第五章第五章 向量空间初步向量空间初步 向量空间的理论起源对线性代数方程组解的研究，由向量空间的理论起源对线性代数方程组解的研究，由其进一步抽象及一般化而发展起来的理论和方法，使解决其进一步抽象及一般化而发展起来的理论和方法，使解决一大类应用数学问题的方法得以系统化一大类应用数学问题的方法得以系统化. . 狞酣敬怯炙捡赏性漆氖散尚露切沛郡蝉胆啃蜀武孟济韭翻茁缘残捐涩权状线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1本章主要内容本章主要内容5.1 基本概念基本概念5.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性5.3 向量空间的基和维向量空间的基和维5.4 向量的内积向量的内积跪岂谋粗亩宇秘絮堆吟揍断乙啄匙纠梦湖望铰装遥怒苇匠玉意绦台坐蜂明线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.15.1 向量空间基本概念向量空间基本概念 蝇谚涂试乒梯灰郭酷睁吓着胺惺多锦妖梦需冠杉蹄穆绵麓洼挟舷慈托牡眶线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1 对给定的带任意自由项对给定的带任意自由项 b b 的的 m n 线性方程组线性方程组Ax = b问自由项问自由项b b应满足怎样的条件，方程组才相容应满足怎样的条件，方程组才相容? ?定理表明定理表明 当且仅当当且仅当 b 使使时时, , Ax = b 相容相容该如何理解或解释这个条件？该如何理解或解释这个条件？写成写成 对系数矩阵的按列分块，还可把对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方程组线性代数方程组从而得到方程组的向量形式从而得到方程组的向量形式 则则方程组有解的条件方程组有解的条件是是 b 可作为可作为的的线性组合线性组合a1 ，a2 ， ，an郴襄藉顶稗琐默俯曳角威瘩雄蛙釉贯毯溃擒笆柞竞虐椎朴好拓篓而凿坝锻线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1定义定义定义定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集 合称为合称为向量组向量组注注注注 含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵有限向量组有限向量组定义定义定义定义 给定向量组给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式，表达式 k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合k1, k2, , km 称为这个称为这个线性组合的系数线性组合的系数矣肌筋反沸枕耶真务蝉诵蚂舞惠琢豆塌丁需行搬嗣熙手蹈咐勺姑骋棺乓诡线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1定义定义定义定义 给定向量组给定向量组A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果如果存在一组实数存在一组实数 1, 2, , m ，使得使得b = 1a1 + 2a2 + + mam 则向量则向量 b 是向量组是向量组 A 的线性组合，这时称的线性组合，这时称向量向量 b 能能由向量组由向量组 A 的线性表示的线性表示例例 设设那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1, e2, e3的的线性组合线性组合洁歹柞政敝誉血彬淬腻碉全剃栈哦治埋癌乡遣嫉花谈劈妹骂跋诵并反拜马线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1注注注注 任何一个任何一个n维向维向量量都可由都可由 n维基本维基本向量组向量组1 = (1, 0, , 0), 2 = (0, 1, 0), , n = (0, 0 ,1)线性表示线性表示. .线性表示的系线性表示的系数恰好是向量数恰好是向量b 的各个分量的各个分量. .扰劈锄陈道厉朴捞国媳苇名芬拌颇多瓮戮讨杂韩肃崇忠儒支壹餐灾险岳翔线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1向量的线性表示与方程组有解之间的关系向量的线性表示与方程组有解之间的关系因为因为所以所以 向量向量b 能由向量能由向量组组 A 线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解方程组的一方程组的一个解就是一个解就是一组表示系数组表示系数.舵定博瓦备虞领胰葡殿廓兴俐慨狭腮践牧球乱谆百壳鲍嗣浊伏涧凿师速鱼线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1例例 设设判定向量判定向量 是否可由向量组是否可由向量组解解设设 = k11+k22+k33 , 即即由矩阵相等的定义由矩阵相等的定义, 得得如果可以如果可以, 写出他们的线性表示式写出他们的线性表示式.解此方程组解此方程组,得唯一解得唯一解向量向量 可以由向量组可以由向量组附箕琳械徊乌铝间业涧裴许屡梨菱甥允示诌谴统持糕怎莽颖龄盅梦扭胆献线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1 例例 设设a1 (1 1 2 2)T a2 (1 2 1 3)T a3 (1 1 4 0)T b (1 0 3 1)T 证证明明向向量量b能能由由向向量量组组a1 a2 a3线性表示线性表示 并求出表示式并求出表示式 设设 A (a1 a2 a3) B (A b) (a1 a2 a3 b) 因为因为 所以所以r(A) r(B) 因此向量因此向量b能由向量组能由向量组a1 a2 a3线性表示线性表示 由上列行最简形由上列行最简形 可得方程可得方程(a1 a2 a3)x b的通解为的通解为 从而得表示式从而得表示式 b (a1 a2 a3)x ( 3c 2)a1 (2c 1)a2 ca3 其中其中c可任意取值可任意取值 解解 澎踏数尾僧搅欠乳靡姑刑牟炉形翟厕姥扒最感尖沤口崭隅期亚熄灰埔逗波线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1试问对怎样的自由项试问对怎样的自由项 b b 方程组相容方程组相容.例例例例 对给定的线性代数方程组对给定的线性代数方程组解解解解 这是个这是个3 3 2 2的线性代数方程组，由于方程个数大于未知的线性代数方程组，由于方程个数大于未知数个数，一般讲，这样的方程组会是不相容的数个数，一般讲，这样的方程组会是不相容的. .记为记为为讨论，先将方程组改写成向量形式为讨论，先将方程组改写成向量形式若若 b=a1, 则则是方程的一个解，是方程的一个解，若若 b=a2, 则则也是方程的一个解，也是方程的一个解，方程组都相容方程组都相容方程组都相容方程组都相容. . . .例犯瘫姆贵领绅嫁尚怖或窄狭肄图潦萧以租呐雹凋多量雀蚕嘛酚拨侣捡涅线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1一般地一般地, , 若若b是是a1, a2的某一线性组合的某一线性组合 1a1+ 2a2时，时， 则则就是就是方程组的一个解方程组的一个解, 反之反之, 当当b不能表不能表示成示成a1, a2的线性组合的线性组合，方程组是不会有解的方程组是不会有解的. . 若将向量若将向量a1, a2的一切线性组合成集合记为的一切线性组合成集合记为S:则则 方程组方程组有解的充要条件是有解的充要条件是 bS.向量集合向量集合S具有性质具有性质(1)(1) 若若, , 则对任意常数则对任意常数则必有则必有(2)(2) 若若, , 则必有则必有这两条性质统称为集合这两条性质统称为集合S对向量的对向量的线性运算封闭线性运算封闭线性运算封闭线性运算封闭甥较灰砚佰勋车猖只燎静瘟巧莉盖涯谰质秤斜呕勒捣走枢辞段剿庚择袋蜜线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1定义定义定义定义 对对n维向量维向量( (n 1矩阵矩阵) )的集合的集合V, ,若若V对向量的线性运算封闭，对向量的线性运算封闭，则称则称V是是向量空间向量空间向量空间向量空间或或线性空线性空线性空线性空间间间间(vector space, lineal space).全体全体n维向量的集合维向量的集合Rn是向量空间；是向量空间； 当当Rn的子集的子集V构成向量空间时构成向量空间时, , 常称常称V是是 Rn的向量子空间的向量子空间，简称简称子空间子空间子空间子空间. 由例由例1 1知，知，S是向量空间，且是是向量空间，且是R3的子空间的子空间，而使方程有，而使方程有解的自由项向量必须在这个空间之中解的自由项向量必须在这个空间之中.yxzObaa1a2S S几何解释几何解释几何解释几何解释 当且仅当自由项向量当且仅当自由项向量b的对应径向量落在平面的对应径向量落在平面S上时上时, , 方方程组有解程组有解. .笼扮族琐纵己艇脂栽蓖根柞丝镊话巢某帘梳金漂年坯悬忱妈肖拖皑策鸿深线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1定义定义定义定义 设设a1, a2, ak是是Rn中的向量，称由其一切中的向量，称由其一切线性组合所构成的向量空间为线性组合所构成的向量空间为a1, a2, ak的的生成空间生成空间生成空间生成空间， 记作记作span(a1, a2, ak) ), ,即即例例 对对m n矩阵矩阵A=aij按列分块，成按列分块，成A=a1 a2 anRm的子空间，常记作的子空间，常记作R(A)，并称为矩阵并称为矩阵A的的列空间或列空间或A的的值域值域(rang)，即，即则则A的全体列向量的全体列向量a1 , a2 , , an所生成的向量空间是所生成的向量空间是全斡呻碌赋驭脸狸囊样叹就馒蹲舌琼拟非豆郊曳袍脆岔屎垫葬椿突层婶怯线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1可等价写成可等价写成对一般线性代数方程组成立如下定理对一般线性代数方程组成立如下定理条件是条件是定理定理定理定理 m n线性代数方程组线性代数方程组Ax=b相容的充要相容的充要因此因此泉沛啊雀吩惩午倦衣月棚语酋黍粉墅散埃悼限属泼溶凝栈押侄伴糕冬界仓线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1例例例例 试证试证m n齐次线性齐次线性代数方程组代数方程组Ax=0的解集依向量线性运算法则是的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间的子空间.解解已知齐次线性代数方程组的解集非空，已知齐次线性代数方程组的解集非空，若记此解集为若记此解集为N(A), 则显然有则显然有1. 若若即即则对任意常数则对任意常数，必必；，即，即即即即即2. 若若则必则必说明说明N(A)对向量的线性运算封闭，对向量的线性运算封闭，故故N(A)是向量空间是向量空间,且且N(A)是是Rn的子空间，称之为齐次方程组的子空间，称之为齐次方程组Ax=0的的解空间解空间或矩阵或矩阵A的的零空间零空间 ( null space ),即即咸惕痕匀禄舀铣噶龄敢既各孜公甥仓详芜哦粒吾阵裙盛握滥吸寄闺湘快闲线性代数课本课件 5.1线性代数课本课件 5.1