二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 D25微分习题课h一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其D25微分习题课h的微分微分,定义定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理: 函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可微可微,D25微分习题课h定理定理 : 函数分析分析: “必要性必要性” 在 可微 ,故在点 的可导, 且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即反之亦成立。D25微分习题课h说明说明: 当当时 ,所以当时很小时, 有近似公式与是等价无穷小.当D25微分习题课h微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分, 记作记D25微分习题课h例如例如,基本初等函数的微分公式 (见 P116表)又如又如,D25微分习题课h二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变性微分形式不变性5. 复合函数的微分则复合函数D25微分习题课h例例1.求 解解:D25微分习题课h例例2. 设求 解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意: 数学中的反问题往往出现多值性.D25微分习题课h数学中的反问题往往出现多值性 , 例如D25微分习题课h三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:D25微分习题课h特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)因为因为: 令得D25微分习题课h的近似值 .解解: 设取，则例例4. 求D25微分习题课h例例5. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , D25微分习题课h*四、四、 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限D25微分习题课h误差传递公式误差传递公式 : P122已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,D25微分习题课h1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .课堂练习：课堂练习：D25微分习题课h2.(1)D25微分习题课h的近似值 .解解:3. 计算D25微分习题课h作业作业P123 1 ; 4 ; 3 (2) , (3) , (5), (9); 10 (1)P125 6 (1); 7; 12(1)D25微分习题课h第二章习题课一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法 D25微分习题课h一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数 :当时,为右导数当时,为左导数 微分微分 : 关系关系 : 可导可微( 思考 P125 题1 )D25微分习题课h 应用应用 :(1) 利用利用导数定义导数定义解决的问题解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则其他由求导法则推出;2) 求分段函数在分界点分界点处的导数 , 及某些特殊函数在特殊点特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题.D25微分习题课h二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法;利用莱布尼兹公式.D25微分习题课hEx 1.Ex 1.设存在,求解解: : 原式=D25微分习题课hEx Ex 2.2.若且存在 , 求解解: 原式 =且联想到凑导数的定义式D25微分习题课hEx 3.Ex 3.设在处连续,且求解解:思考思考 : P125 题3D25微分习题课h设解解:又Ex 4.所以 在处连续. 即在处可导 .处的连续性及可导性. （P125）D25微分习题课hEx 5. 求螺线在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为D25微分习题课h求其反函数的导数 .解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导Ex 6. 设D25微分习题课h1. 已知求解解：因为所以课外练习：课外练习：D25微分习题课h方程两边求微分, 得已知求解解：2.D25微分习题课h, 求解解： 3. 设方程组两边同时对 t 求导, 得D25微分习题课h解解: 设求其中 f 二阶可导.4.D25微分习题课h