3.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点数信数信20092009级级2 2班班范志强范志强2009024109020090241090 思考：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有什么关系？方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数x22x3=0y= x22x+3 方程方程x22x+1=0x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0xy01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3 思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？ 思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？ 想一想：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的的图象图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0 ) , (x2 ,0 )( (x x1 1,0 ,0 ) )没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2思考思考： 指数函数、对数函数与相对应的方程指数函数、对数函数与相对应的方程的根，也有这种关系呢？的根，也有这种关系呢？如：如：想一想想一想： 对于一般的函数对于一般的函数y=f(x),方程方程f(x)=0的的根是否等于函数根是否等于函数y=f(x)的图像与的图像与x轴交点轴交点的横坐标？的横坐标？函数零点的定义：函数零点的定义： 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的零点。注意：零点是实数，并非坐标点方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点等价关系等价关系例：例：利用函数图像，判断方程利用函数图像，判断方程有没有根，有几个根？有没有根，有几个根？xy0（1，0）-111 24解：解：原方程对应的函数为：原方程对应的函数为：f( (x)=2)=2x- -2 2其图像如右图，其图像如右图，函数图像与函数图像与x轴只有一个交轴只有一个交点点(1,0)，所以原方程有一，所以原方程有一个根。个根。练习练习： 利用函数图象判断下列方程有没有根，利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根有几个根?（1）x23x50；（2）2x(x2)3；（3） x2 4x4；（4）5 x2 2x3 x2 5.(1)(1)(1)(1)解：令解：令解：令解：令f f( ( ( (x x)=)=)=)=x23x5, 作出函数作出函数f f(x)(x)(x)(x)的图象，如下：的图象，如下：.xy01321486224 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程x23x50有两个不有两个不相等的实数根。相等的实数根。(1) x23x50 (2)解：解：2x(x2)3可化为可化为2x24x30，令，令f(x)= 2x24x3 , 作出函数作出函数f f( ( ( (x x) ) ) )的图象的图象,如下：如下：xy0132112543. 它与它与x轴没有交点，所以方程轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根。无实数根。(2) 2x(x2)3(3)解：解：x2 4x4可可化为化为x24x40，令，令f(x)= x24x4，作出作出函数函数f f( ( ( (x x) ) ) )的图象，如右图：的图象，如右图：. 它与它与x轴只有一个交点，但原轴只有一个交点，但原方程为一元二次方程，所以方程方程为一元二次方程，所以方程x2 4x4有两个相等的实数根。有两个相等的实数根。xy013211254364(3) x2 4x4(4)解：解：5x2 +2x3x2 +5可化为可化为2x2 2x50，令令令令f f( ( ( (x x)=2)=2)=2)=2x22x5 , 作出函数作出函数f f( ( ( (x x) ) ) )的图象，的图象，如下：如下：xy013211213343654422. 它与它与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以方程方程5x2 +2x3x2 +5有两个不有两个不相等的实数根。相等的实数根。(4) 5 x2 2x3 x2 5小结与思考1、函数零点的定义；2、等价关系；3、方程转化为相应函数的思想方法；4、数形结合的思想方法；5、特殊到一般的思想方法.作业：作业：1、P88 练习练习 第第1题题2、选做、选做 ：已知函数：已知函数3、思考题：解方程、思考题：解方程 .