上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回第一节第一节 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理四、小结四、小结 思考题思考题 上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回一、罗尔(Rolle)定理例如例如,上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释: :变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释: :上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回证证上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回二、拉格朗日(Lagrange)中值定理上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回例例2 2证证上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回例例3 3证证由上式得由上式得上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回三、柯西(Cauchy)中值定理上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回例例4 4证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回练练 习习 题题上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回上上页下下页返回返回