2.4.2 2.4.2 平面向量数量积的平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角坐标表示、模、夹角 平面向量数量积的坐标表示-模2、数量积的定义：、数量积的定义：1、向量夹角的定义：、向量夹角的定义：叫做叫做规定规定0与任何向量的数量积为与任何向量的数量积为04、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：等于等于 的长度的长度与与的乘积。的乘积。3、投影：、投影：一一.复习回复习回顾顾平面向量数量积的坐标表示-模5、数量积的重要性质、数量积的重要性质设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地，特别地，(判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)平面向量数量积的坐标表示-模平面向量的数量积平面向量的数量积复习回顾复习回顾平面向量数量积的坐标表示-模1 1、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示如图，如图， 是是x x轴上的单位向量，轴上的单位向量， 是是y y轴上的单位向量，轴上的单位向量，由于由于 所以所以 x y o B(x2,y2) A(x1,y1) . . . 1 1 0 平面向量数量积的坐标表示-模平面两向量数量积的坐标表示平面两向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示-模故故两个向量的数量积等于它们对应两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。坐标的乘积的和。即即x o B(x2,y2) A(x1,y1) y 根据平面向量数量积的坐标表示，向量根据平面向量数量积的坐标表示，向量的的数量积的运算数量积的运算可可转化为转化为向量的向量的坐标运算。坐标运算。平面向量数量积的坐标表示-模2、向量的模和两点间的距离公式平面向量数量积的坐标表示-模 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角例15 101.设设a =(2,3)，b =(-1,-2)，c=(2,1)，求，求练习练习解：解：平面向量数量积的坐标表示-模（1）垂直）垂直3、两向量垂直和平行的坐标表示（2）平行）平行平面向量数量积的坐标表示-模 例例2 2 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)，试判断试判断 ABCABC的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y平面向量数量积的坐标表示-模变式变式 在在ABC中，中， =(2， 3)， =(1， k)，且且ABC的一个内角为直角，求的一个内角为直角，求k值值.当B = 90时， = 0， = = ( 1， k 3)2(1) +3(k3) = 0 k = 当C = 90时， = 0， 1 + k(k3) = 0 k = 综上所述综上所述 解：当A = 90时，AB AC=0, 21+3k=0k = 平面向量数量积的坐标表示-模4、两向量夹角公式的坐标运算、两向量夹角公式的坐标运算平面向量数量积的坐标表示-模平面向量数量积的坐标表示-模A平面向量数量积的坐标表示-模 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角小结小结（1）设）设a =（x，y），则），则 或或|a |= .若设若设 、 则则 （2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式标表示式. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即平面向量数量积的坐标表示-模1.向量向量 则 的最大的最大值，最小，最小值分分别是是4 , 02.已知已知则则a+b与与a-b的夹角为的夹角为平面向量数量积的坐标表示-模平面向量应用举例平面几何的向量方法平面几何的向量方法平面向量数量积的坐标表示-模平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为量的运算就可以完全转化为“代数代数”的计算，的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。可以解决平面几何中的一些问题。平面向量数量积的坐标表示-模问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCD猜想：猜想：1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有何关系？何关系？何关系？何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？平面向量数量积的坐标表示-模例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：解：解：设 ，则 分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。平面向量数量积的坐标表示-模 你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：平面向量数量积的坐标表示-模