第二十四章复习课第二十四章复习课 1.知道圆的有关概念,能说出垂径定理,圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理以及圆周角定理,并会用这些定理解决有关问题. 2.知道点和圆、直线与圆的位置关系;知道切线的概念,切线的性质;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线. 3.能利用正多边形和圆的关系进行正多边形的有关计算;会计算弧长和扇形面积 4.通过用圆的知识解决问题,体会分类讨论的思想,体会数学来源于生活,应用于生活. 5.重点:垂径定理、圆周角定理及推论;切线的性质和判定;有关圆的计算.体系构建完成下面的知识结构图.核心梳理 1.垂直于弦的直径 ,并且 弦所对的两条弧. 2. 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 3.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 .在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的弦 .在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的弧 . 4.同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于这条弧所对的 ,半圆(或直径)所对的圆周角是,90的圆周角所对的弦是 .在同圆和等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧 ,圆内接四边形 。 5.圆是 , 是它的对称轴,圆也是 .平分弦平分平分弦(不是直径)相等圆心角的一半直角直径一定相等对角互补相等相等相等相等相等相等轴对称图形任何一条直径所在的直线中心对称图形 6.点与圆的位置关系:若圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,则(1)点在圆外 ,(2) d=r,(3)点在圆内 . 7. 的三个点确定一个圆. 8.直线和圆的位置关系:设O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则(1)直线l和O相交 ,(2) d=r,(3) dr. 9.切线的判定定理: 的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线 .dr点在圆上dr不在同一条直线上dr直线和O相离直线和O相切经过半径的外端并且垂直于这条半径垂直于经过切点的半径 10.弧长l= (n为圆心角度数,R为扇形半径).11.S扇形= = (n为圆心角度数,R为半径,l为弧长).12.S锥侧= (r为圆锥底面圆的半径,l为圆锥的母线).专题一垂径定理及推论1.如图,O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为( )A.2 B.3 C.4 D.5B 2.如图,已知AB是O的直径,CDAB,垂足为点E,如果BE=OE,AB=10 cm,求ACD的周长 3.圆O的直径为10 cm,弦ABCD,AB=6 cm,CD=8 cm,求AB和CD的距离.解:(1)当AB、CD在圆心的同侧时,如图1,过点O作OMAB交AB于点M,交CD于N,连接OB、OD,得RtOMB,RtOND,然后由勾股定理,求得OM=4 cm,ON=3 cm.故AB和CD的距离为1 cm.(2)当AB、CD在圆心的异侧时,如图2,仍可求得OM=4 cm,ON=3 cm.故AB和CD的距离为7 cm.所以AB和CD的距离为1 cm或7 cm.【方法归纳交流】圆中求线段的长,常利用 定理,转化为在直角三角形中利用 求边长解决.垂径勾股定理 专题二圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系 4.如图,AB是O直径,AOC=130,则D等于 ( )A.65B.25 C.15D.355.如图,CD平分ACB,DEAC,求证:DE=BC.B变式训练在上题中,若DEAC,DE=BC,求证:CD平分ACB.【方法归纳交流】在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弧、弦之间的相等关系可以相互转化,知道其中一组量相等,则它们所对应的其他各组量也 .相等 6.如图,AB是O的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出弧AC与弧BD的数量关系,并给予证明.解:弧AC与弧BD相等.连接OA,OB,则OAB=ABO.因为OA=OB,AE=BF,所以OAEOBF,即AOC=BOD, 即弧AC=弧BD专题三与圆有关的位置7.已知两个同心圆的圆心为O,半径分别是2和3,且2OP3,那么点P在 ( )A.小圆内B.大圆内C.小圆外大圆内D.大圆外8.在ABC中,C=90,AC=BC=4 cm,D是AB边的中点,以点A为圆心,4 cm为半径作圆,则A、B、C、D四点中,在圆内的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.矩形的两条邻边长分别为2.5和5,若以较长一边为直径作半圆,则矩形的各边与半圆相切的线段有( )A.0条 B.1条 C.2条 D.3条CBD10.如图,在平面直角坐标系中,以A(5,1)为圆心,以2个单位长度为半径的A交x轴于点B、C.解答下列问题:(1)将A向左平移个单位长度与y轴首次相切,得到A.此时点A的坐标为 ,阴影部分的面积S=;(2)求BC的长.【方法归纳交流】判断点和圆、直线和圆的位置关系,常转为两点间的距离、 与半径比较大小解决.3(2,1)6点到直线的距离 专题四切线的性质和判定解:(1)PD是O的切线.连接OD.ADB=90,DBA+DAB=90.OD=OA,DAO=ODA,ODA+DBA=90.DBA=PDA,PDA+ODA=90,ODPD,PD为O的切线.(2)BDE=60,ODB=30.OD=OB,ODB=OBD=30,DOP=60,DO=1,PO=2,PA=1.12.如图,AB是O的直径,C为圆周上一点,BD是O的切线,B为切点. (1)在图中,BAC=30,求DBC的度数. (2)在图中,BA1C=40,求DBC的度数. (3)在图中,BA1C=,求DBC的大小. (4)通过(1)、(2)、(3)的探究,你发现了什么?用自己的语言叙述你的发现.解:(1)30.(2)连接AC,根据(1)可得DBC=40.(3)连接AC,根据(1)可得DBC=.(4)在图中,BAC=DBC,在图,图中,CBD=BAC,由此可得:圆的切线与弦所成的角等于它所夹的弧所对的圆周角.13.如图,已知O的半径为1,DE是O的直径,过D点作O的切线,C点是AD的中点,AE交O于B点,四边形BCOE是平行四边形.(1)求AD的长;(2)BC是O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由.【方法归纳交流】题目条件中有圆的切线时,常连接过切点的 ,证明圆的切线时,切点已知,则连 ,证 ;切点未知,则作 ,证 .半径垂直半径垂直半径 专题五圆中的计算问题14.如图,PA、PB是O的切线,切点是A、B,已知P=60,OA=3,那么AOB所对弧的长度为 ( ) A.6 B.5 C.3 D.215.如图,从一个直径为43 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60的扇形ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面半径为dm.D116.如图所示的是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,水位线CD平行于直径AB,OECD于点E.(1)若水面距离洞顶最高处仅1 m,已测得水位线CD长为10 m,求半径OD;(2)根据设计要求,通常情况下,水位线CD与桥洞圆心O的夹角COD=120,此时桥洞截面充水面积是多少? (精确到0.1 m2,参考数据:3.14,31.73,21.41.)【方法归纳交流】圆中求阴影部分的面积,常转化为求 、 、平行四边形等的面积解决.扇形三角形