提问：数值分析是做什么用的？提问：数值分析是做什么用的？这门课程的主要内容是研究使用计算机这门课程的主要内容是研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法，求解各种数学问题的数值方法，( (要求要求方法能在计算机上实行，计算机只能方法能在计算机上实行，计算机只能做加减乘除和逻辑运算做加减乘除和逻辑运算) )对求得解的精对求得解的精度进行评估，以及如何在计算机上实度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。现求解等。9/16/20241 Wuhan University Confidential计算方法计算方法提出问题提出问题方法方法可行可行计算机计算机近似解近似解9/16/20242 Wuhan University Confidential方法可行性分析包含以下内容：方法可行性分析包含以下内容：1.1.计算速度。计算速度。 例例 如如, ,求解一个求解一个20 20 阶线性方阶线性方 程组程组, ,用消元法需用消元法需3000 3000 次乘法运次乘法运 算算; ;而用克莱姆法则要进行而用克莱姆法则要进行2020 10 7 . 9 10 7 . 9 次运算次运算, ,如用每秒如用每秒1 1 亿次乘法运算亿次乘法运算的计算机要的计算机要30 30 万年。万年。2.2.存储量。存储量。 大型问题有必要考虑。大型问题有必要考虑。3.3.精度。精度。9/16/20243 Wuhan University Confidential误差来源误差来源模型误差模型误差方法误差方法误差观测误差观测误差舍入误差舍入误差9/16/20244 Wuhan University Confidential来源一来源一 : 模型误差模型误差 模型误差模型误差: :在建立数学模型过程中在建立数学模型过程中, ,不可能将不可能将所有因素均考虑所有因素均考虑, ,必然要进行必要的简化必然要进行必要的简化, ,这这就带来了与实际问题的误差。就带来了与实际问题的误差。 9/16/20245 Wuhan University Confidential来源二来源二: 观测误差观测误差测量工具精度与测量方法限制测量工具精度与测量方法限制9/16/20246 Wuhan University Confidential来源三来源三:方法误差（截断误差方法误差（截断误差) 计算方法本身的原因计算方法本身的原因若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差9/16/20247 Wuhan University Confidential来源四来源四: 舍入误差舍入误差计算机长有限 注意注意: :少量运算的舍入误差一般是微不足道的少量运算的舍入误差一般是微不足道的, ,但是但是 在计算在计算 机上完成千白万次运算后机上完成千白万次运算后 误差的积累很惊人误差的积累很惊人.9/16/20248 Wuhan University Confidential 上述几种误差都会影响计算结果的精确性上述几种误差都会影响计算结果的精确性, ,因因而了解和研究这些误差对数值计算是有帮助而了解和研究这些误差对数值计算是有帮助的的. .但是研究前俩种误差对计算结果的影响但是研究前俩种误差对计算结果的影响往往不是计算工作者所能独立完成的往往不是计算工作者所能独立完成的, ,所以所以我们一般只研究截断误差和舍我们一般只研究截断误差和舍入误差对计算入误差对计算结果的影响结果的影响. .这俩种误差在数值计算中会产这俩种误差在数值计算中会产生什么样的影响生什么样的影响? ?这是我们这门课要重视的这是我们这门课要重视的问题问题. . Weshouldthinkmuchoftheinfluenceofthesefourerrors!9/16/20249 Wuhan University Confidential误差的表示方法误差的表示方法绝对误差绝对误差限绝对误差绝对误差限相对误差相对误差限相对误差相对误差限有效数字有效数字9/16/202410 Wuhan University Confidential绝对误差（限）绝对误差（限）定定义义：准准确确值值 x, x, 近近似似值值 x*, x*, 则则e*= e*= x*- x*- x x 称称为为近近似似值值x* x* 的绝对误差，简称误差。的绝对误差，简称误差。注意：误差可正可负，有量纲（有效数字后面举例）。注意：误差可正可负，有量纲（有效数字后面举例）。定义：定义： |x*-x|*|x*-x|*，*绝对误差限。绝对误差限。例例: :e-2.718=0.00028180.0003 e-2.718=0.00028180.0003 9/16/202411 Wuhan University ConfidentialOfcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.9/16/202412 Wuhan University Confidential相对误差相对误差(限限) 定义定义: : 为近似值为近似值x* x* 的相对误差的相对误差. . 经常用经常用 代替相对误差代替相对误差 （ 条件是条件是 较小较小 ） 为相对误差限为相对误差限 注意注意: :相对误差比绝对误差更能反映出误差的特征相对误差比绝对误差更能反映出误差的特征, ,因此在误差分析中因此在误差分析中, ,相对误差比绝对误差更重要相对误差比绝对误差更重要. .9/16/202413 Wuhan University Confidential有效数字有效数字在实际应用中当准确数在实际应用中当准确数 的位数很多时的位数很多时, , 我们我们常用四舍五入的办法来减少位数得到它的近常用四舍五入的办法来减少位数得到它的近似数似数. .如如 若按四舍五入原则若按四舍五入原则分别取四位和五位小数时分别取四位和五位小数时, , 则得则得 其绝对误差不超过末位数的半个单位其绝对误差不超过末位数的半个单位, , 即即9/16/202414 Wuhan University Confidential若近似值若近似值 的误差限是其某一位上的误差限是其某一位上的半个单位时的半个单位时, ,我们就称其准确到这我们就称其准确到这一位一位, ,且从该位起直到左起第一位非且从该位起直到左起第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数零数字为止的所有数字都称为有效数字字. .抽象为数学语言为抽象为数学语言为9/16/202415 Wuhan University Confidential用科学计数法，记用科学计数法，记 （其中（其中 ）。若）。若 则称则称x* x* 有有n 位有效数字。位有效数字。注：注：注：注：0.23000.2300有有有有4 4位有效数字，而位有效数字，而位有效数字，而位有效数字，而0.230.23只有只有只有只有2 2位有效数字位有效数字位有效数字位有效数字。数字末尾的数字末尾的数字末尾的数字末尾的0 0不可随意省去！不可随意省去！不可随意省去！不可随意省去！定义 9/16/202416 Wuhan University Confidential例例 考察三位有效数字重力加速度g,若以m/s2为单位, g9.80m/s2, 若以km/s2为单位, g0.00980km/s2,9/16/202417 Wuhan University Confidential 有效数字与相对误差的关系有效数字与相对误差的关系有效数字有效数字相对误差限相对误差限已知已知x*有有n 位位有效数字有效数字，则其，则其相对误差限相对误差限为为相对误差限相对误差限有效数字有效数字已知已知x*的的相对误差限相对误差限可写为可写为则则可见可见x*至少至少有有n 位位有效数字有效数字。9/16/202418 Wuhan University Confidential说明:在计算过程中尽量不要损失有效数字9/16/202419 Wuhan University Confidential例例: ,: ,它的相对误差限是多少它的相对误差限是多少? ?例例: :为了使为了使 的近似数的相对误差不超过的近似数的相对误差不超过 , ,问至少要取多少位有效数字问至少要取多少位有效数字. . n=4n=49/16/202420 Wuhan University Confidential 数值运算的误差估计数值运算的误差估计9/16/202421 Wuhan University Confidential9/16/202422 Wuhan University Confidential 例例 设设x 3 x 3 的相对误差为的相对误差为2%2%，求，求 x x 的相对的相对误差误差 解解 9/16/202423 Wuhan University Confidential例例9/16/202424 Wuhan University Confidential误差危害的防止（二）9/16/202425 Wuhan University Confidential遵循的原则遵循的原则选择稳定的计算公式选择稳定的计算公式避免俩近似数相减避免俩近似数相减绝对值太小的数不宜作除数绝对值太小的数不宜作除数防止大数吃掉小数的运算防止大数吃掉小数的运算简化计算公式简化计算公式 减少运算次数减少运算次数9/16/202426 Wuhan University Confidential一、选择稳定的计算公式一、选择稳定的计算公式 例例 计算积分计算积分解解 利用分部积分得利用分部积分得9/16/202427 Wuhan University Confidential 得到计算公式得到计算公式Whathappened?!9/16/202428 Wuhan University ConfidentialWejustgotlucky?9/16/202429 Wuhan University Confidential（一）（一）、病态问题与条件数、病态问题与条件数 对一个数值问题，如果输入的数据有微小扰动（误差），引起输出数据（解）相对误差很大，称为病态问题。9/16/202430 Wuhan University Confidential二、避免俩相近数相减二、避免俩相近数相减原因原因: :损失有效数字损失有效数字 例例: :Howtoavoidthisproblem?9/16/202431 Wuhan University Confidential例例例例9/16/202432 Wuhan University Confidential有些计算若无法改变算式有些计算若无法改变算式, , 可采用增加有效数可采用增加有效数字位数再进行计算字位数再进行计算; ;或在计算机上用双倍字长或在计算机上用双倍字长运算运算, , 但这必须以增加机时和多占内存单元为但这必须以增加机时和多占内存单元为代价代价. .例例9/16/202433 Wuhan University Confidential经验性避免方法：经验性避免方法：9/16/202434 Wuhan University Confidential三、绝对值太小的数不宜作除数三、绝对值太小的数不宜作除数 若用很小的数作除数机器可能溢出停机若用很小的数作除数机器可能溢出停机, , 而且当很小的而且当很小的数有一点误差时数有一点误差时, , 对计算结果影响很大对计算结果影响很大. .例例Whatabigerror!9/16/202435 Wuhan University Confidential四、防止大数吃掉小数四、防止大数吃掉小数例例Remembertoavoidthisphenomenon!9/16/202436 Wuhan University Confidential五、简化计算公式五、简化计算公式, 减少运算次数减少运算次数例例 Whatagoodmethod!9/16/202437 Wuhan University Confidential15次乘法运算而不是255次9/16/202438 Wuhan University Confidential 构造数值算法的基本思想构造数值算法的基本思想构造数值算法的基本思想构造数值算法的基本思想 近似替代近似替代, ,离散化离散化, ,递推化递推化, ,校正，非线性方程线性化，加校正，非线性方程线性化，加权平均。权平均。1 1、近似替代、近似替代9/16/202439 Wuhan University Confidential2 2、离散化、离散化、离散化、离散化：把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题：把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题：把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题：把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题9/16/202440 Wuhan University Confidential3 3、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来、递推化：把复杂的计算归结为简单过程的多次重复计算，易于用循环结构来实现（如迭代法）实现（如迭代法）实现（如迭代法）实现（如迭代法）例例 计算多项式的值秦九韶算法秦九韶算法：乘法运算次数由o(n2)次降为o(n)，降低了运算复杂度.9/16/202441 Wuhan University Confidential4 4、校正（松弛法）、校正（松弛法）5 5、线性化（曲线化直，非线性方程求根的、线性化（曲线化直，非线性方程求根的牛顿迭代）牛顿迭代）9/16/202442 Wuhan University Confidential 学习本课程需注意几点学习本课程需注意几点n要掌握算法的原理和思想n要掌握算法的处理技巧、步骤和计算公式n重视误差分析，理解收敛性、稳定性分析的理论n做一定的理论分析证明与计算练习n上机实践9/16/202443 Wuhan University Confidential