方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现(zixin)模方形镜共焦腔模式积分方程(fngchng)的精确解析解是长椭球函数（本征函数角向/本征值径向）；圆形镜共焦腔模式积分方程(fngchng)的精确解析解是超椭球函数在xa，ym+n，考虑到这一点后则有：第22页/共47页第二十二页，共48页。各阶横模的谐振频率属于同一横模的相邻两个(lin )纵模之间的频率间隔为圆形镜：第23页/共47页第二十三页，共48页。振幅分布(fnb)和光斑尺寸模体积等相位面的分布(fnb)远场发散角2.6 共焦腔行波场（共焦场）的特征共焦腔行波场（共焦场）的特征(tzhng)Emn(x,y,z)表示TEMmn模在腔内任意点(x,y,z)处的电场强度。是由腔的一个镜面上的场所产生的、并沿着(yn zhe)腔的轴线而传播的行波场。第24页/共47页第二十四页，共48页。主要针对基横模讨论，其对应(duyng)的行波的振幅为：对近轴的波面有zz0，则上式可写为：对基横模有Hm=Hn=H0=1，则对应(duyng)基横模的振幅可写为：第25页/共47页第二十五页，共48页。令则有：第26页/共47页第二十六页，共48页。共焦场基模的振幅在横截面内的分布由高斯函数(hnsh)所描述定义在振幅的1/e处的基模光斑尺寸(spot size)为 0s镜面(jn min)上基模的光斑半径一、振幅(zhnf)分布和光斑尺寸第27页/共47页第二十七页，共48页。腔中不同(b tn)位置处的光斑大小各不相同。在共焦腔镜面上， ，此时（又叫”镜面光斑半径”）在共焦腔的中心z=0处， (z)达到极小值高斯光束的基模腰斑半径(bnjng)(waist spot size)或高斯光束的束腰半径(bnjng) 第28页/共47页第二十八页，共48页。共焦场中基模光斑的大小(dxio)随着坐标z按双曲线 (hyperbolic) 规律变化图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化 基模光斑基模光斑(gungbn)半径半径 随随 z 按双曲线规律变化：按双曲线规律变化：第29页/共47页第二十九页，共48页。模体积：某一模式的模体积描述该模式在腔内所扩展的空间范围。模体积大，对该模式的振荡有贡献的激发态粒子数就多，因而，也就可能获得(hud)大的输出功率。基模往往集中在腔的轴线附近，模的阶次越高，展布的范围越宽估计共焦腔基模的模体积二、模体积(tj)第30页/共47页第三十页，共48页。在腔的轴线附近，共焦场的等相位面近似为球面(qimin)，与腔的轴线在z0点相交的等相位面的曲率半径为三、等相位(xingwi)面的分布第31页/共47页第三十一页，共48页。光束(gungsh)的波阵面（方形镜）1. 如图（3.3.1）所示，波阵面上的任何一点(y din)(x, y, z)的位相都等于(0,0,z0)点的位相，即：由于(yuy)只讨论近轴得情况，zz0，则上式可写为：图（3.3.1）空间场分布上式整理得：第32页/共47页第三十二页，共48页。令 ，则有： 2. 在近轴的情况下，对称共焦腔光束(gungsh)的波阵面近似为一系列其球心在腔轴上的球面，其半径为：当z00时，z-z00；而当z00时, z-z00 表明方形镜等位相面在近轴区域可看表明方形镜等位相面在近轴区域可看成半径为成半径为R0的球面的球面第33页/共47页第三十三页，共48页。1）当z00时，R0=，即共焦腔中心(zhngxn)的波阵面为垂直于腔轴的平面。2）当 时共焦腔的波阵面的半径相同(xin tn)，即共焦腔光束的波阵面在中心两侧是对称分布的。3）当 ，即共焦腔的两个反射镜面正好(zhngho)与光束在此两处的波阵面重合；也就是说镜面上的各点具有相同的位相。4）波阵面半径R0总是大于 ，即波阵面的曲率中心不会与腔心重合。又由看出， 越大， 越小。即波阵面离中心越远，其曲率中心离腔中心越近，如图(3.3.5)所示。第34页/共47页第三十四页，共48页。5）波阵面曲率(ql)半径R0随坐标z0的变化规律，如图（3.3.6）所示：图（3.3.6）R0-zz0 0曲线波阵面的分布(fnb)则示意于图(3.3.7)中。总结：共焦腔中的光束，好象是从腔轴上的一系列的“发光点”上发出的球面波，其波阵面对腔的中心具有(jyu)对称的分布。第35页/共47页第三十五页，共48页。等相位面是凹面向着腔的中心的球面，其曲率半径随坐标而变化，当z0 =f= L/2时，R(z0 )=2f=L，共焦腔反射镜面本身与场的两个等相位面重合；当z0 =0时， R(z0 )； z0 时， R(z0 ) 。共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面。在场的任意(rny)一个等相位面处放置一块具有相应曲率半径的反射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返回，共焦场分布将不会受到扰动第36页/共47页第三十六页，共48页。通常(tngchng)用发散角 （全角）来描述激光光束的发散程度：的即腔心处的光束是平行时，当,0200= =*qz发散(fsn)角？第37页/共47页第三十七页，共48页。 远场发散角 (全角) 定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角 共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量缀，它的方向性相当好.包含在发散角 内的功率占高斯基模光束总功率的86.5%。 由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。 四、远场发散(fsn)角即远场发散(fsn)角的角顶正好落在腔的中心。第38页/共47页第三十八页，共48页。对圆形镜共焦场行波特性的分析可按与方形镜同样的方法进行圆形镜与方形镜的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径(bnjng)及光束发散角都完全相同。第39页/共47页第三十九页，共48页。 对称共焦腔特点: R1=R2=L 球心位于另一个反射镜的中心 f=R1/2; 腔的中心为焦点 任意一个满足稳定性条件的球面(qimin)腔只可唯一地与一个共焦腔等价 任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面(qimin)腔等价共焦腔理论不仅能定理说明共焦腔振荡模本身特征，更重要的是能被推广到一般稳定球面(qimin)腔系统。2.82.8一般稳定球面腔的模式一般稳定球面腔的模式(msh)(msh)特征特征第40页/共47页第四十页，共48页。共焦腔模式理论可以推广到整个稳定球面腔系统任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔“等价”指具有相同的行波场。这种等价性深刻地揭示出各种稳定腔（共焦腔也是其中(qzhng)之一）之间的内在联系，使得可以利用共焦腔模式理论的研究结果来解析地表述一般稳定球面腔模的特征第41页/共47页第四十一页，共48页。X任意一个共焦腔与无穷(wqing)多个稳定球面腔等价X 思路：任一个共焦腔模有无穷(wqing)多个等相位面，可构成无穷(wqing)多个等价球面腔证明所有这些球面腔都是稳定腔X任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔X思路：由稳定球面腔的腔参数（R1、R2、L）可以唯一地解出一组数（z1、z2、f2），从而唯一地确定等价共焦腔第42页/共47页第四十二页，共48页。只有当所讨论的稳定腔的孔径足够(zgu)大，腔中的场集中在轴线附近时，本节的结论才是正确的当z1、z2、f2求出后，等价共焦腔就唯一(wi y)地确定了。Taking the mirror spacing as L= z2- z1, where z2 is to the right of z1.第43页/共47页第四十三页，共48页。将一般稳定球面腔的模式特征借助于其等价共焦腔行波场的特性而解析地表示(biosh)出来镜面上的光斑尺寸s1、s2由（R1、R2、L）求出唯一一组（z1、z2、f）后，代入式模体积等价性是以共焦腔等相位(xingwi)面的分布规律为依据的方形孔径(kngjng)第44页/共47页第四十四页，共48页。等相位面的分布R(z1)=R1、R(z2)=R2谐振频率(pnl)基模远场发散角方形镜圆形镜第45页/共47页第四十五页，共48页。衍射(ynsh)损耗共焦腔的模式理论证明：每一个横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数决定对稳定球面(qimin)腔以及与它等价的共焦腔而言，由于它们的行波场结构完全相同，而且反射镜面都构成场的等相位面，因此，它们的衍射损耗应该遵从相同的规律。定义稳定球面(qimin)腔的有效菲涅耳数对一般稳定球面(qimin)腔，每一个反射镜对应着一个有效菲涅耳数，然后按共焦腔的单程衍射损耗曲线查得一般稳定球面(qimin)腔的损耗值第46页/共47页第四十六页，共48页。第二章-4开腔(kiqing)模式谢谢大家(dji)观赏！第47页/共47页第四十七页，共48页。内容(nirng)总结方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模。共焦腔基模在镜面上的光斑大小与镜的横向几何尺寸无关，只决定于腔长。对厄米特高斯函数(hnsh)，高阶横模的光斑尺寸定义为其坐标均方差的四倍。如图(3.1.2)，镜面S1的场分布造成的行波为：。3. 对于腔外的光场就是行波函数(hnsh)乘以镜面的投射率t。定义在振幅的1/e处的基模光斑尺寸(spot size)为。对圆形镜共焦场行波特性的分析可按与方形镜同样的方法进行。谢谢大家观赏第四十八页，共48页。