3.3.1函数的单函数的单调性与导数调性与导数高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用1.1.函数的函数的单调性单调性与其与其导数的正负有如下关系：导数的正负有如下关系：如果如果f(x)0, 复习引入复习引入：在某个区间（在某个区间（a,ba,b) )内内, ,2.用导证明函数用导证明函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法：(1) 求求函数函数f(x)的定的定义域；域；(2)求求f(x)(3)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号；（内的符号；（4）作出结论。）作出结论。例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO（1）（2）（3）（4） 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上或向上或向下向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象“平缓平缓”. .通通过函数函数图像，不像，不仅可以看出函数的增或减，可以看出函数的增或减，还可可以看出其以看出其变化的快慢，化的快慢，结合合图像，从像，从导数的角度解数的角度解释变化快慢的情况。化快慢的情况。练习练习3.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.解解: 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区的递增区间是间是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是练习练习4.求证求证: 函数函数 在在 内是内是减函数减函数.解解: 由由 , 解得解得 , 所以函数所以函数 的递减区间是的递减区间是 , 即函数即函数 在在 内是减内是减函数函数.函数函数单调性与性与导数的关系数的关系1.如果在区如果在区间(a,b)内内f(x)0(f(x)0),那么函数那么函数f(x)在在(a,b)内内为增函数（减函数）增函数（减函数）2.如果函数如果函数f(x)在在(a,b)内内为增函数（减函数）增函数（减函数） ,那么那么f(x)0(f(x)0）在区）在区间(a,b)内恒成立。内恒成立。题型：根据函数的型：根据函数的单调性求参数的取性求参数的取值范范围函数在（函数在（0，1上单调递增上单调递增注：注： 在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）在）在这个区间上单调递增（递减）；这个区间上单调递增（递减）； 但由但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到而仅仅得到 是不够的。还有可是不够的。还有可能导数等于能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：练习：练习：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取的取值范范围。解：解：f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，f(x)=3ax2+6x-10在在R上恒成立，上恒成立，a0且且=36+12a0，a -3例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。求函数求函数 的单调区间。的单调区间。变变1：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。理解训练：理解训练：解解：的单调递增区间为的单调递增区间为单调递减区间为单调递减区间为解解：的单调递增区间为的单调递增区间为单调递减区间为单调递减区间为变变3：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。变变2：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。巩固提高：巩固提高：解解:解解:(04年全国理年全国理)Bxyo练习作业作业 P98 2