第二节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、三、 引力问题引力问题四、四、 转动惯量转动惯量 (补充补充)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定积分在物理学上的应用 第六章 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.一个单求电场力所作的功 . 解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 例例2.体, 求移动过程中气体压力所解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .建立坐标系如图. 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即功元素为故作用在活塞上的所求功为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为( KJ )设水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 所论半圆的利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 说明说明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数奇函数( P350 公式67 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、三、 引力问题引力问题质量分别为的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在试计算利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为 说明说明:2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则有引力大小为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时当质点位于棒的左端点垂线上时, 四、转动惯量四、转动惯量 (补充补充)质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为的质点系若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 关于轴 l 的转动惯量为例例6. 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; 求圆盘对直径所在轴的转动惯量求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.设圆盘面密度为 .小圆环质量对应于的小圆环对轴 l 的转动惯量为故圆盘对轴 l 的转动惯量为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , 平行 y 轴的细条关于 y 轴的转动惯量元素为细条质量:故圆盘对y 轴的转动惯量为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 取旋转轴为取旋转轴为 y 轴轴, 建立坐标系如图建立坐标系如图.内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇、片、壳扇、片、壳 等等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 条、段、环、带、条、段、环、带、(99考研)思考与练习思考与练习提示提示: 作作 x 轴如图轴如图.1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s , 问克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由机动 目录 上页 下页 返回 完毕 抓起污x 提升 dx 所作的功为 米重50N ,提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至 x 处所需时间 :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 克服抓斗自重: 2. 设星形线设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示: 如图如图.在点O 处有一单 位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的习题课 目录 上页 下页 返回 完毕 引力大小为作业作业: P287 2 , 3 , 5 , 9 , 12锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐, 则其方程为问斜边与水面交成的机动 目录 上页 下页 返回 完毕 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故得唯一驻点 故此唯一驻点即为所求. 由实际意义可知最大值存在 ,即