第第9章章 数学外形学及其运用数学外形学及其运用内容提要内容提要:9.1 概述概述9.1.1 数学外形学的开展简史及根数学外形学的开展简史及根本思想本思想9.1.2 几个根本概念几个根本概念9.2 二值外形学二值外形学9.2.1 二值腐蚀二值腐蚀9.2.2 二值膨胀二值膨胀9.2.3 二值开运算二值开运算9.2.4 二值闭运算二值闭运算n9.3 灰值外形学灰值外形学n9.3.19.3.4 灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运灰度腐蚀、膨胀、开运算、闭运算算n9.3.5 灰值外形学梯度灰值外形学梯度n9.3.6 高帽变换和低帽变换高帽变换和低帽变换n9.3.7 开闭运算和闭开运算开闭运算和闭开运算n9.4 彩色外形学选学彩色外形学选学n9.4.1 彩色外形学的根本方法彩色外形学的根本方法n9.4.2 基于数学外形学的彩色图像滤波基于数学外形学的彩色图像滤波9.1 概述概述u9.1.1 9.1.1 数学外形学的开展简史及根本思想数学外形学的开展简史及根本思想u可回溯到可回溯到1919世纪世纪EulerEuler、2020世纪世纪MinkowskiMinkowski等人等人的研讨。的研讨。u19641964年法国的年法国的MatheronMatheron和和SerraSerra在积分几何的研在积分几何的研讨成果上，将数学外形学引入图像处置领域，讨成果上，将数学外形学引入图像处置领域，并研制了基于数学外形学的图像处置系统。并研制了基于数学外形学的图像处置系统。u19681968年在巴黎矿业学院创建了数学外形学研讨年在巴黎矿业学院创建了数学外形学研讨中心。中心。uMatheronMatheron于于19751975年出版的年出版的Random Sets and Integral Geometry一书论述了随机集合论、一书论述了随机集合论、积分几何论和拓扑逻辑论，为数学外形学奠定积分几何论和拓扑逻辑论，为数学外形学奠定了坚实的实践根底。了坚实的实践根底。u1982年年Serra的的专著著是数学外形学开展的重要里程碑。是数学外形学开展的重要里程碑。u1985年年以以后后，一一些些相相关关领域域的的国国际会会议开开场把把数数学学外外形形学学列列为学学术讨论专题，或，或专门举行研行研讨会。会。u1990年年 起起 ， SPIE每每 年年 举 行行 一一 次次 “Image Algebra and Morphological Image Processing会会议。u1986年年(GVGIP)出出版版了了数学外形学数学外形学专刊刊u1989年年和和1994年年出出版版了了外外形学在信号形学在信号处置中的运用研置中的运用研讨专辑。数学外形学是研讨空间构造的外形、框架的学科数学外形学是研讨空间构造的外形、框架的学科以以积分分几几何何、集集合合代代数数及及拓拓扑扑论为实践践根根底底，此此外外还涉涉及及随随机机集集论、近近世世代代数数和和图论等等一一系系列列数数学分支。学分支。数数学学外外形形学学的的实践践虽然然很很复复杂，被被称称为“惊惊人人的的数数学，但它的根本思想却是学，但它的根本思想却是简单而完美的。而完美的。数学外形学的基于集合的数学外形学的基于集合的观念是极其重要的。念是极其重要的。数学外形学的基于集合的观念数学外形学的基于集合的观念1 1运算由集合运算如并、交、运算由集合运算如并、交、补等来定等来定义；2 2一切的一切的图像都必需以合理的方式像都必需以合理的方式转换为集合。集合。外外形形学学算算子子的的性性能能主主要要以以几几何何方方式式进展展描描写写，更更适适宜宜视觉信息的信息的处置和分析。置和分析。根本思想：根本思想：利利用用构构造造元元素素作作为“探探针在在图像像中中不不断断挪挪动，在在此此过程程中中搜搜集集图像像的的信信息息、分分析析图像像各各部部分分间的的相相互互关系，从而了解关系，从而了解图像的构造特征。像的构造特征。 图图9.1 9.1 数学外形学的方法数学外形学的方法构造元素的选择非常重要构造元素的选择非常重要根根据据探探测测研研讨讨图图像像的的不不同同构构造造特特点点，构构造造元元素素可可携携带带外外形形、大小、灰度、色度等信息。大小、灰度、色度等信息。不不同同点点的的集集合合构构成成具具有有不不同同性性质质的的构构造造元元素素。由由于于不不同同的的构构造造元元素素可可以以用用来来检检测测图图像像不不同同侧侧面面的的特特征征，因因此此设设计计符符合人的视觉特性的构造元素是分析图像的重要步骤。合人的视觉特性的构造元素是分析图像的重要步骤。最根本的外形学运算有：膨胀最根本的外形学运算有：膨胀, ,腐蚀，开，闭。腐蚀，开，闭。用用这这些些算算子子及及其其组组合合来来进进展展图图像像外外形形和和构构造造的的分分析析及及处处置置，可以处置可以处置抑抑制制噪噪声声、特特征征提提取取、边边缘缘检检测测、外外形形识识别别、纹纹理理分分析析、图像恢复与重建等方面的问题。图像恢复与重建等方面的问题。数学外形学进展图像处置有其独有的特性：数学外形学进展图像处置有其独有的特性：1 1反反映映的的是是一一幅幅图图像像中中像像素素点点间间的的逻逻辑辑关系，而不是简单的数值关系。关系，而不是简单的数值关系。2 2是是一一种种非非线线性性的的图图像像处处置置方方法法，并并且且具有不可逆性。具有不可逆性。3 3可以并行实现。可以并行实现。4 4可可以以用用来来描描画画和和定定义义图图像像的的各各种种集集合合参数和特征。参数和特征。9.1.2 几个根本概念几个根本概念1.击中与中与击不中不中设有有两两幅幅图像像A和和B，假假设AB空空集集，那那么么称称B击中中hitA，记为BA，；否否那那么么，假假设AB=，称称B击不不中中missA。2.平移和反射平移和反射设A是是一一幅幅数数字字图像像，a是是A的的元元素素；b是是一一个个点点，那那么么定定义A被被b平移后的平移后的结果果为 Abab| aA 9.1即整个即整个图像沿着向量像沿着向量b的方向平行挪的方向平行挪动。一幅数字一幅数字图像像A关于原点的反射定关于原点的反射定义为 AVa| -aA 9.23. 构造元素构造元素构构造造元元素素与与被被处置置的的目目的的图像像中中抽抽取取何何种种信信息息亲密相关。密相关。在在调查目目的的图像像各各部部分分之之间的的关关系系时，需需求求设计一一种种“构构造造元元素素。在在图像像中中不不断断挪挪动构构造造元元素素，就可以就可以调查图像之像之间各部分的关系。各部分的关系。根根据据不不同同的的图像像分分析析目目的的，常常用用的的构构造造元元素素有有方方形、扁平形、形、扁平形、圆形等。形等。在在多多尺尺度度外外形形学学分分析析中中，构构造造元元素素的的大大小小可可以以变化化，但但构构造造元元素素的的尺尺寸寸普普通通地地要要明明显小小于于目目的的图像的尺寸。像的尺寸。 9.2 9.2 二值外形学二值外形学二二值值图图像像是是数数字字图图像像的的重重要要子子集集，指指灰灰度度值值只取两种值的图像。只取两种值的图像。两两个个灰灰度度值值可可取取为为0相相应应的的点点构构成成背背景景和和1相应的点构成景物。相应的点构成景物。二二值值外外形形学学处处置置算算法法都都是是以以膨膨胀胀,腐腐蚀蚀这这两两种最根本的运算为根底的。种最根本的运算为根底的。普普通通设设集集合合A为为图图像像集集合合，集集合合B为为构构造造元元素，数学外形学运算是用素，数学外形学运算是用B对对A进展操作。进展操作。9.2.1 9.2.1 二值腐蚀二值腐蚀集合集合A A输入图像被集合输入图像被集合B B构造元素腐蚀构造元素腐蚀: : A B (9.3)A B (9.3) 图图9.2 9.2 腐蚀表示图腐蚀表示图9.2.2 二值膨胀二值膨胀腐腐蚀运算的运算的对偶运算，偶运算，经过对补集的腐集的腐蚀来定来定义。以以AC表示集合表示集合A的的补集，集， 表示表示B关于坐关于坐标原点的原点的反射。反射。集合集合A被集合被集合B膨膨胀表示表示为： 图图9.3 9.3 膨胀表示图膨胀表示图腐蚀和膨胀操作的直观解释腐蚀和膨胀操作的直观解释 腐蚀是对图像内部作滤波处置，而膨胀是腐蚀是对图像内部作滤波处置，而膨胀是利用构造元素对图像补集进展填充，因此利用构造元素对图像补集进展填充，因此它是对图像外部作滤波处置。它是对图像外部作滤波处置。腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩展腐蚀具有收缩图像的作用，膨胀具有扩展图像的作用。图像的作用。9.2.3 二值开运算二值开运算两种二次运算起着非常重要的作用两种二次运算起着非常重要的作用开运算开运算闭运算开运算的对偶运算闭运算开运算的对偶运算 。从构造元素填充的角度看，它们具有更从构造元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何方式。为直观的几何方式。开运算的定义假假设A仍仍为输入入图像，像，B为构造元素，利用构造元素，利用B对A作开运算，用符号作开运算，用符号AB表示，其定表示，其定义为： 或或p可以可以经过计算一切可以填入算一切可以填入图像内部的构造元素平像内部的构造元素平移的并集求得。移的并集求得。p当构造元素当构造元素B扫过整个整个图像集合内部，像集合内部，AB就是使就是使构造元素构造元素B的任何像素不越出的任何像素不越出图像像A边境的境的图像像A像素像素点的集合。点的集合。图图9.4 9.4 利用圆盘作开运算利用圆盘作开运算 9.2.4 二值闭运算二值闭运算n闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀后作腐蚀。胀后作腐蚀。n或或u开、闭运算也互为对偶运算开、闭运算也互为对偶运算u开运算具有磨光图像外边境的作用开运算具有磨光图像外边境的作用u闭运算具有磨光图像内边境的作用闭运算具有磨光图像内边境的作用图图9.5 9.5 利用圆盘作闭运算利用圆盘作闭运算9.3 灰值外形学灰值外形学在灰度图像外形处置中，输入和输出的图在灰度图像外形处置中，输入和输出的图像都是灰度级方式的像都是灰度级方式的输入和输出像素值是在最低灰度值到最高输入和输出像素值是在最低灰度值到最高灰度值之间。灰度值之间。9.3.1 灰值腐蚀灰值腐蚀外形学源于填充的概念外形学源于填充的概念灰值外形学处置的对象是图像信号波形的拓扑特灰值外形学处置的对象是图像信号波形的拓扑特性，构造元素也是一个信号。性，构造元素也是一个信号。二值外形学中，集合的交、并运算起到关键作用二值外形学中，集合的交、并运算起到关键作用在灰值外形学中这两种运算对应与极大和极小运在灰值外形学中这两种运算对应与极大和极小运算。算。可利用填充、极大可利用填充、极大/ /极小概念直接定义灰值运算。极小概念直接定义灰值运算。用构造元素用构造元素g对输入图像对输入图像f (x, y)进展灰值腐蚀记为进展灰值腐蚀记为 l用一维函数对其进展简化，定义为用一维函数对其进展简化，定义为l由于构造元素必需在信号的下方，故空间平移构由于构造元素必需在信号的下方，故空间平移构造元素的定义域必为信号定义域的子集，否那么腐造元素的定义域必为信号定义域的子集，否那么腐蚀在该点没有定义。蚀在该点没有定义。l构造元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这构造元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与构造元素从内部对二值图像滤波的情况是类似的。与构造元素从内部对二值图像滤波的情况是类似的。 图图9.6 9.6 灰值腐蚀运算灰值腐蚀运算9.3.2 灰值膨胀灰值膨胀灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。灰值膨胀可用灰值腐蚀的对偶运算来定义。采用求极大值的方法，即在位于信号下方的条件采用求极大值的方法，即在位于信号下方的条件下，求上推构造所能到达的最大值。下，求上推构造所能到达的最大值。利用构造元素的反射，求将信号限制在构造元素利用构造元素的反射，求将信号限制在构造元素的定义域内时，上推构造元素使其超越信号时的的定义域内时，上推构造元素使其超越信号时的最小值来定义。最小值来定义。 用构造元素用构造元素g对输入图像对输入图像f(x, y)进展灰值膨胀进展灰值膨胀 (f g)(s, t)=maxf(s-x, t-y)+g(x, y)|s-x, t-y Df, x+yDg 用一用一维函数函数对其其进展展简化，定化，定义为 (f g)(s)=maxf(s-x)+g(x)| s-x Df, xDg 步步骤：对构造元素构造元素g的定的定义域域Dg 中的每一个点中的每一个点x将信号将信号f平移平移x，然后，再，然后，再对每次平移信号的每次平移信号的值加上加上g(x)，这样对于构于构造元素定造元素定义域中的每个点都得到一个信号，域中的每个点都得到一个信号，对一切一切这些信号逐点取其最大些信号逐点取其最大值，便可得到膨，便可得到膨胀结果。果。图图9.7 9.7 灰值膨胀运算灰值膨胀运算 (a)灰值膨胀过程 (b)灰值膨胀结果9.3.3 灰值开运算灰值开运算灰值开和灰值闭运算是腐蚀和膨胀的组合运算。灰值开和灰值闭运算是腐蚀和膨胀的组合运算。先作腐蚀再作膨胀的迭代运算：先作腐蚀再作膨胀的迭代运算：这两种运算也为对偶运算，并且都可用填充概念来这两种运算也为对偶运算，并且都可用填充概念来阐明。阐明。 图图9.8 9.8 灰值开运算灰值开运算 9.3.4 灰值闭运算灰值闭运算根据根据对偶性定偶性定义，灰，灰值闭运算定运算定义为： fg = (f g)g (9.14)灰灰值闭运算具有运算具有扩展性展性滤波波结果果总位于原始位于原始图像的上方。它从像的上方。它从图像像的上方磨光的上方磨光图像灰像灰值外表向下突出的尖峰外表向下突出的尖峰即波谷。即波谷。 图图9.9 9.9 灰值闭运算灰值闭运算图图9.10 9.10 细胞组织图像的灰值外形运算细胞组织图像的灰值外形运算9.3.5 9.3.5 灰值外形学梯度灰值外形学梯度利用扁平构造元素利用扁平构造元素g对对f作腐蚀和膨胀可得到作腐蚀和膨胀可得到f的部的部分极大和极小值，与数字差分定义的梯度相应。分极大和极小值，与数字差分定义的梯度相应。外形学梯度的定义为：外形学梯度的定义为： u为了更好地获得边缘检测的效果，可以将外为了更好地获得边缘检测的效果，可以将外形学梯度与阈值结合起来运用。形学梯度与阈值结合起来运用。 图图9.11 9.11 核磁共振图像的外形学梯度核磁共振图像的外形学梯度9.3.6 9.3.6 高帽变换和低帽变换高帽变换和低帽变换经过这两种变换可以得到灰度图像中一些重要的经过这两种变换可以得到灰度图像中一些重要的标志点。标志点。在较亮的背景中求暗的像素点或在较暗的背景中在较亮的背景中求暗的像素点或在较暗的背景中求亮的像素点；检测遭到噪声污染图像中的边缘求亮的像素点；检测遭到噪声污染图像中的边缘等。等。为了使上述效果更明显，对变换后的图像也可以为了使上述效果更明显，对变换后的图像也可以作阈值处置。作阈值处置。高帽变换从一幅原始从一幅原始图像像 f 中减去中减去对其作开运算后得到其作开运算后得到图像像WHT(f)，其定，其定义为： WHT(f) = f (fg) (9.16)其中，其中，g为构造元素。构造元素。高帽高帽变换是一种波峰是一种波峰检测器器它在它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。暗的背景中求亮的像素点很有效。 低帽变换与高帽与高帽变换相相对偶的算子，定偶的算子，定义为： BHT(f) = (fg) f (9.17)低帽低帽变换是一种波谷是一种波谷检测器器适宜于在适宜于在较亮的背景中求暗的像素点。亮的背景中求暗的像素点。图图9.12 9.12 利用利用Top-HatTop-Hat和和Bot-hatBot-hat变换检测图像峰值和谷值变换检测图像峰值和谷值9.3.7 开闭运算和闭开运算开闭运算和闭开运算外形开、闭运算作为最根本的外形滤波运算。外形开、闭运算作为最根本的外形滤波运算。在实际的图像处置中，仅仅采用外形开和闭的滤在实际的图像处置中，仅仅采用外形开和闭的滤波效果往往不能令人称心。波效果往往不能令人称心。在根本的外形开、闭运算的根底上设计出外形开在根本的外形开、闭运算的根底上设计出外形开闭和外形闭开组合滤波器，发扬其更好的滤闭和外形闭开组合滤波器，发扬其更好的滤波性能。波性能。开闭运算和闭开运算互为对偶操作开闭运算和闭开运算互为对偶操作外形开外形开闭运算可以运算可以滤除除图像中外形小于构造元素的亮像中外形小于构造元素的亮噪声。噪声。外形外形闭开运算可以开运算可以滤除除图像中外形小于构造元素的暗像中外形小于构造元素的暗噪声。噪声。开开闭运算：运算： fg= fgg (9.18)闭开运算：开运算： fg = fgg (9.19)