船舶与海洋工程学院第二章第二章 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.1 概述2.1 概述概述 连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算 在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是从数值积分的角度出发，没有明确提出从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散这个概念离散这个概念仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.1 概述1. 相似原理相似原理 其中其中u(t)为输入变量，为输入变量，y(t)为系统变量；令仿真时为系统变量；令仿真时时间隔为时间隔为h，离散化后的输入变量为，离散化后的输入变量为 系统变量为系统变量为 其中其中表示表示 t=nh 设系统模型为设系统模型为假如假如 即即 （对所有（对所有n=0,1,2,n=0,1,2,） 则可认为两模型等价则可认为两模型等价仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.1 概述仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.1 概述2. 对仿真建模方法三个基本要求：对仿真建模方法三个基本要求：（1 1稳定性：不改变原系统的稳定性稳定性：不改变原系统的稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的的 若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的稳定的（2 2准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是： 绝对误差准则：绝对误差准则：相对误差准则：相对误差准则： 其中其中 规定精度的误差量规定精度的误差量仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.1 概述（3 3快速性：若第快速性：若第n n步计算所对应的系统时间间隔为步计算所对应的系统时间间隔为3. 3. 数值积分算法：数值积分算法：计算机由计算机由 计算计算 需要的时间为需要的时间为T nT n，假设，假设 T n=h n T n=h n 称为实时仿真称为实时仿真T n T n h n h n 称为超实时仿真称为超实时仿真 T n T n h n h n 称为亚实时仿真称为亚实时仿真 对对 ，已知系统变量，已知系统变量 的初始条件的初始条件 求求 随时间变化的过程随时间变化的过程初值问题初值问题 仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.1 概述计算过程：由初始点计算过程：由初始点 的的 仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法2 .2 数值积分法数值积分法2.2.1 欧拉法欧拉法仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真节点间距节点间距 为步长，通常为步长，通常可采用等距节点，即取可采用等距节点，即取 hi = h hi = h ( (常数常数) )。2.2 数值积分法要计算出解函数要计算出解函数 y(x) y(x) 在一系列节点在一系列节点 a = x0 x1 a = x0 x1 xn= b xn= b 处的近似值处的近似值 1. 欧拉公式：向前差商近似导数向前差商近似导数记为记为计算计算yn+1yn+1时时 , , 只用到前一步的结果只用到前一步的结果yn , yn , 因此属于单步法因此属于单步法x0x1仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真其实质如图所示其实质如图所示, , 用折线来近似实际的曲线用折线来近似实际的曲线2.2 数值积分法EulerEuler方法的几何体现方法的几何体现仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真定义：若某算法的局部截断误差为定义：若某算法的局部截断误差为O(hp+1)O(hp+1)，则称该算法有，则称该算法有p p 阶精度阶精度2.2 数值积分法定义：在假设定义：在假设 yi = y(xi) yi = y(xi)，即第，即第 i i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = Ri = y(xi+1) y(xi+1) yi+1 yi+1 称为局部截断误差称为局部截断误差 /* local truncation error */ /* local truncation error */。欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差： 定义：定义：欧拉法具有欧拉法具有 1 1 阶精度阶精度仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真1.1 引言仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真（1 1隐式欧拉法隐式欧拉法 /* implicit Euler method */ /* implicit Euler method */2.2 数值积分法2. 欧拉公式的改进：欧拉公式的改进：用向后差商近似导数用向后差商近似导数由于未知数由于未知数 yi+1 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* /* implicit */ implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ /* explicit */ 欧拉公式欧拉公式一般先用显式计算一个初值，再迭代求解一般先用显式计算一个初值，再迭代求解 隐式欧拉法的局部截断误差：隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有即隐式欧拉公式具有 1 1 阶精度阶精度)(,()(1101xyxfhyxy+ + )1,., 0(),(111 = =+ += =+ + + +niyxfhyyiiiix0x1仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真（3 3） 中点欧拉公式中点欧拉公式 /* midpoint formula */ /* midpoint formula */2.2 数值积分法（2 2） 梯形公式梯形公式 /* trapezoid formula /* trapezoid formula 显、隐式两种算法的平均显、隐式两种算法的平均中心差商近似导数中心差商近似导数注：注： 即梯形公式具有即梯形公式具有2 2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。公式相似。假设假设 ，则可以导出，则可以导出 即中点公式具有即中点公式具有 2 阶精度。阶精度。仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法比较：比较：方方 法法 显式欧拉显式欧拉隐式欧拉隐式欧拉梯形公式梯形公式中点公式中点公式简单简单精度低精度低稳定性最好稳定性最好精度低精度低, 计算量大计算量大精度提高精度提高计算量大计算量大精度提高精度提高, 显式显式多一个初值多一个初值, 可能影响精度可能影响精度仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法3 改进的欧拉法改进的欧拉法 /* modified Eulers method */Step 2: 再将再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+ +iy),(),(2111+ + + + + += =iiiiiiyxifyixifhyiy此法亦称为预测此法亦称为预测- -校正法校正法 /* predictor-corrector method */ /* predictor-corrector method */。可以证明该算法。可以证明该算法具有具有 2 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。它的稳定性高于显式欧拉法。它的稳定性高于显式欧拉法。Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyixifhyiy+ += =+ +仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真 收敛性收敛性 /* Convergency */2.2 数值积分法4 收敛性收敛性 /* Convergency */定义：若某算法对于任意固定的定义：若某算法对于任意固定的 x = xi = x0 + i h x = xi = x0 + i h，当，当 h h0 ( 0 ( 同时同时 i i ) ) 时有时有 yi yi y( xi ) y( xi )，则称该算法是收敛的。，则称该算法是收敛的。例：就初值问题例：就初值问题 考察欧拉显式格式考察欧拉显式格式的收敛性。的收敛性。解：该问题的精确解为解：该问题的精确解为 欧拉公式为欧拉公式为对任意固定的对任意固定的 x = xi = i h ，有，有 仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法例例1.1.解解: :由前进由前进Euler公式公式用用公式求初值问题公式求初值问题显然显然取取仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法得得 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法用用EulerEuler公式的预测公式的预测校正系统求解例校正系统求解例1 1例2解:由预测校正公式由预测校正公式, ,有有仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法依此类推依此类推, ,得得 0 1.0000 0.1000 1.0918 0.2000 1.1763 0.3000 1.2546 0.4000 1.3278 0.5000 1.3964 0.6000 1.4609 0.7000 1.5216 0.8000 1.5786 0.9000 1.6321 1.0000 1.6819仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真考虑改进考虑改进EulerEuler法法2.2 数值积分法2.2.2 Runge-Kutta法法-(1)仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真梯形公式具有梯形公式具有2 2阶精度阶精度2.2 数值积分法改进改进EulerEuler法是由梯形公式和法是由梯形公式和EulerEuler公式复合而成公式复合而成同样可以证明同样可以证明, ,改进改进EulerEuler法也具有法也具有2 2阶精度阶精度形如形如(1)(1)式的求解公式称为二阶式的求解公式称为二阶Runge-KuttaRunge-Kutta法法对于对于SimpsonSimpson求解公式：求解公式：这是隐式多步法这是隐式多步法选取适当的显化方法选取适当的显化方法, ,可得类似可得类似(1)(1)的高阶的高阶Runge-KuttaRunge-Kutta方方法法以下使用中值定理进行推导以下使用中值定理进行推导仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真对于常微分方程的初值问题对于常微分方程的初值问题2.2 数值积分法一、一、Runge-KuttaRunge-Kutta方法的导出方法的导出的解的解即即仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法-(3)引入记号引入记号就可得到相应的就可得到相应的Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法-(4)即即(4)(4)式式仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法二、低阶二、低阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法如下图如下图即即那么那么(4)(4)式化为式化为即即EulerEuler方法方法EulerEuler方法也称为一阶方法也称为一阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法由于由于-(5)仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法(由由(5)式式)令令那么那么(4)式化为式化为仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法-(6)和和(1)式一致式一致,即改进即改进Euler公式公式,也称为二阶也称为二阶Runge-Kutta法法仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法三、高阶三、高阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法未知未知仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法令令令令参照参照SimpsonSimpson求解公式求解公式仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法取取那么那么4 4式化为式化为-(7)(7)(7)式称为三阶式称为三阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法因而因而-(8)-(9)比较比较(7)(7)、(8)(8)两式两式, ,可知可知因而三阶因而三阶R-KR-K方法方法7 7具有具有3 3阶精度阶精度仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法类似于类似于(7)(7)式式, ,还可构造四阶还可构造四阶( (经典经典)Runge=Kutta)Runge=Kutta方法方法-(10)因而方法因而方法(10)(10)有有4 4阶精度阶精度仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法例例1. 1. 使用高阶使用高阶R-KR-K方法计算初值问题方法计算初值问题解解: :(1) (1) 使用三阶使用三阶R-KR-K方法方法 (7) (7)RK.m仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法其余结果如下其余结果如下: :(2) (2) 如果使用四阶如果使用四阶R-KR-K方法方法(10)(10) n x n k1 k2 k3 y n 1.0000 0.1000 1.0000 1.1025 1.2555 1.1111 2.0000 0.2000 1.2345 1.3755 1.5945 1.2499 3.0000 0.3000 1.5624 1.7637 2.0922 1.4284 4.0000 0.4000 2.0404 2.3423 2.8658 1.6664 5.0000 0.5000 2.7768 3.2587 4.1634 1.9993仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法其余结果如下其余结果如下: : n x n k1 k2 k3 k4 y n 1.0000 0.1000 1.0000 1.1025 1.1133 1.2351 1.1111 2.0000 0.2000 1.2346 1.3756 1.3921 1.5633 1.2500 3.0000 0.3000 1.5625 1.7639 1.7908 2.0423 1.4286 4.0000 0.4000 2.0408 2.3428 2.3892 2.7805 1.6667 5.0000 0.5000 2.7777 3.2600 3.3476 4.0057 2.0000仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.1 概述仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介一、常微分方程组的数值解法一、常微分方程组的数值解法下列包含多个一阶常微分方程的初值问题下列包含多个一阶常微分方程的初值问题称为常微分方程组的初值问题称为常微分方程组的初值问题-(1)仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真(1)(1)式具有式具有n n个未知函数个未知函数做如下假设做如下假设那么那么(1)(1)式化为矩阵形式式化为矩阵形式-(2)2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真只要将以前所介绍的各种求解方法中的函数转化为函数向量只要将以前所介绍的各种求解方法中的函数转化为函数向量, ,即可得到相应的即可得到相应的常微分方程组的数值解法常微分方程组的数值解法这里只介绍求解微分方程组的计算机实现这里只介绍求解微分方程组的计算机实现x,Y = ODE45(F,xspan,Y0)首先编制微分方程组的函数文件：首先编制微分方程组的函数文件：function z=F(x,Y) z=F(x,Y);然后使用求解命令然后使用求解命令ode45ode45F F为微分方程组的文件名为微分方程组的文件名xspanxspan为需求值的节点向量为需求值的节点向量Y0Y0为函数向量的初值为函数向量的初值x x为自变量，为自变量，Y Y为函数值矩阵为函数值矩阵2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真例例1.1.求解微分方程组求解微分方程组解解: :首先编制微分方程组的首先编制微分方程组的m m文件文件function z=fun(x,y)z(1)=x-y(1)+2*y(2);z(2)=2*x-3*y(1)-5*y(2);z=z;再编写求解程序再编写求解程序2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.2 数值积分法xspan=0:0.1:2;y0=0,1.5;x,y=ode45(fun,xspan,y0)plot(x,y)运行运行后得后得仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真二、高阶常微分方程的数值解法简介二、高阶常微分方程的数值解法简介例例2. 求下列高阶微分方程的数值解求下列高阶微分方程的数值解解解: :显然显然假设假设那么那么2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真即高阶问题化为微分方程组的初值问题即高阶问题化为微分方程组的初值问题Gaojiefangcheng.mgaojie.mfunction z=gaojie(x,y)z=y(2);y(3);y(1)*y(2)+3*y(3);2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真 x y 0 0 0.1000 0.0945 0.2000 0.1754 0.3000 0.2381 0.4000 0.2765 0.5000 0.2822 0.6000 0.2436 0.7000 0.1451 0.8000 -0.0342 0.9000 -0.3230 1.0000 -0.7586function gaojiefangcheng()xspan=0:0.1:1;y0=0,1,-1;x,y=ode45(gaojie,xspan,y0);x,y(:,1)plot(x,y(:,1)xlabel(x)ylabel(y)2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.3 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法简介仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法2.4 阿达姆斯法阿达姆斯法基本思想：在计算基本思想：在计算yn+1yn+1时，充分利用前面求出的若干点值时，充分利用前面求出的若干点值yn , yn-1 , yn-2 yn , yn-1 , yn-2 , yn-3 , , yn-3 , ）的信息，以期提高计算精度。的信息，以期提高计算精度。设一阶常微分方程设一阶常微分方程y y(t)=ft,y(t), (t)=ft,y(t), 其初始条件为：其初始条件为：y(t)|t=0=y(0)=y0y(t)|t=0=y(0)=y0将方程两端从将方程两端从tntn到到tn+1tn+1求积，得：求积，得：仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法 根据导数根据导数ft,y(t)ft,y(t)在在tn, tn-1, tn-2, tn-3tn, tn-1, tn-2, tn-3时的值，构造一个三次插值时的值，构造一个三次插值多项式多项式t t），用于替代），用于替代f t , y(t) f t , y(t) 其中：其中：仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法具有以下特性：具有以下特性：积分式可近似写为：积分式可近似写为：仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法作变换：作变换：t=t n +xh t=t n +xh ；由于：；由于： t - t n-3= t - t n+ t n t - t n-3= t - t n+ t n t n-3=h (x+3), t t n-3=h (x+3), t t n-2 = h (x+2), t t n-2 = h (x+2), t t n-1=h(x+1) t n-1=h(x+1) ，可以得出：可以得出：仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法进一步可得：进一步可得：四阶阿达姆斯显式公式，也称外推公式。四阶阿达姆斯显式公式，也称外推公式。若用若用ft,y(t)ft,y(t)在在tn+1 ,tn,tn-1,tn-2tn+1 ,tn,tn-1,tn-2时的值作插值多项式，可得：四阶阿达姆时的值作插值多项式，可得：四阶阿达姆斯隐式公式，也称内推公式。斯隐式公式，也称内推公式。仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法根据插值理论，可以得出它们的截断误差分别为：根据插值理论，可以得出它们的截断误差分别为：显式公式：显式公式：隐式公式：隐式公式：截断误差均为步长截断误差均为步长h h的的5 5次方幂，具有次方幂，具有4 4阶精度，与阶精度，与4 4阶龙格阶龙格- -库塔法相同。库塔法相同。k k阶阿达姆斯公式的一般形式为：阶阿达姆斯公式的一般形式为：显式：显式：隐式：隐式：仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法阿达姆斯系数表阿达姆斯系数表隐式隐式 显式显式仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.4 阿达姆斯法阿达姆斯公式的特点：阿达姆斯公式的特点： 对于显式公式，每次只需计算一次右端函数；对于显式公式，每次只需计算一次右端函数； 对于隐式公式，每次只需计算二次右端函数；对于隐式公式，每次只需计算二次右端函数； 且均与阶数无关，因而计算效率较高。且均与阶数无关，因而计算效率较高。 不能自启动，计算过程中改变步长困难。不能自启动，计算过程中改变步长困难。阿达姆斯预报阿达姆斯预报- -校正公式：校正公式：原理：显式预报，隐式校正。原理：显式预报，隐式校正。4 4阶预报阶预报- -校正公式如下：校正公式如下：仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.5 误差分析、收敛性和稳定性2.5 误差分析、收敛性和稳定性误差分析、收敛性和稳定性2.5.1误差分析误差分析整体截断误差：从初始值开始整体截断误差：从初始值开始, ,由某个近似数值计算方法经由某个近似数值计算方法经n+1n+1步准确计算不含步准确计算不含舍入误差的解舍入误差的解 , ,微分方程的真解微分方程的真解 与与 之差。之差。舍入误差：从初始值开始舍入误差：从初始值开始, ,由某个近似数值计算方法经由某个近似数值计算方法经n+1n+1步计算，得出的实际值步计算，得出的实际值 与该计算方法的真解与该计算方法的真解 之差。之差。数值积分法求解常微分方程的初值问题时，数值解数值积分法求解常微分方程的初值问题时，数值解 与真解与真解 的误差由整体截断误差和舍入误差两部分组成，即的误差由整体截断误差和舍入误差两部分组成，即仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.5 误差分析、收敛性和稳定性2.5.2 收敛性收敛性定义定义: :一种数值积分格式一种数值积分格式, ,若对于任意固定的若对于任意固定的t n=t0+nh,t n=t0+nh,当当h0h0同时同时nn）时，由它在假定不作舍入误差的情况下求得的时，由它在假定不作舍入误差的情况下求得的y n y (t n)y n y (t n)，则称这种积分，则称这种积分格式是收敛的。格式是收敛的。对于一般的单步法，数值积分格式为：对于一般的单步法，数值积分格式为：定理：假定单步法如上式具有定理：假定单步法如上式具有p p阶精度，且增量函数阶精度，且增量函数(t,y,h)(t,y,h)关于关于y y满足满足李普希兹条件李普希兹条件 : :非负常数非负常数又设初始值又设初始值y0 y0 是准确的，则整体截断误差：是准确的，则整体截断误差：y(t n )-yn=O( h p)y(t n )-yn=O( h p)仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.5 误差分析、收敛性和稳定性仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真结论结论: (1): (1)整体截断误差比局部截断误差低一阶；整体截断误差比局部截断误差低一阶； (2) (2)单步法是否收敛，判断其增量函数关于单步法是否收敛，判断其增量函数关于y y是否满足李普希兹条件。是否满足李普希兹条件。例：假定微分方程的右端函数关于例：假定微分方程的右端函数关于y y满足李普希兹条件，验证四阶龙格满足李普希兹条件，验证四阶龙格- -库塔法库塔法收敛。收敛。2.5 误差分析、收敛性和稳定性仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.5 误差分析、收敛性和稳定性仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.5.2 稳定性稳定性2.5 误差分析、收敛性和稳定性仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真对于模型方程对于模型方程对于模型方程对于模型方程欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式Z Z Z Z变换变换变换变换 特征方程特征方程特征方程特征方程欧拉公式的稳定条件：特征方程的根处于单位圆内，即欧拉公式的稳定条件：特征方程的根处于单位圆内，即欧拉公式的稳定条件：特征方程的根处于单位圆内，即欧拉公式的稳定条件：特征方程的根处于单位圆内，即设原微分方程的特征根设原微分方程的特征根设原微分方程的特征根设原微分方程的特征根 = = = = +j+j+j+j 2.5 误差分析、收敛性和稳定性仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真 稳定区域稳定区域若原微分方程是稳定的，计算公式的稳定还要依赖于原微分方程的特征根若原微分方程是稳定的，计算公式的稳定还要依赖于原微分方程的特征根 和和步长步长h h。设原微分方程的时间常数为设原微分方程的时间常数为T T，即，即步长步长 h 2T h 2T。原微分方程是稳定的，采用欧拉公式计算是条件稳定。原微分方程是稳定的，采用欧拉公式计算是条件稳定。采用梯形公式是恒稳定的，采用采用梯形公式是恒稳定的，采用RK-4RK-4是条件稳定的。是条件稳定的。2.5 误差分析、收敛性和稳定性仿真技术基础仿真技术基础 数值积分法的系统仿真数值积分法的系统仿真2.5 误差分析、收敛性和稳定性应用技巧：应用技巧： 用两个显著不同的步长去计算，若所得数值结果基本相同，用两个显著不同的步长去计算，若所得数值结果基本相同，则该数值积分方法一般是稳定的；反之，很可能该数值积分方法则该数值积分方法一般是稳定的；反之，很可能该数值积分方法不稳定。不稳定。