2一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数3复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数二、内容提要二、内容提要41.1.复数列复数列记作记作5表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和2.2.复数项级数复数项级数1) 定义定义62) 复级数的收敛与发散复级数的收敛与发散充要条件充要条件必要条件必要条件7非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛8称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和3.复变函数项级数复变函数项级数其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 94. 幂级数幂级数 1) 在复变函数项级数中在复变函数项级数中, 形如形如的级数称为的级数称为幂级数幂级数.10-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数在在收敛收敛,那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2)2)收敛定理收敛定理11(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.此时此时, 级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.3)3)收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除外都发散外都发散.12在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径13方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法4)4)收敛半径的求法收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径145)5)幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质15如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,(2)(2)幂级数的代换幂级数的代换( (复合复合) )运算运算复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为那末那末是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数即即(1)16(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 即即(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 即即或或175. 泰勒级数泰勒级数其中其中泰勒级数泰勒级数 1)定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,时时,成立成立,当当182)常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式1920 6. 洛朗级数洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数为洛朗系数.1)21函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数. 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的幂项的级数是唯一的, 这就是这就是 f (z) 的洛朗级数的洛朗级数. 22根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .(2) 间接展开法间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法将函数展为洛朗级数的方法(1) 直接展开法直接展开法23三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解发散，发散，收敛，收敛，24三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解25解解收敛收敛收敛收敛三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.26解解 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知绝对收敛绝对收敛.三、典型例题三、典型例题例例1 1 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.27例例2 2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径解解2829例例3 3 展开函数展开函数 成成 的幂级数到的幂级数到 项项.解解由此得由此得所以所以解析函数展为幂级数的方法解析函数展为幂级数的方法利用定义来求利用定义来求.30分析：分析：采用间接法即利用已知的展开式来求采用间接法即利用已知的展开式来求.解解例例4 4 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.31由于由于32例例5 5分析：分析：利用级数的乘除运算较为简单利用级数的乘除运算较为简单.解解故乘积也绝对收敛故乘积也绝对收敛.33例例6 6设设又又由泰勒展式的唯一性由泰勒展式的唯一性,又又所以所以解解 利用待定系数法利用待定系数法34比较两端系数得比较两端系数得35例例7 7分析：分析：利用逐项求导、逐项积分法利用逐项求导、逐项积分法.解解所以所以36例例8 8解解 利用微分方程法利用微分方程法 对上式求导得对上式求导得37由此可得由此可得故故38例例9 9分析分析:利用部分分式与几何级数结合法利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数即把函数分成部分分式后分成部分分式后, 应用等比级数求和公式应用等比级数求和公式.解解39故故两端求导得两端求导得4041例例1010解解42例例1111解解有有4344 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的是不同的.45解解例例121246放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .