利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值一、复习与引入一、复习与引入:利用函数的导数来研究利用函数的导数来研究函数函数y=f(x)的单调性的单调性这个问题这个问题.其基本的步骤为其基本的步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数f (x) ;解不等式解不等式f (x)0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间; 解不等式解不等式f (x) 0; x0的右侧附近的右侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数, 即即f (x) 0.oaX0bxy 同理同理, 如上图所示如上图所示,若若x0是是f(x)极小值点极小值点,则在则在x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数, 即即f (x) 0. 一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时, 判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是: (1) 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f (x) 0, 右侧右侧f (x) 0, 那么那么, f(x0)是是极大值极大值; (2) 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x) 0, 那么那么, f(x0)是是极小值极小值.例例1已知函数已知函数y= x34x+4，（1）求函数的极值，并画出函数的大致）求函数的极值，并画出函数的大致图象；图象；（2）求函数在区间）求函数在区间3，4上的最大值和上的最大值和最小值最小值解：（解：（1）y=( x34x+4)=x24 =(x+2)(x2) 令令y=0，解得，解得x1=2，x2=2x2(2,2)2y+00+y 极大值极大值 极小值极小值 当当x变化时，变化时，y，y的变化情况如下表的变化情况如下表:当当x=2时，时，y有极大值且有极大值且y极大值极大值= 当当x=2时，时，y有极小值且有极小值且y极小值极小值=（2）f(3)=7，f(4)=9 = ， 与极值点的函数值比较得到该函数在区与极值点的函数值比较得到该函数在区间间3，4上上 最大值是最大值是9 ， 最小值是最小值是如何求函数的最大（小）值呢？如何求函数的最大（小）值呢？ 假设假设y=f(x)在闭区间在闭区间a，b上的图象是上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b一定能够取得最大值与最小值，函数的一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使内的极值只可能在使f (x)=0的点取得，因此把函数在区间端点的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使的值与区间内使f (x)=0的点的值作比较，的点的值作比较，最大者必为函数在最大者必为函数在a，b上的最大值，最上的最大值，最小者必为最小值。小者必为最小值。 求函数求函数y=f(x)在在a，b的的最大（小）值最大（小）值步骤如下：步骤如下： （1）求函数）求函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内所有内所有使使f (x)=0的点；的点； （2）计算函数）计算函数f(x)在区间内使在区间内使f (x)=0的的所有点和端点的函数值，其中最大的一个所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。为最大值，最小的一个为最小值。例2下列命题，真命题的个数为（下列命题，真命题的个数为（ ）函数函数 不存在极值点；不存在极值点；x=0=0是函数是函数y=|=|x| |的极小值点的极小值点x=0=0不是不是y= =x3 3的极值点的极值点函数函数 不存在极值点；不存在极值点；A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3D练习练习1、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（ ）A.可导函数必有极值可导函数必有极值B.函数在极值点一定有定义函数在极值点一定有定义C.函数的极小值不会超过极大值函数的极小值不会超过极大值D.函数在极值点处的导数一定存在函数在极值点处的导数一定存在B练习练习2若函数若函数y=x3+ax2bx27在在x=3时有极大值，在时有极大值，在x=1时有极小值，则时有极小值，则a= ；b= .39例例3:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有处有极值为极值为10,求求a、b的值的值.例例3:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或当当a=-3,b=3时时, ,此时此时f(x)在在x=1处无处无极值极值,不合题意不合题意.当当a=4,b=-11时时,-3/11x1时时, ,此时此时x=1是极是极值点值点.从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.谢谢 谢谢