E-mail: xuxinahu.edu.cn5 5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程定义定义 称二阶及二阶以上的微分方程为称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方高阶微分方程程方程方程 y (n) = f (x)1. y(n) = f (x)型的微分方程型的微分方程 右端仅含有自变量右端仅含有自变量x，容易看出，只要令，容易看出，只要令y (n1) = p则则p=f(x);则原方程可以看成是一阶微分方程，两边则原方程可以看成是一阶微分方程，两边积分就得到一个积分就得到一个n1阶的微分方程：阶的微分方程： 同理可得：同理可得： 这样经过这样经过n次积分，即得到原方程的通解。次积分，即得到原方程的通解。E-mail: xuxinahu.edu.cn例例1.1. 解方程解方程解解: : 连续积分两次，得：连续积分两次，得：例例2.2. 解方程解方程解解: : 连续积分三次，得：连续积分三次，得：E-mail: xuxinahu.edu.cn2. 不显含不显含y型型:解法解法: :令 y=p, 则则E-mail: xuxinahu.edu.cn设其通解为设其通解为p= (x, C1)则则故得故得E-mail: xuxinahu.edu.cn例例3 3 解方程解方程 y+ y=x2 的通解的通解解解: :则则 利用一阶非齐次线性微分方程求解方法，得利用一阶非齐次线性微分方程求解方法，得通解为：通解为：又又 解得通解为：解得通解为：令令y=p, 则则（一阶线性方程）（一阶线性方程）E-mail: xuxinahu.edu.cn例例4 4 解方程解方程(1+x2)y/2xy/=0满足初始条件满足初始条件 解：解：令y=p, 则（可分离变量）（可分离变量）由由y/|x=0=3 可得可得C1=3，则，则y/=3(x2+1)两边积分得：两边积分得： y=x3+3x+C2通解为：通解为：由由y|x=0=1 可得可得C2=1，则，则y=x3+3x+1E-mail: xuxinahu.edu.cn3. 不显含不显含x型型：解法：解法： 令y=p, 有代入方程得代入方程得y=f (y, y)这是一个关于这是一个关于p，y的一阶微分方程，的一阶微分方程，E-mail: xuxinahu.edu.cn设其通解设其通解 p= (y, C1)则则分离变量并积分得分离变量并积分得E-mail: xuxinahu.edu.cn例例5 5 解方程 2yy+y2=0解解：设设y=p, 则则分离变量有分离变量有积分得积分得故故E-mail: xuxinahu.edu.cn即即再分离变量再分离变量或或即即E-mail: xuxinahu.edu.cn练习：练习：解解：设设y=p, 则则则则的通解。的通解。分析分析此题既缺少此题既缺少x x，又缺少，又缺少y y。