第二章 函数、导数及其应用第三课时导数与函数的综合问题第三课时导数与函数的综合问题 热点命题热点命题热点命题热点命题深度剖析深度剖析深度剖析深度剖析思想方法思想方法思想方法思想方法感悟提升感悟提升感悟提升感悟提升R热点命题热点命题 深度剖析深度剖析考点一 利用导数研究生活中的优化问题(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t。请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度。【规律方法】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点。(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点。所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42。答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减【例2】已知函数f(x)(ax2x1)ex，其中e是自然对数的底数，aR。(1)若a1，求曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；【解】a1时，f(x)(x2x1)ex，所以f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x)ex，所以曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)4e。又因为f(1)e，所以所求切线方程为ye4e(x1)，即4exy3e0。考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根 (2)若a0)，讨论h(x)零点的个数。导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题。角度一：证明不等式1(2015唐山一模)已知f(x)(1x)ex1。(1)求函数f(x)的最大值；解f(x)xex。当x(，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0时，f(x)0，g(x)01。当1x0时，g(x)x。设h(x)f(x)x，则h(x)xex1。当x(1,0)时，0x1,0ex1，则0xex1，从而当x(1,0)时，h(x)0，h(x)在(1,0上单调递减。当1xh(0)0，即g(x)1。综上，总有g(x)1。角度二：不等式恒成立问题2(2016烟台模拟)已知f(x)xln x，g(x)x2ax3。(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；【规律方法】导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式。证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)。(2)利用导数解决不等式的恒成立问题或存在型问题。利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。S思想方法思想方法 感悟提升感悟提升1个构造构造函数解决问题把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法。2个转化不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用。(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理。3个注意点利用导数解决实际问题应注意的三点(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围。(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去。(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点。