极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限小结小结 思考题思考题 作业作业第五节第五节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限第二章第二章 极限与连续极限与连续11. 夹逼准则夹逼准则证证准则准则满足下列条件满足下列条件:一、极限存在准则一、极限存在准则如果数列如果数列那末数列那末数列的极限存在的极限存在,且且2上两式同时成立上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到上述数列极限存在的准则可以推广到函数函数的极限的极限.3称为称为准则准则如果如果那末那末存在存在,且等于且等于A.夹逼准则夹逼准则. .有有准则准则准则准则和和4例例解解由由夹逼定理夹逼定理得得562. 单调有界准则单调有界准则数列有界数列有界7单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:单调有界单调有界数列必有极限数列必有极限.即即单调减少且有下界的数列必有极限单调减少且有下界的数列必有极限.单调增加且有上界的数列必有极限单调增加且有上界的数列必有极限.81. 夹逼准则夹逼准则准则准则满足下列条件满足下列条件:极限存在准则极限存在准则如果数列如果数列那末数列那末数列的极限存在的极限存在,且且单调有界单调有界数列必有极限数列必有极限.准则准则如果如果那末那末存在存在,且等于且等于A.有有2. 单调有界准则单调有界准则9例例证证极限存在极限存在.显然显然(1)是是单调增加的单调增加的;(2)是是有界的有界的;存在存在.10(舍去舍去)(3)极限存在极限存在.解得解得11(1)作为准则作为准则 的应用的应用二、两个重要极限二、两个重要极限12即即夹逼定理夹逼定理13该该极限的特点极限的特点: 一般有一般有14例例例例例例15例例 求求解解: :则则因此因此原式原式令令16例例 求求解解: :原式原式 =小结小结: :极限式中含三角函数或反正弦函数、反正切极限式中含三角函数或反正弦函数、反正切函数函数,且为且为 型未定式时型未定式时,常用到第一个重要极限常用到第一个重要极限.17(2)作为准则作为准则 的应用的应用可以严格证明数列可以严格证明数列xn单调增单调增加加且且有界有界.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限可看出该数列是单调增加的可看出该数列是单调增加的, 并且有界并且有界:事实上事实上,18当当x实数趋向实数趋向 或或 时时,因此因此因此因此的极限都存在且等于的极限都存在且等于函数函数可证明可证明,19 “以以1加非零无穷小为底加非零无穷小为底,指数是无穷小的指数是无穷小的该该极限的特点极限的特点:(2) 括号中括号中1后的变量后的变量(包括符号包括符号)与幂互为倒数与幂互为倒数. 注注若若极限呈极限呈但第二个特点不具备但第二个特点不具备,通常通常凑凑指数幂使指数幂使(2) 成立成立.记忆方法记忆方法:则则一般有一般有倒数倒数,其极限为数其极限为数e”.20例例 求求解解: : 令令则则说明说明: : 若利用若利用则则 原式原式21例例例例例例22例例 求求解解: : 原式原式 = =23作业作业习题习题 2.5 (53 (53页页) ) 1. （2） 2. 4. (3) (5)(7)(9) 5. 6. (3) (5)(7)(9)（11） 7. 8.242. 两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .三、小结三、小结1. 极限存在准则极限存在准则25关于两个重要极限的注释关于两个重要极限的注释或或注注: : 代表相同的表达式代表相同的表达式26思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 )夹逼定理夹逼定理提示提示:27思考题思考题 求极限求极限解答解答28一、填空题一、填空题:练练 习习 题题29二、求下列各极限二、求下列各极限:3031练习题答案练习题答案32