时间系统2024/9/16信号与系统第4讲132.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质n8. LTI系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应n输入为单位阶跃信号，系统的响应为单位阶跃响应输入为单位阶跃信号，系统的响应为单位阶跃响应n离散时间离散时间n阶跃响应是冲激响应的求和阶跃响应是冲激响应的求和n冲激响应是阶跃响应的一次差分冲激响应是阶跃响应的一次差分n连续时间连续时间n阶跃响应是冲激响应的积分阶跃响应是冲激响应的积分n冲激响应是阶跃响应的微分冲激响应是阶跃响应的微分2024/9/16信号与系统第4讲142.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统系统n1.线性常系数微分方程线性常系数微分方程n根据一个根据一个RC电路，由电路理论可以建立一个微电路，由电路理论可以建立一个微分方程对系统进行描述分方程对系统进行描述n输入信号：电压源输入信号：电压源 Vsn输出信号：电容电压输出信号：电容电压 Vcn回路电流方程和电容特性回路电流方程和电容特性n得到线性常系数微分方程得到线性常系数微分方程n方程给出的是系统输入输出之间的隐含关系方程给出的是系统输入输出之间的隐含关系n如何求解输入输出之间的显性表达式？如何求解输入输出之间的显性表达式？2024/9/16信号与系统第4讲152.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统系统n线性常系数微分方程解线性常系数微分方程解 y(t)n齐次解（自然响应）齐次解（自然响应）yh(t)n特解（受迫响应）特解（受迫响应） yp(t)n求解方程需要一些初始条件求解方程需要一些初始条件-对于因果的对于因果的LTI系统系统nN-阶线性常系数分微分方程阶线性常系数分微分方程n方程方程n初始条件初始条件n因果系统初始条件因果系统初始条件实际情况初始条件可实际情况初始条件可能更为复杂。初始条能更为复杂。初始条件为件为0的情况比较易的情况比较易于分析，又称为松弛于分析，又称为松弛的初始条件的初始条件2024/9/16信号与系统第4讲162.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统系统n2.线性常系数差分方程线性常系数差分方程nN-阶方程阶方程n初始条件初始条件 y0, y-1, , y-(N-1)n在松弛初始条件情况下 系统是因果的 2024/9/16信号与系统第4讲172.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统系统n系统求解系统求解n改写方程为迭代方式n利用初始条件就可以计算出各个时刻的输出结果n对于松弛初始条件n通用的系统求解方法，在第5章和第10章中介绍2024/9/16信号与系统第4讲182.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统系统nN=0系统分析n系统描述是一个非递归方程n系统的冲激响应为有限长脉冲响应n系统被称为有限脉冲响应系统（FIR）nN0系统分析n系统描述是一个递归方程n参考例题2.15系统方程的解n系统的冲激响应都是无限长脉冲响应n系统被称为无限脉冲响应系统（IIR）2024/9/16信号与系统第4讲192.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统系统n3.用微分和差分方程描述的一阶系统的方框图表示用微分和差分方程描述的一阶系统的方框图表示n（1）离散时间系统）离散时间系统 一阶差分方程一阶差分方程 框图表示基本单元：框图表示基本单元： 加法器加法器 乘法器乘法器 延迟器延迟器+D2024/9/16信号与系统第4讲202.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统系统系统n（2）连续时间系统）连续时间系统 一阶微分方程一阶微分方程 框图表示基本单元：框图表示基本单元： 加法器加法器 乘法器乘法器 积分器积分器+2024/9/16信号与系统第4讲212.5 奇异函数奇异函数n1.作为理想化短脉冲的单位冲激作为理想化短脉冲的单位冲激n矩形脉冲定义的冲激矩形脉冲定义的冲激n三角脉冲定义的冲激三角脉冲定义的冲激n根据单位冲激具有筛选性根据单位冲激具有筛选性n由此可见由此可见n单位脉冲定义为某种信号的极限形式，很多信号都可以作为单位单位脉冲定义为某种信号的极限形式，很多信号都可以作为单位脉冲的近似，脉冲的近似，LTI系统对它们的响应本质上是相同的，只要脉冲系统对它们的响应本质上是相同的，只要脉冲足够短足够短 （参考（参考Example2.16）2024/9/16信号与系统第4讲222.5 奇异函数奇异函数n2.通过卷积定义单位冲激通过卷积定义单位冲激n（1）单位冲激函数的面积为）单位冲激函数的面积为1 （积分为（积分为1）n（2）函数与单位冲激函数乘积的积分）函数与单位冲激函数乘积的积分n（3）函数与单位冲激函数乘积）函数与单位冲激函数乘积2024/9/16信号与系统第4讲232.5 奇异函数奇异函数n3. 单位冲激偶和其他的奇异函数单位冲激偶和其他的奇异函数n冲激函数筛选性冲激函数筛选性n卷积的微分性质卷积的微分性质n卷积的积分性质卷积的积分性质2024/9/16信号与系统第4讲242.5 奇异函数奇异函数n函数的命名和相关性函数的命名和相关性n单位冲激偶单位冲激偶n斜坡函数斜坡函数n推广命名推广命名n物理解释物理解释nk,r为正时，为正时，k个微分器级联后面接个微分器级联后面接r个微分器，产生的个微分器，产生的输出为，对输入的（输出为，对输入的（k+r）次微分）次微分2024/9/16信号与系统第4讲25本讲小结本讲小结nLTI系统的性质系统的性质n交换律、结合律、分配率交换律、结合律、分配率n记忆性、可逆性、因果性、稳定性、线性记忆性、可逆性、因果性、稳定性、线性n利用冲激响应判断系统的上述性质利用冲激响应判断系统的上述性质n微分、差分方程描述的因果微分、差分方程描述的因果LTI系统系统n线性常系数微分、差分方程线性常系数微分、差分方程n松弛的初始条件定义松弛的初始条件定义n一阶系统的方框图表示一阶系统的方框图表示n奇异函数奇异函数n各种短脉冲定义的冲激函数各种短脉冲定义的冲激函数n由卷积运算定义的冲击函数的一些性质由卷积运算定义的冲击函数的一些性质n冲击函数的微分与积分冲击函数的微分与积分信号与系统信号与系统第第第第 4 次课外作业次课外作业次课外作业次课外作业教材习题教材习题教材习题教材习题: : 2.28(b)(e)(g)2.28(b)(e)(g)、 2.29(b)(d)(e)2.29(b)(d)(e)2024/9/16信号与系统第4讲272024/9/16信号与线性系统第2讲27补充补充举例电路系统的微分方程解法举例电路系统的微分方程解法n n典型典型典型典型RLCRLC并联电路，并联电路，并联电路，并联电路，由基尔霍夫由基尔霍夫(KCL)电流定律可列出电流定律可列出igRLiL+C-V对上面等式进行微分对上面等式进行微分若给定的参数为若给定的参数为: R=1/4 , L=1/3H, C=1F且初始值为且初始值为 v(o)=1v, iL(o)=2A, 求当激励电流源为求当激励电流源为 ig=2e-2t时的回路端电压时的回路端电压v(t).(1(1) )2024/9/16信号与系统第4讲282024/9/16信号与线性系统第2讲28补充补充举例电路系统的微分方程解法举例电路系统的微分方程解法n n解解解解: :由式由式由式由式(1)(1)带入参数得方程带入参数得方程带入参数得方程带入参数得方程（2 2）该方程的解该方程的解 v(t) 由齐次方程由齐次方程通解通解 v1(t) 和非齐次方程和非齐次方程特解特解 v2(t)构成构成 ,即即 v (t)=v1(t)+v2(t) (3)通解：通解： v1(t)=c1e 1 t+c2e 2 t 1, 2为微分方程的特征根为微分方程的特征根, 式式(2)的特征方程为：的特征方程为： 2+4 +3=0 求解可得求解可得 1,2 = 2 1 故有故有 v1(t)=c1e- t +c2 e -3 t (4)为自然响应分量为自然响应分量(物理意义，表示系统的自然特征物理意义，表示系统的自然特征)。特解：特解： v2(t) 应满足非齐次方程应满足非齐次方程 v2” (t) +4 v2 (t) +3 v2(t) = ig,(t) (5)因激励因激励 ig(t) = 2e-2t 为指数函数为指数函数,指数函数的导数仍为指数函数指数函数的导数仍为指数函数,故可令故可令 v2(t) = Be-2t ,代入上式可得代入上式可得 4 Be-2t 8Be-2t+ 3Be-2t = 4 e-2t 求解得求解得 B = 4 ；于是特解；于是特解 v2(t) = 4e-2t (6) 此解为响应的受迫分量此解为响应的受迫分量(物理意义，表示系统在激励的迫使下，产生的输出物理意义，表示系统在激励的迫使下，产生的输出)。 2024/9/16信号与系统第4讲292024/9/16信号与线性系统第2讲29补充补充举例电路系统的微分方程解法举例电路系统的微分方程解法全解全解： v(t)=c1e-t +c2 e -3t +4e-2t (7)系数系数c1, c2 由初始值确定由初始值确定. 根据初始条件根据初始条件 v(0) =1V, 得得 v(o) = c1+c2 +4=1 (8) 由由KCL, 得得 iL(o) + iR(o) + iC(o) =0 (9) iL(o)=2A为初始条件为初始条件, 其他两项其他两项 iR(o) = v(o)/R =4A (10) 由上述分析带入公式（由上述分析带入公式（9）可得）可得 将式将式(7)求导，求求导，求t=0时值可得时值可得 C1 3C28 = 6 (12) 由式由式(8)和上式可解得和上式可解得 C1 = 7/2, C2 = 1/2 通解通解 v1(t) = ( 7/2)e- t+(1/2 )e-3 t (13) 最后求得最后求得 v (t) = ( 7/2)e- t+(1/2 )e-3t + 4 e-2 t (14) (11)2024/9/16信号与系统第4讲302024/9/16信号与线性系统第2讲30补充补充举例电路系统的微分方程解法举例电路系统的微分方程解法n n解题小结解题小结解题小结解题小结n上述解题采用的是直接解微分方程的方法，难度较大上述解题采用的是直接解微分方程的方法，难度较大n零输入响应求解齐次方程通解，需要规范化零输入响应求解齐次方程通解，需要规范化n零状态响应求解需要根据激励函数形式试探解的形式，不好把握零状态响应求解需要根据激励函数形式试探解的形式，不好把握n n降低难度的办法降低难度的办法降低难度的办法降低难度的办法n寻找规范的解题方式，变解题技巧为解题流程寻找规范的解题方式，变解题技巧为解题流程n n零输入响应求解思路零输入响应求解思路零输入响应求解思路零输入响应求解思路n简化齐次方程表达方式简化齐次方程表达方式 （算子）（算子）n由简单低阶方程解推导高阶通用方程解由简单低阶方程解推导高阶通用方程解n n零状态响应求解思路零状态响应求解思路零状态响应求解思路零状态响应求解思路1.把输入信号分解为各单元信号之和。把输入信号分解为各单元信号之和。2.求各单元信号的零状态响应。求各单元信号的零状态响应。3.叠加各单元信号的响应合成输出信号。叠加各单元信号的响应合成输出信号。n n 全响应全响应全响应全响应=零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应2024/9/16信号与系统第4讲312024/9/16信号与线性系统第2讲31补充：系统方程的算子表示法补充：系统方程的算子表示法积分算子积分算子微分算子微分算子（2-1a）（2-1b）例如，式例如，式两边求导两边求导（2-3）n阶微分阶微分方程方程2024/9/16信号与系统第4讲322024/9/16信号与线性系统第2讲32补充：系统方程的算子表示法补充：系统方程的算子表示法利用微积分算子表达上述微分方程，可分别写成利用微积分算子表达上述微分方程，可分别写成利用微积分算子表达上述微分方程，可分别写成利用微积分算子表达上述微分方程，可分别写成（2-6a）（2-6b）（2-7a）提取公共因子提取公共因子2024/9/16信号与系统第4讲332024/9/16信号与线性系统第2讲33补充：系统方程的算子表示法补充：系统方程的算子表示法n n与代数方程的比较与代数方程的比较与代数方程的比较与代数方程的比较n代数方程代数方程 (y+a)(y+b)=y2+(a+b)y+abn算子方程算子方程 (p+a)(p+b)=p2+(a+b)p+ab 由由由由 p p 的多项式所组成的运算符号可以象代数式一样相乘和因式分解。的多项式所组成的运算符号可以象代数式一样相乘和因式分解。的多项式所组成的运算符号可以象代数式一样相乘和因式分解。的多项式所组成的运算符号可以象代数式一样相乘和因式分解。 但是，算子但是，算子但是，算子但是，算子P P不能在运算如同代数方程一样随意消除。不能在运算如同代数方程一样随意消除。不能在运算如同代数方程一样随意消除。不能在运算如同代数方程一样随意消除。又如，又如，P 可以消去。可以消去。但是但是，P 不能随便消去。不能随便消去。一般，有一般，有同样，将同样，将两边积分，可得两边积分，可得x=y+c可见，对于可见，对于 px=py ,双方的双方的 p 一般也不好消去。一般也不好消去。2024/9/16信号与系统第4讲342024/9/16信号与线性系统第2讲34补充：系统方程的算子表示法补充：系统方程的算子表示法n n对于对于对于对于n n阶系统，将（阶系统，将（阶系统，将（阶系统，将（2 27a7a）等式两边多项式分别记为）等式两边多项式分别记为）等式两边多项式分别记为）等式两边多项式分别记为D(p) D(p) 和和和和 N(p) N(p) n n则有则有则有则有 D(p)r(t)=N(p)e(t) (2D(p)r(t)=N(p)e(t) (27b)7b)写成写成（2 27c7c）（2 28 8）定义定义转移算子转移算子 H(p) ：于是于是于是于是 r(t)=H(p)e(t) (2r(t)=H(p)e(t) (29)9)当求系统的零输入响应时，解齐次方程当求系统的零输入响应时，解齐次方程当求系统的零输入响应时，解齐次方程当求系统的零输入响应时，解齐次方程 D(p)r(t)=0 D(p)r(t)=0 （2 21010） 求系统的零状态响应时，解非齐次方程式求系统的零状态响应时，解非齐次方程式求系统的零状态响应时，解非齐次方程式求系统的零状态响应时，解非齐次方程式(2(29)9) r(t)=H(p)e(t) r(t)=H(p)e(t)2024/9/16信号与系统第4讲352024/9/16信号与线性系统第2讲35补充：系统的零输入响应（补充：系统的零输入响应（n n1 1）n n系统的零输入响应就是求下列齐次微分方程的解系统的零输入响应就是求下列齐次微分方程的解系统的零输入响应就是求下列齐次微分方程的解系统的零输入响应就是求下列齐次微分方程的解n n首先讨论一阶齐次方程简单情况首先讨论一阶齐次方程简单情况首先讨论一阶齐次方程简单情况首先讨论一阶齐次方程简单情况(p-)r = 0 (2(p-)r = 0 (211)11)此式即此式即或或等式双方取不定积分，得等式双方取不定积分，得 其中其中k 为积分常数为积分常数ln r = t+k解对数方程得到解对数方程得到 r(t)=cet （2 212a12a） 式中式中 c=ek, c 可以由初始状态可以由初始状态 r(t)=r(0) 确定为确定为 c=r(0), 于是得于是得r(t)=r(0)et(212b)如果给出的初始状态为如果给出的初始状态为 t=t0 时的响应时的响应r(t0 )。则解的形式为。则解的形式为2024/9/16信号与系统第4讲362024/9/16信号与线性系统第2讲36补充：系统的零输入响应（补充：系统的零输入响应（n n2 2）n n求解二阶齐次方程的解求解二阶齐次方程的解求解二阶齐次方程的解求解二阶齐次方程的解(213a)可写为可写为可写为可写为 (p-(p- 1 1)(p-)(p-2 2) )r = 0 r = 0 (2(213b)13b)或或或或 (p-(p-1 1)(pr-)(pr-2 2r) =(p-r) =(p-2 2) (pr-) (pr-1 1r) = 0 r) = 0 由上可知二阶方程的解可由两个一阶方程求得由上可知二阶方程的解可由两个一阶方程求得由上可知二阶方程的解可由两个一阶方程求得由上可知二阶方程的解可由两个一阶方程求得即即即即 (p-(p- 1 1) )r = 0 r = 0 和和和和 (p-(p- 2 2) )r = 0 r = 0 (2(214)14)和和故二阶齐次方程解的一般形式应为故二阶齐次方程解的一般形式应为(2-15)若若 t=0 时，初始状态时，初始状态 r(t)=r(0), r(t)=r(0), 则由下列方程组可求系数则由下列方程组可求系数r(0)=c1+ c2r(0)= 1c1+ 2c2 (2-16)2024/9/16信号与系统第4讲372024/9/16信号与线性系统第2讲37补充：系统的零输入响应补充：系统的零输入响应推广到普遍推广到普遍推广到普遍推广到普遍n n推广到推广到推广到推广到n n阶齐次方程阶齐次方程阶齐次方程阶齐次方程= (p-1)(p-2) - - - (p-n) r = 0(2-17)n n特征方程特征方程特征方程特征方程 D(p)=0D(p)=0， 方程中的根称为方程中的根称为方程中的根称为方程中的根称为 特征根特征根 i i，n n各各各各 为为为为 转移算子转移算子转移算子转移算子H(p) H(p) 的极点。的极点。的极点。的极点。n n类比二阶方程的解，上式解的一般形式应为类比二阶方程的解，上式解的一般形式应为类比二阶方程的解，上式解的一般形式应为类比二阶方程的解，上式解的一般形式应为 （ 无重根无重根无重根无重根）(2-18)n n根据初始条件，联立解下列方程可求解各项系数根据初始条件，联立解下列方程可求解各项系数根据初始条件，联立解下列方程可求解各项系数根据初始条件，联立解下列方程可求解各项系数r(0)=c1+c2 + - - - +cn r(0)= 1c1+ 2c2 + - - - +ncn (2-19a)2024/9/16信号与系统第4讲382024/9/16信号与线性系统第2讲38补充：系统的零输入响应补充：系统的零输入响应推广到普遍推广到普遍推广到普遍推广到普遍n n初始条件方程的矩阵表示初始条件方程的矩阵表示初始条件方程的矩阵表示初始条件方程的矩阵表示n n求解系数的逆矩阵表示求解系数的逆矩阵表示求解系数的逆矩阵表示求解系数的逆矩阵表示(2-19c)(2-19b)2024/9/16信号与系统第4讲392024/9/16信号与线性系统第2讲39补充：系统的零输入响应补充：系统的零输入响应推广到普遍推广到普遍推广到普遍推广到普遍n n对于特征方程中有一对于特征方程中有一对于特征方程中有一对于特征方程中有一 k k 阶重根阶重根阶重根阶重根 时，时，时，时，即方程中有因子即方程中有因子 (p )k 时，时，微分方程微分方程 (p )k r = 0 (220) 此时解的形式为此时解的形式为此时解的形式为此时解的形式为 r(t)=(cr(t)=(c0 0+ c+ c1 1t+ - - - + ct+ - - - + ck-1k-1t tk-1k-1)e)ett (2(221)21)2024/9/16信号与系统第4讲402024/9/16信号与线性系统第2讲40补充：系统的零输入响应补充：系统的零输入响应推广到普遍推广到普遍推广到普遍推广到普遍n n关于零状态响应的求解关于零状态响应的求解 n思路：思路：利用线性系统叠加性利用线性系统叠加性n将实际中复杂激励函数分解为标准简单形式进行讨论将实际中复杂激励函数分解为标准简单形式进行讨论n分析系统在标准函数的激励下的零状态响应分析系统在标准函数的激励下的零状态响应n分析激励叠加与响应叠加的关系分析激励叠加与响应叠加的关系n步骤：步骤：n标准形式探索分析特殊函数标准形式探索分析特殊函数n信号分解通过特殊函数来表示信号分解通过特殊函数来表示n特殊函数的响应求解特殊函数的响应求解n响应叠加响应叠加2024/9/16信号与系统第4讲412024/9/16信号与线性系统第3讲41补充：冲激响应求解补充：冲激响应求解0 0+ + 与与0 0- -的概念的概念nt 由正值趋零的瞬时记为由正值趋零的瞬时记为 t = 0+，它代表刚刚施加激励，它代表刚刚施加激励后的起始时刻；后的起始时刻；nt 由负值趋零的瞬时记为由负值趋零的瞬时记为 t = 0-，它代表施加激励前一，它代表施加激励前一瞬间的起始时刻。瞬间的起始时刻。n奇异函数在奇异函数在0点没有定义，为了考虑其影响，上式定义点没有定义，为了考虑其影响，上式定义的积分下限为的积分下限为0-n理解理解0+ 与与0-的概念能更好的认识，零输入响应与零状的概念能更好的认识，零输入响应与零状态之间的联系以及系统对响应的本质。态之间的联系以及系统对响应的本质。2024/9/16信号与系统第4讲422024/9/16信号与线性系统第3讲42补充：冲激响应求解补充：冲激响应求解冲激响应冲激响应冲激响应冲激响应h(t)h(t)求解求解求解求解n根据根据n阶系统的输入响应表达式阶系统的输入响应表达式n类比零输入响应的求解，在此分两种情况讨论类比零输入响应的求解，在此分两种情况讨论nn m 和 n m ；n n（1 1） n mn m； 2024/9/16信号与系统第4讲432024/9/16信号与线性系统第3讲43补充：冲激响应求解补充：冲激响应求解设特征根均为设特征根均为设特征根均为设特征根均为单根单根单根单根。为求。为求。为求。为求h (t)h (t)，先求上式中第一项的解，于是，先求上式中第一项的解，于是，先求上式中第一项的解，于是，先求上式中第一项的解，于是或合并等式左边项，合并等式左边项，合并等式左边项，合并等式左边项，将上式双方乘以将上式双方乘以 e 1 t ，可得，可得有有双方从双方从0 到到 t 取定积分取定积分12024/9/16信号与系统第4讲442024/9/16信号与线性系统第3讲44补充：冲激响应求解补充：冲激响应求解由于由于h 1(0 )=0，于是，于是依此可求得依此可求得 h2 (t) ， ，hn(t) ，从而从而（2-40）（2-41）类比零输入响应解的形式，物理解释为系统在类比零输入响应解的形式，物理解释为系统在类比零输入响应解的形式，物理解释为系统在类比零输入响应解的形式，物理解释为系统在0 0+状状状状态储能后的零输入响应态储能后的零输入响应态储能后的零输入响应态储能后的零输入响应2024/9/16信号与系统第4讲452024/9/16信号与线性系统第3讲45补充：冲激响应求解补充：冲激响应求解 （2 2）若）若）若）若n n m m ，则需将，则需将，则需将，则需将H (p) H (p) 化为真分式。设化为真分式。设化为真分式。设化为真分式。设m = n+1m = n+1 ，故，故，故，故Ap + B为整除所得商；为整除所得商；为整除所得商；为整除所得商；余数中余数中余数中余数中N1(p)的幂次低于的幂次低于的幂次低于的幂次低于D(p)的幂次的幂次的幂次的幂次N，N1(p)/D(p)为真分式；为真分式；为真分式；为真分式；假定假定假定假定D(p)=0的的的的n n个根均为单根个根均为单根个根均为单根个根均为单根 i(i=1,2n),H(p)可写成：可写成：可写成：可写成：当e（t）= （t）时，有r（t）= h（t），由此有2024/9/16信号与系统第4讲462024/9/16信号与线性系统第18讲46补充：离散时间系统的零输入响应补充：离散时间系统的零输入响应n n1、差分方程基本解法迭代、差分方程基本解法迭代n设设 y (k+1)+a 0y (k) = b0e (k)n其响应的一次齐次差分方程其响应的一次齐次差分方程 y (k+1)= -a 0y (k)n假设假设y(0)已知，于是已知，于是ny (1)= -a 0y (0)ny (2)= -a 0y (1)（ -a 0）2y (0)ny (3)= -a 0y (2)（ -a 0）3y (0)n.n归纳后得到：归纳后得到： 当当k0nyzi(k) = y (0) (-a 0) k2024/9/16信号与系统第4讲472024/9/16信号与线性系统第18讲47补充：离散时间系统的零输入响应补充：离散时间系统的零输入响应n n2、移序算子及差分方程的算子表示、移序算子及差分方程的算子表示n移序算子采用移序算子采用 S表示表示nSf(k)=f(k+1)nS2f(k)=f(k+2)nnSnf(k)=f(k+n)n差分方程的移序算子表示差分方程的移序算子表示n有差分方程有差分方程 ：y(k+1)+a0y(k)=b0e(k)n采用移序算子表示：采用移序算子表示：Sy(k)+ a0y(k)=b0e(k) (S+a0)y(k)= b0e(k)2024/9/16信号与系统第4讲482024/9/16信号与线性系统第18讲48补充：离散时间系统的零输入响应补充：离散时间系统的零输入响应n n3、齐次差分方程的解零输入响应、齐次差分方程的解零输入响应n齐次差分方程的表达式齐次差分方程的表达式ny(k+n)+an-1y(k+n-1)+a0y(k)=0n算子形式算子形式nSny(k)+an-1Sn-1y(k)+a0y(k)=0 (Sn+an-1Sn-1+a0)y(k)=0n(Sn+an-1Sn-1+a0)=0称为特征方程称为特征方程n因式分解得到：因式分解得到： (S- 1)(S- 2) (S- n)=0n 1、 2、 、 n称为特征根称为特征根2024/9/16信号与系统第4讲492024/9/16信号与线性系统第18讲49补充：离散时间系统的零输入响应补充：离散时间系统的零输入响应n方程求解方程求解n考虑一阶方程考虑一阶方程 y(k+1)-vy(k)=0n则则 Sy(k)-vy(k)=0 或或 (S-v)y(k)=0n特征方程特征方程 S-v=0 特征根特征根 Svn求此一阶齐次差分方程解，可整理成求此一阶齐次差分方程解，可整理成n可见，可见，y(k) 是以是以 为公比的等比序列为公比的等比序列n其通式为其通式为 y(k) = c ( ) k n也就是零输入响应的解也就是零输入响应的解 yzi(k) = c ( ) k n结论：结论：n一阶齐次差分方程算符表示式可整理成一阶齐次差分方程算符表示式可整理成 (S- )y(k) = 0 形式形式n此方程描述的系统的零输入响应必具有此方程描述的系统的零输入响应必具有 yzi(k)=c( )k 形式形式n其中常数其中常数 c 由初始条件确定。由初始条件确定。2024/9/16信号与系统第4讲502024/9/16信号与线性系统第18讲50补充：离散时间系统的零输入响应补充：离散时间系统的零输入响应n推广到推广到n阶，因式分解的特征方程为阶，因式分解的特征方程为n(S- 1) (S- 2)(S- n)=0n(S- 1) (S- 2)(S- n) y(k)= 0n当当(S- r)y(k)=0, r=1、2、n并且并且vr l (无重根无重根)成立成立n有有 yzi(k) = c1 1k+ c2 2k+ cn nkn常数常数 c1、c2、 cn 由初始条件由初始条件y(0)、y(1)、 y(n-1) 确定。把初始值代入上式，则有确定。把初始值代入上式，则有 y(0) = c1 + c2 + cn y(1) = c1v1+ c2v2 + cnvn y(2) = c1v12+ c2v22 + cnvn2 y(n-1) = c1v1n-1+ c2v2n-1 + cnvnn-1n写成矩阵形式写成矩阵形式2024/9/16信号与系统第4讲512024/9/16信号与线性系统第18讲51补充：离散时间系统的零输入响应补充：离散时间系统的零输入响应n解方程求得全部系数解方程求得全部系数n如果特征方程有一如果特征方程有一m阶重根，因式分解的差分方程为阶重根，因式分解的差分方程为n(S- 1)m (S- m+1) (S- n)y(k) = 0n零输入响应的形式为零输入响应的形式为nyzi(k)=(c1+c2k+cmkm-1) 1k+cm+1 m+1k+cn nk同上同上2024/9/16信号与系统第4讲52补充：单位脉冲响应计算补充：单位脉冲响应计算n4、单位函数响应计算、单位函数响应计算n当输入为单位函数当输入为单位函数(e(k)=(k) 时的零状态响应时的零状态响应 n n一、迭代法：方程简单，可以直接计算一、迭代法：方程简单，可以直接计算一、迭代法：方程简单，可以直接计算一、迭代法：方程简单，可以直接计算n对于响应的序号大于激励的序号情况对于响应的序号大于激励的序号情况n对于响应的序号等于激励的序号情况对于响应的序号等于激励的序号情况2024/9/16信号与系统第4讲53补充：单位脉冲响应计算补充：单位脉冲响应计算n n二、当作特定条件的零输入响应求解二、当作特定条件的零输入响应求解二、当作特定条件的零输入响应求解二、当作特定条件的零输入响应求解 （k0k0）n例题：例题： 已知已知 求求h(k)n解：写出表达式解：写出表达式n解题思路：解题思路： n(k+2) 只在只在 k+2 = 0 即即 k = -2 时取值为时取值为1, 其它其它k值时值时,其其值均为值均为0。当当k 0 时时,此系统相当于一个具有某种初始条件的此系统相当于一个具有某种初始条件的零输入系统，零输入系统，n根据零输入响应解的形式，特征根为根据零输入响应解的形式，特征根为1=2 和和 2=3 可以写出：可以写出：n用迭代法计算初始条件用迭代法计算初始条件n求系数求系数c1，c2，得到，得到h(k)