二项式定理，又称牛顿二项式二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克定理，由艾萨克牛顿牛顿于于16641664、16651665年间提出年间提出二项式定理在组合理论、开高二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用及差分法中都有广泛的应用 二项式定理研究的是二项式定理研究的是 的展开式的展开式. .展开式有几展开式有几项？每一？每一项是怎是怎样构成的？构成的？ 的展开式是什么？的展开式是什么？问题问题1:1: 展开式中展开式中每一每一项是怎是怎样构成的？展开式有几构成的？展开式有几项？问题问题2:2:多项式乘法的多项式乘法的再认识再认识规律规律: : 每个括号内任取一个字母相乘构每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项成了展开式中的每一项. . 项： 系数： 1 展开式： 探究探究1 1 推导推导 的展开式的展开式. .探究探究2 2 仿照上述过程仿照上述过程, ,推导推导 的展开式的展开式. .项：系数：探究探究3 3：请分析请分析 的展开过程，证明猜想的展开过程，证明猜想. .LL展开式：二项展开式的通项二项展开式的通项:二项式系数二项式系数:项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n， 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0 , 字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n .二项式定理二项式定理 二项式定理二项式定理 例：求例：求 的展开式的展开式解解: :直接展开直接展开例：求例：求 的展开式的展开式先化简后展开先化简后展开例：求例：求 的展开式的展开式解解: :例：求例：求 的展开式的展开式思考思考3 3：你能否直接求出展开式的第项？你能否直接求出展开式的第项？ 思考思考1 1：展开式的第项的系数是多少？展开式的第项的系数是多少？思考思考2 2：展开式的第项的二项式系数是多少？展开式的第项的二项式系数是多少？解:练习1例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项注：注：1)注意对二项式定理的灵活应用 2)注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数：Cnr；项的系数：二项式系数与数字系数的积 3)求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开第4项的二项式系数第4项的系数例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数解(1) (1+2x)7的展开式的第4项是T3+1=C7317-3(2x)3 =3523x3 =280x3分析: 先求出x3是展开式的哪一项,再求它的系数例2 (1)求(1+2x)7的展开式的第4项9-2r =3r =3x3系数是 (-1)3C93=-84练习练习2、化简、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.实战演练实战演练求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:练习3(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项解:练习 求求 的展开式的中间两项的展开式的中间两项 解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项。练习思维拓展思维拓展1.在在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含的展开式中含x4项项 的系数是的系数是 ( )2. 求求(x+2y+z)6的展开式中含的展开式中含xy2z3项的系数项的系数.A. - -15 B. 85 C. - -120 D. 274A(2)(2)二项展开式的通项：二项展开式的通项：1.1.二项式定理：二项式定理：2 2思想方法思想方法(1)(1)二项式系数：二项式系数：(2)(2) 用计数原理分析二项式的展开过程用计数原理分析二项式的展开过程. .(1)(1) 从特殊到一般的数学思维方式从特殊到一般的数学思维方式. .(3)(3) 类比、等价转换的思想类比、等价转换的思想. .