2.3 对偶解的经济意义 影子价格一、影子价格2、影子价格的定义3、影子价格在经济管理中的应用1、问题的提出二、边际贡献对偶解的经济解释对偶问题的对偶就是原问题一、对称定理一、对称定理 上堂课的主要内容：上堂课的主要内容：二、弱对偶性定理二、弱对偶性定理对偶解的经济解释三、对偶性定理三、对偶性定理（1）（P）有最优解的充要条件是（D）有最优解（2）若X*和Y*分别是（P）和（D）的可行解， 则X*和Y*分别是（P）和（D）的最优解的充 要条件是：CX*=Y*b（3）若（P）存在最优解X*，B是（P）的最优基， 则（D）一定存在最优解Y*，且（4）若（P） （D）为对称型对偶问题，且（P） 存在最优解X*，则（D）一定存在最优解Y*， 且（-1）Y*是（P）的标准型的最优单纯形表 检验行中松弛变量的系数对偶解的经济解释四、互补松弛定理四、互补松弛定理设X*和Y*分别是（P）和（D）的可行解，则X*和Y*分别是（P）和（D）的最优解的充要条件是方程组 对偶解的经济解释对偶解的经济解释资源的合理利用问题资源的合理利用问题：资源单位消费产品资源限制单位利润还有现金，如何投资决策依据决策依据：比较比较第第i种资源增加一个单位种资源增加一个单位，其余资源不增加，其余资源不增加时时利润的增加值利润的增加值1、问题的提出、问题的提出对偶解的经济解释决策依据：在取得最优方案的前提下比较第i种资源增加一个单位，其余资源不增加时利润的增加值设B是最优基，Z*是最优值设Y*时（D）的最优解则Z*=Y*b对偶解的经济解释Lagrange乘子边际价格灵敏度系数2、影子价格的定义对偶解的经济解释资源单位消费产品甲乙资源限制钢材52170煤炭23100设备台时15150单位利润（万元）1018x1x2x3x4x5000-32/7-6/7Z-4100/7x3001-23/711/7540/7x11005/7-3/750/7x2010-1/72/7200/7最优解X*=(50/7，200/7)最优值Z*=4100/7Y*=(0，32/7,6/7)对偶问题的最优解对偶解的经济解释对偶问题最优解Y*=(0，32/7,6/7)钢材煤炭设备台时即再增加1吨钢材，利润不会增加即再增加1吨煤炭，利润增加3/7万元即再增加1个台时，利润增加6/7万元对偶解的经济解释原问题最优解X*=(50/7，200/7)对偶问题最优解Y*=(0，3/7,6/7)钢材煤炭设备台时由互补松弛定理：现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余，因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源，只能造成积压，不会给工厂增加效益。对偶解的经济解释*影子价格的大小客观地反映了资源影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的在系统内部的稀缺程度稀缺程度对偶解的经济解释例：已知某家具公司生产书桌、餐桌、椅子例：已知某家具公司生产书桌、餐桌、椅子三种产品。生产这些家具需要木材和和两三种产品。生产这些家具需要木材和和两种熟练工人：漆工和木工。各种家具的资种熟练工人：漆工和木工。各种家具的资源需求如下表，源需求如下表，且公司确信书桌和椅子的且公司确信书桌和椅子的需求是无限的，但餐桌最多能卖出需求是无限的，但餐桌最多能卖出5个，问个，问如何安排生产，能使总收入最大？如何安排生产，能使总收入最大？书桌书桌餐桌餐桌椅子椅子资源数资源数木材木材8英寸木板英寸木板6英寸木板英寸木板1英寸木板英寸木板48英寸木板英寸木板漆工漆工4小时小时2小时小时1。5小时小时20小时小时木工木工2小时小时1。5小时小时0。5小时小时8小时小时售价售价60元元30元元20元元解：设解：设X1， X2， X3表示书桌、餐桌、椅子的表示书桌、餐桌、椅子的 生产数量，生产数量，Z表示总收入表示总收入木工约束木工约束漆工约束漆工约束木材约束木材约束餐桌约束餐桌约束对偶解的经济解释X1X2X3X4X5X6X7检验行检验行0-500-10-100Z-280X40-2012-8024X30-2102-408X11100-0.5102X701000015最优单纯形表：最优单纯形表：木工约束木工约束漆工约束漆工约束木材约束木材约束餐桌约束餐桌约束对偶解的经济解释，即增加，即增加1英寸的木材，总收入不增加英寸的木材，总收入不增加，即增加，即增加1小时的漆工，总收入增加小时的漆工，总收入增加10元元，即增加，即增加1小时的木工，总收入增加小时的木工，总收入增加10元元，即增加，即增加1个餐桌的需求，总收入不增加个餐桌的需求，总收入不增加投资策略投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？：哪种资源的影子价格大就投资那项？投资策略：投资策略：不增加木板，不增加木板，不在餐桌的销路上投资（如广告等）不在餐桌的销路上投资（如广告等）若市场上若市场上1小时的漆工工资小时的漆工工资10元，可增加漆工元，可增加漆工若市场上若市场上1小时的木工工资小时的木工工资市场价格市场价格卖出卖出若某种资源的影子价格若某种资源的影子价格0.4对偶解的经济解释二、边际贡献二、边际贡献对偶解的经济解释生产策略问题：生产策略问题：资源资源单位单位消费消费产品产品资源资源限制限制单位单位价格价格问题：市场上正在热卖第问题：市场上正在热卖第j种产品，是否增加该产品种产品，是否增加该产品的产量的产量策略：若在最优方案中，第策略：若在最优方案中，第j种产品的产量种产品的产量xj为非基变为非基变量，不能增加该产品的产量量，不能增加该产品的产量对偶解的经济解释检验数检验数非基非基变量变量对偶解的经济解释为什么别人热卖的为什么别人热卖的产品我不该生产产品我不该生产对偶解的经济解释隐含成本隐含成本第第i种产品的价格种产品的价格新产品开发决策分析新产品开发决策分析对偶解的经济解释资源单位消费产品甲乙资源限制钢材52170煤炭23100设备台时15150单位价格（万元）1018x1x2x3x4x5000-32/7-6/7Z-4100/7x3001-23/711/7540/7x11005/7-3/750/7x2010-1/72/7200/7现有两种新产品A和B，他们对资源的消耗额以及可能获得的单位利润如表所示，试决定他们是否值得投产。产品资源单位消费910单位价格（万元）43设备台时12煤炭21钢材BA对偶解的经济解释现有两种新产品A和B，他们对资源的消耗额以及可能获得的单位利润如表所示，试决定他们是否值得投产。产品A的隐含成本=不生产产品B的隐含成本=可以生产产品资源单位消费910单位价格（万元）43设备台时12煤炭21钢材BA对偶解的经济解释