最小二乘快速横向滤波FTF 由已知的 来估计 , 这时, 横向滤波器的输出是 的最小二乘估计 , 即滤波方程为 (3.4.125)其中, 采用前加窗法时的数据矩阵 由于最小二乘横向滤波器的权矢量由下式决定: (3.4.126)定义横向滤波算子(又称横向滤波器的投影矩阵): (3.4.127)则式(3.4.126)可写成 (3.4.128)上式表明, 权矢量 是横向滤波算子 各行矢量与 的内积. 将式(3.4.128)代入式(3.4.125), 可得 (3.4.129)估计误差矢量为 (3.4.130)式中， 和 分别是数据子空间 的投影矩阵和正交投影矩阵。 利用单位现时矢量 , 可求出误差矢量 的当前分量: (3.4.131)（2）前向预测误差滤波器 最小二乘前向预测器是用 时刻以前相继的 个数据, 对该时刻的 做最小二乘估计, 即 (3.4.132)在最小二乘意义下, 预测系数(权系数)矢量的最佳解为引入横向滤波算子 (3.4.133) 考虑到数据子空间 的投影矩阵:因此得到 (3.4.134)式(3.4.134)表明, 用横向滤波算子 作用于数据矢量 , 便可求出最小二乘前向预测系数矢量 (即最佳权矢量). 最小二乘前向预测误差矢量为 (3.4.135) 其当前分量为 (3.4.136) 根据前向线性预测滤波器的输入输出关系, 上式还可表示为(3.4.137) 预测误差能量为 (3.4.138)（3）后向预测误差滤波器 最小二乘后向预测器, 是利用 时刻以后的 个相继数据 ,向后一步预测 即延时数据 . 根据上节分析, 的最小二乘后向预测矢量为 (3.4.139) 在最小二乘意义下, 后向预测系数(权系数)矢量的最佳解为引入横向滤波算子 (3.4.140)考虑到子空间 的投影矩阵因此得到 (3.4.141) (3.4.142)式(3.4.141)表明, 用横向滤波算子 作用于延时数据矢量 ,便可求出最小二乘后向预测系数矢量 (即最佳权矢量). 最小二乘后向预测误差矢量为 (3.4.143)其当前分量为 (3.4.144)误差能量为 (3.4.145)（4）增益滤波器 a) 什么是增益滤波器? 确切而言, 增益滤波器实际是关于角参量的滤波器. 现以图所示的一维数据空间为例予以说明. 设 时刻的数据子空间为 , 时刻的数据子空间为 , 两者之间的夹角为 , 角参量为 (3.4.146) 若一维子空间 的投影矩阵为 , 单位现时矢量 在上投影为 , 令 (3.4.147) 很明显, 矢量 就是 对 的最小二乘估计. 如果把这种估计看成是 通过一个最小二乘滤波器的输出, 则 便是这个最佳滤波器的增益(即最小二乘滤波器系数), 因此,把该滤波器称为增益滤波器.图3.4.9 最小二乘增益滤波器的几何说明b)估计误差矢量与角参量 在上述情况下, 由 对 进行最小二乘估计的误差矢量为 (3.4.148)式中, 是对 的正交投影矩阵. 由角参量的定义可知, 的当前分量等于该时刻的角参量 (3.4.149)将式(3.4.148)代入上式, 得即 (3.4.150)参见华中教材p83, 式(3.186):由上式得到 (3.4.151)可以看出, 增益滤波器的增益 与 一样, 也是两个子空间 与 之间夹角的一种度量.c) 维情况 这时, 数据子空间为 , 相应的投影矩阵为 , 将一维的式(3.4.147)推广, 得 (3.4.152)式中, 称为增益滤波器的增益矢量(或系数矢量, 权矢量). 上式两边同乘以 , 可进一步得到 (3.4.153)其中, 是增益滤波器的横向滤波算子. 上式说明, 增益矢量可以通过 作用于单位现时矢量 来得到. 维时的角参量为 (3.4.154)式中, (3.4.155) 小小结 由上得到4种滤波器的权矢量(或预测系数矢量, 增益矢量)的计算公式: 最小二乘横向滤波器 前向预测误差滤波器 后向预测误差滤波器 增益滤波器 以上权矢量的时间更新, 皆归结为相应的横向滤波算子的时间更新问题.wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到2. 横向横向滤波算子的波算子的时间更新更新(1)子空间 的横向滤波算子 的更新 设 是 (行) (列)数据矩阵, 则横向滤波算子定义为又设: 列矢量; 由 的 个列矢量张成的 维子空间; 的投影矩阵; 对 的正交投影矩阵; 将 附加到 的最后一列, 构成的 维新矩阵; 由 的 个列矢量张成的 维矢量空间; 的投影矩阵; 对 的正交投影矩阵; 的横向滤波算子.参照式(3.4.127) 可以证明，横向滤波算子 具有以下性质(证明参见教材):(a) (b)(c) ;(d)(e)(f) (2)横向滤波算子的更新(a) 的时间更新关系式令于是有由 的 个列矢量张成的 维子空间为 设子空间 的投影矩阵为 ; 横向滤波算子为. 由 时刻投影矩阵 递推 时刻投影矩阵 的公式如下:见教材p83, 式(3.11.3):上式两边左乘 , 得到 (3.4.156)注意到: 上式右边分块矩阵的最后一列是列矢量 , 利用横向滤波算子 的性质(c), 有设 与分块矩阵其余部分相乘后得到的矩阵的最后一行为, 同时根据性质(a), 有 所以由式(3.11.32)得到横向滤波算子 的时间更新关系式为: (3.4.157)式中, yT(n-1)表示一个1n维矢量.同理可得横向滤波算子的时间更新关系式为: (3.4.158)自适自适应算法中的算法中的时间更新更新 FTF自适应算法的目的, 是要解决权矢量 的时间更新问题, 为此要涉及 , , 等一系列参量的更新.(1)横向横向滤波器波器 的更新的更新推导思路(a)利用横向滤波算子性质(e):式中, 取 , .式中, bT(n-1)表示一个1n维矢量.(b)其它有关公式:结论 由 时刻递推计算 时刻的权矢量的时间更新公式为 (3.4.159) 上式表明, 在由 递推计算 时, 还必须事先计算 , 和.(2)增益增益滤波器波器 的更新的更新推推导思路思路(a)利用横向滤波算子性质(f):式中, 取 , , 于是有(b)再利用前向预测误差矢量的当前分量和误差能量表示式:同时注意到, 因则 阶增益滤波器的权矢量为并定义 式中, 是 的前 个元素组成的矢量; 表示 的最后一个(即第 个)元素. 结论(a) 时刻的 阶增益滤波器 的计算公式为: (3.4.160)可见, 计算 时需预先求出 时刻的 , 和 . (b)进一步由 求 时刻的 : (3.4.161a) 上式中的 和 可分别由式(3.4.160)求得. 该式说明, 一般情况下, 不等于 的前 个元素组成的矢量 . 利用下面将要得到的式(3.4.168), 可进一步导出下面的实用公式:(3.4.161b)(3)前向前向预测误差差滤波器波器 的更新的更新 的更新公式的更新公式推推导思路思路(a)利用横向滤波算子性质(f):式中, 取 , . (b)其它有关公式: 结论 前向预测系数矢量 的时间更新公式为: (3.4.162) 上式中, , 和 是通过第 次迭代后的已知参量, 欲得 , 还必须进一步解决 的计算问题. 问题: 是用 来预测 时的前向预测误差,即计算时需知道 , 而计算 时又要用到 ,如何解决这一问题? 前向预测的输出是 的预测值:预测误差为写成矢量形式, 有 (3.4.163)其中, 数据矢量预测系数矢量将式(3.4.162)代入式(3.4.163), 得到(3.4.164)其中, (3.4.165)由式(3.4.164)可解得 (3.4.166)由上式计算 可避免预先计算 .误差能量差能量 的更新公式的更新公式 直接给出更新计算公式如下: (3.4.167)(4)后向后向预测误差差滤波器波器 的更新的更新后向预测系数矢量 的时间更新公式 (3.4.168) 由上式可看出, 为了由 计算 , 必须在第 次迭代中先算出 , 和 . 的的时间更新公式更新公式 (3.4.169)其中 (3.4.170)由上式计算 , 可避免与计算 出现的“交叉耦合”. 的的时间更新公式更新公式 (3.4.171)4.角参量的角参量的时间更新更新 与 的推导过程类似. 可分两步得到递推公式: 首先由 到 的更新, 其次再由到 的更新. 结论:由 (3.4.172)由 (3.4.173)或者 (3.4.174)b) 阶角参量: c) 阶增益滤波器权矢量: d) 后向预测误差滤波器参数, 阶角参量及 阶增益矢量: 式(3.4.171)式(3.4.160)式(3.4.170)式(3.4.174)式(3.4.169)式(3.4.171)式(3.4.161b)e) 最小横向滤波器参数: 当 和 满足给定条件时, 即停止迭代.式(3.4.168), 同时利用式(3.4.169)由式(3.4.131)导出由式(3.4.159)导出