第一节第一节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用一一微元法微元法二二平面图形的面积平面图形的面积三三立体的体积立体的体积四四平面曲线的弧长平面曲线的弧长1 1一一 微元法微元法回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路程问题，程问题， 当所求量当所求量具有下列三个特点具有下列三个特点有关的量；有关的量；（1）是与一个变量是与一个变量的变化区间的变化区间（2）对于区间对于区间具有可加性，具有可加性，而而（3）可以）可以“以匀代不匀以匀代不匀”求部分量求部分量的近似值的近似值个小区间个小区间即如果用分点即如果用分点把区间把区间分成分成相应地分成相应地分成则则个部分量个部分量2 2其中其中于是于是得得 这里这里含义是含义是是较是较高阶无穷小高阶无穷小. 即即是是的的线性主部线性主部.一般地一般地, 如果某个实际问题具有上述的三个特点如果某个实际问题具有上述的三个特点,在利用定积分求解时在利用定积分求解时,可以按下述的步骤求解可以按下述的步骤求解:3 3这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法或或元素法元素法4 4应用方向：应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等5 5二二 平面图形的面积平面图形的面积1 直角坐标系平面图形的面积直角坐标系平面图形的面积 SS6 6设设上连续函数上连续函数满足满足则由曲线则由曲线与与所围的平面图形的面积所围的平面图形的面积为为2. 7 7事实上事实上(1) 平面图形介于平面图形介于直线直线之间之间,因此选取因此选取作为积分作为积分变量变量,作为积分作为积分区间区间;(2) 在在上任取一个区间上任取一个区间相应于该小相应于该小区间的平面图形可以近似看成以区间的平面图形可以近似看成以为高为高,为底长的长方形为底长的长方形, 所以得面积的微元素所以得面积的微元素8 8(3) 以以作为定积分的被积表示式作为定积分的被积表示式,在在作定积分得作定积分得同理由同理由上连续曲线上连续曲线与直线与直线所谓的平面所谓的平面图形的面积图形的面积 为为9 9解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量或选或选为积分变量为积分变量,1010例例2 求由曲线求由曲线所围的平面图形的所围的平面图形的面积面积解法解法I解方程组解方程组 得两曲线的交点为得两曲线的交点为 该图形可以看成是由该图形可以看成是由围成的平面围成的平面图形与图形与所围成的平面图形两个所围成的平面图形两个部分构成的部分构成的, 因此取因此取为积分变量为积分变量,积分区间分别为积分区间分别为得得1111解法解法II取取为积分变量为积分变量,积分区间为积分区间为则则1212解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积1313例例4 在曲线在曲线上求一点上求一点P，使得，使得直线直线所围成所围成该点的切线与曲线该点的切线与曲线的平面图形的面积最小。的平面图形的面积最小。解解则切线方程为则切线方程为因此因此设切点为设切点为1414因此当因此当时，面积最小。时，面积最小。所求点为所求点为15153.3.如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1616解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积17172 极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积设由曲线设由曲线及射线及射线围成一曲边扇形，围成一曲边扇形，求其面积，求其面积， 这里这里在在上连续上连续.选积分变量选积分变量积分区间积分区间在区间在区间上任取一小区间上任取一小区间相应相应地得到一小的曲边扇形地得到一小的曲边扇形, 它可以用半径为它可以用半径为中心角中心角为为的扇形近似代替的扇形近似代替, 因此因此1818同理同理,由连续曲线由连续曲线及射线及射线所围的平面图形的面积为所围的平面图形的面积为1919解解利用对称性知利用对称性知2020解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积2121例例8 求由曲线求由曲线所围成的平所围成的平面图形面图形(如图所示阴影部分如图所示阴影部分)的面积的面积.解解解方程组解方程组得得取积分变量取积分变量积分区间积分区间因此因此2222三三 立体的体积立体的体积1 已知平行截面面积的立体的体积已知平行截面面积的立体的体积设空间某立体是由一曲面和过设空间某立体是由一曲面和过且垂直于且垂直于轴轴的两平面围成的两平面围成, 如果已知该立体上且垂直于如果已知该立体上且垂直于个截面面积个截面面积轴的各轴的各求此立体体积求此立体体积. 其中其中为区为区间间上连续函数上连续函数.取取为积分变量，为积分变量，为积分区间，为积分区间，在在任取任取一小区间一小区间可以近似地看可以近似地看成以成以为底，为底，为高的柱体，为高的柱体，截下的物体截下的物体相应相应所以所以2323设空间某立体是由一曲面和过设空间某立体是由一曲面和过且垂直于且垂直于轴轴的两平面围成的两平面围成, 如果已知该立体上且垂直于如果已知该立体上且垂直于个截面面积个截面面积轴的各轴的各求此立体体积求此立体体积. 其中其中为区为区间间上连续函数上连续函数.取取为积分变量，为积分变量，为积分区间，为积分区间，在在任取任取一小区间一小区间可以近似地看可以近似地看成以成以为底，为底，为高的柱体，为高的柱体，截下的物体截下的物体相应相应所以所以2424解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积2525解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积26262 旋转体体积旋转体体积设空间物体是由连续曲线设空间物体是由连续曲线与直线与直线及及轴围成的平轴围成的平面图形绕面图形绕轴旋转一周而得轴旋转一周而得的的, 求此物体的体积求此物体的体积.取取为积分变量为积分变量,为积分区间为积分区间, 在在上任取上任取一点一点相应物体的截面是以相应物体的截面是以为半径的圆为半径的圆, 因此其因此其面积为面积为所以所求的物体体积为所以所求的物体体积为2727同理同理,空间物体是由连续曲空间物体是由连续曲线线与直与直及及轴围成的平轴围成的平面图形绕面图形绕轴旋转一周而得轴旋转一周而得的的,线线此物体的体积为此物体的体积为2828例例11求由曲线求由曲线直线直线及及轴所围平轴所围平面图形绕面图形绕轴旋转一周所得立体的体积轴旋转一周所得立体的体积.解解绕绕轴旋转轴旋转取取为积分变量为积分变量,为积分为积分区间区间, 则则绕绕轴旋转轴旋转 取取为积分变量为积分变量, 0,2为积分区间为积分区间, 相应的截面面积为相应的截面面积为 因此因此 对对上任一上任一2929例例12求由曲线求由曲线及及在点在点处的切线和处的切线和平面图形绕平面图形绕立体的体积立体的体积.解解 在点在点处切线方程处切线方程为为轴围成的轴围成的轴旋转一周所得轴旋转一周所得3030解解由对称性得旋转体的体积由对称性得旋转体的体积的参数方程为的参数方程为3131例例14求由连续曲线求由连续曲线直线直线及及轴所围的曲边梯形轴所围的曲边梯形绕绕轴旋转一周所得立轴旋转一周所得立体体积体体积.解解取取为积分变量为积分变量,为积分区间为积分区间, 在在上上任取小区间任取小区间相应的曲边梯形可以近似地看相应的曲边梯形可以近似地看成底长为成底长为高为高为的矩形的矩形,其绕其绕轴旋转一周轴旋转一周所得的旋转体体积为所得的旋转体体积为所以所以3232四四 平面曲线弧长平面曲线弧长33331 直角坐标表示的平面曲线的弧长直角坐标表示的平面曲线的弧长 设曲线弧为设曲线弧为其中其中在在上有一阶连续导数上有一阶连续导数, 取积分取积分变量为变量为在在上任取小上任取小区间区间以对应小切以对应小切线段的长代替小弧段的长度线段的长代替小弧段的长度.小切线段的长为小切线段的长为弧长元素弧长元素弧长弧长3434解解所求弧长为所求弧长为例例16解求曲线解求曲线的全长的全长.解解定义域为定义域为35352 参数方程所表示的平面曲线的弧长参数方程所表示的平面曲线的弧长设曲线弧的参数方程为设曲线弧的参数方程为其中其中在在上具有连续导数上具有连续导数, ,且且则则所以所以3636解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长37373 极坐标方程表示的平面曲线的弧长极坐标方程表示的平面曲线的弧长 设曲线弧为设曲线弧为其中其中在在上具有连续导数上具有连续导数.弧长弧长 3838解解3939