3.3 3.3 变形体内质点的应变状态分析变形体内质点的应变状态分析位移：物体内各质点在外力作用下发生的位置变化位移：物体内各质点在外力作用下发生的位置变化 。 刚性平移刚性平移 刚体转动刚体转动质点的相对位置不变质点的相对位置不变形状变化产生形状变化产生位移场位移场 应变场应变场几何学上的应变分析几何学上的应变分析应变分析应变分析 小变形小变形(103102的弹塑性变形的弹塑性变形)塑性加工塑性加工 大变形大变形(应变增量、应变速率应变增量、应变速率)原理第3.3-4节一、质点的应变状态一、质点的应变状态1、位移及其分量、位移及其分量 位移位移 变形体内任意一点变形前后的直线距离。变形体内任意一点变形前后的直线距离。(矢量矢量) 位移分量位移分量ui(u、v、w)沿坐标轴上的分量，坐标的连续函数。沿坐标轴上的分量，坐标的连续函数。位移场位移场物体变形，质点产生位移，位移引起应变；物体变形，质点产生位移，位移引起应变；一点的应变状态一点的应变状态 变形体内一点任意截面上应变的变形体内一点任意截面上应变的方方向向、大小大小和和个数个数。原理第3.3-4节M点点(x、y、z), ui (u、v、w)M点点(x+dx 、y+dy 、z+dz ), ui+ ui (u+ u、v+ v 、w+ w)泰勒级数展开泰勒级数展开位位移移增增量量xzM(xi)vuwM1M(xi+d xi)vuwuiui uiui+ uiyM1M M平行于平行于x 轴时轴时dy=0, dz=0原理第3.3-4节2、线应变与切应变、线应变与切应变 应变应变 线应变；线应变； 切应变（切应变（应变无单位应变无单位）线应变：变形体内线元长度的相对变化率；线应变：变形体内线元长度的相对变化率；切应变：变形体内相交两线元夹角变形前后的变化。切应变：变形体内相交两线元夹角变形前后的变化。线元，线元，线应变线应变(伸长为正，缩短为负）伸长为正，缩短为负）PBPAPC原理第3.3-4节 为为xy平面内的偏转角，平面内的偏转角，记记 xy ；若取；若取两相邻边线元两相邻边线元PA、PC产生相同偏转角产生相同偏转角 xy、 yx时，得到时，得到切应变切应变。线元偏转，夹角变化，产生线元偏转，夹角变化，产生切应变。切应变。工程切应变工程切应变（相对切应变）（相对切应变） 线元单位长度上的偏线元单位长度上的偏移量或两相邻边线元所夹角的变化。（角度减小为正，移量或两相邻边线元所夹角的变化。（角度减小为正，增大为负）增大为负）线元偏转方向线元偏转方向线元方向线元方向原理第3.3-4节若若两相邻边线元两相邻边线元PA、PC产生不同偏转角产生不同偏转角 xy、 yx刚体转动刚体转动理论切应变理论切应变角变形切应变刚体转动角变形切应变刚体转动切变形切变形旋转旋转原理第3.3-4节3、应变分量和应变张量、应变分量和应变张量变形叠加变形叠加 三个线应变分量、六三个线应变分量、六个切应变分量。个切应变分量。应变张量应变张量原理第3.3-4节4、点的应变状态与应力状态类比、点的应变状态与应力状态类比a、任意方向上的应变分量、任意方向上的应变分量原理第3.3-4节b、主方向、主应变、应变状态特征方程、应变摩尔圆、主方向、主应变、应变状态特征方程、应变摩尔圆c、应变张量不变量、应变张量不变量原理第3.3-4节d、主切应变和最大切应变、主切应变和最大切应变e、应变张量分解、应变张量分解应变球张量应变球张量应变偏张量应变偏张量塑性变形体积不变条件塑性变形体积不变条件原理第3.3-4节f、八面体应变和等效应变、八面体应变和等效应变等效应变等效应变单向拉伸单向拉伸原理第3.3-4节1、位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和、位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和变形体的刚性位移（刚性平移和刚体转动）；变形体的刚性位移（刚性平移和刚体转动）；2、工程切应变、工程切应变 xy和理论切应变和理论切应变 xy ；3、应变符号规定、应变符号规定 线应变线应变 ( )：伸长为正，缩短为负；：伸长为正，缩短为负； 切应变（切应变（ ）：夹角减小为正，增大为负；）：夹角减小为正，增大为负；4、应力和应变的类比、应力和应变的类比 相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似总结和讨论：总结和讨论：原理第3.3-4节差异性：差异性： 应力应力 ij 研究面元研究面元ds 上内力的集度，应力平衡微分方程；上内力的集度，应力平衡微分方程； 应变应变 ij研究线元研究线元dl 的变化情况，应变连续（协调）方程，的变化情况，应变连续（协调）方程， 塑性变形体积不变条件；塑性变形体积不变条件；等效关系：等效关系： 等效应力等效应力 弹性变形和塑性变形表达式相同；弹性变形和塑性变形表达式相同； 等效应变等效应变 弹性变形和塑性变形表达式不相同。弹性变形和塑性变形表达式不相同。塑性变形塑性变形弹性变形弹性变形原理第3.3-4节二、二、位移分量与应变分量的关系位移分量与应变分量的关系 小变形几何方程小变形几何方程单元体单元体abcd，ac = dx, ac/ox轴，轴，ab = dy，ab/oy轴，变形为轴，变形为a1b1c1d1 ，a点产生点产生x、y方向位方向位移移u、v。线应变线应变原理第3.3-4节切应变切应变小变形假设小变形假设同理对同理对 z 、 yz、 zy 、 zx 、 xz。原理第3.3-4节小变形几何方程小变形几何方程直直角角坐坐标标系系圆圆柱柱坐坐标标系系物理意义：表示位移分量与应变分量之间的关系。物理意义：表示位移分量与应变分量之间的关系。原理第3.3-4节三、应变连续方程三、应变连续方程 三个位移分量，六个应变分量，应变分量之间存在一定三个位移分量，六个应变分量，应变分量之间存在一定关系关系 应变连续方程（应变协调方程），以保证变形体变应变连续方程（应变协调方程），以保证变形体变形前后的形前后的连续性连续性，不出现，不出现“重叠重叠”和和“撕裂撕裂”。若已知位移若已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。性条件。 坐标平面内应变分量之间的关系，坐标平面内应变分量之间的关系，两个两个线应变分量线应变分量确定，则确定，则切应变切应变分量分量也确定。也确定。不同坐标平面内应变分量之间的不同坐标平面内应变分量之间的关系，三维坐标下，三个关系，三维坐标下，三个切应变切应变分量分量确定，则确定，则线应变分量线应变分量也确定。也确定。原理第3.3-4节四、应变增量和应变速率张量四、应变增量和应变速率张量应变应变 全量应变：反映变形体在某一全量应变：反映变形体在某一变形过程变形过程或变形过程或变形过程 中某一中某一阶段阶段结束时的变形大小。结束时的变形大小。 应变增量：在无限小的应变增量：在无限小的时间间隔时间间隔dt内内，变形体内质，变形体内质 点产生极小的位移变化（点产生极小的位移变化（位移增量位移增量），）， 引起的无限小的引起的无限小的应变增加量应变增加量。 应变速率：应变速率：单位时间内单位时间内的应变大小。的应变大小。1、速度场和速度分量、速度场和速度分量质点的运动速度是坐标和质点的运动速度是坐标和时间的函数，质点位移是时间的函数，质点位移是速度随时间的积分。速度随时间的积分。原理第3.3-4节2、位移增量和应变增量、位移增量和应变增量位移增量位移增量应变增量应变增量应变增量张量应变增量张量几何方程几何方程原理第3.3-4节3、应变速率、应变速率应变速率应变速率 变形速度变形速度 （s -1） 应变速率分量应变速率分量几何方程几何方程应变速率张量应变速率张量应变速率表示瞬时的应变速率表示瞬时的变形程度变形程度大小，与工具的速度有区别；应大小，与工具的速度有区别；应变速率不单取决于变速率不单取决于工具速度工具速度，还与，还与变形体尺寸变形体尺寸及及边界条件边界条件有关。有关。原理第3.3-4节五、塑性变形程度的表达方式五、塑性变形程度的表达方式1、相对应变、相对应变相对延伸率相对延伸率相对端面收缩率相对端面收缩率2、对数应变（真实应变）、对数应变（真实应变）对数应变对数应变 用用应变增量的积分应变增量的积分来表示的全量应来表示的全量应变，能反映变形体变形的变，能反映变形体变形的实际情况实际情况（真实应变真实应变) 。应变增量应变增量总应变总应变原理第3.3-4节3、应变的变换关系、应变的变换关系拉伸均匀变形阶段拉伸均匀变形阶段原理第3.3-4节4、对数应变的特点、对数应变的特点对数应变具有叠加性，是可加应变；对数应变具有叠加性，是可加应变；相对应变不具可加性；相对应变不具可加性；对数应变为可比应变；对数应变为可比应变；相对应变不具可比性。相对应变不具可比性。对数应变反映瞬时的变形，真实表示塑性变形过程，塑性成对数应变反映瞬时的变形，真实表示塑性变形过程，塑性成形中一般采用对数应变来表示变形程度；小变形时，如无特殊形中一般采用对数应变来表示变形程度；小变形时，如无特殊说明认为两者相等；说明认为两者相等；对数应变不具有坐标的旋转性质，只能用于主应变方向不变对数应变不具有坐标的旋转性质，只能用于主应变方向不变的情况，对数应变不是张量。的情况，对数应变不是张量。伸长一倍伸长一倍缩短一倍缩短一倍注：注：原理第3.3-4节六、塑性变形体积不变条件六、塑性变形体积不变条件变形前变形前变形后变形后体积变化率体积变化率塑性变形体积不变塑性变形体积不变对数应变的体积不变条件对数应变的体积不变条件三种主应变状态图三种主应变状态图（线应变线应变 和和 不能全部同号不能全部同号）原理第3.3-4节主应力主应力与与主应变主应变的组合：的组合： 主应力主应力 9种；种； 主应变主应变 3种种 一共只有一共只有23种可能的应力应变组合。种可能的应力应变组合。？主应力主应力主应变主应变主应变主应变原理第3.3-4节120mm 36mm 0.5mm 的板，长度拉伸至的板，长度拉伸至144mm ，宽度不变，求板的最终尺寸宽度不变，求板的最终尺寸例例3-4 体积不变条件应用体积不变条件应用板的最终尺寸为板的最终尺寸为144mm 36mm 0.417mm 原理第3.3-4节七、平面变形和轴对称变形七、平面变形和轴对称变形1、平面变形、平面变形体积不体积不变条件变条件几何几何方程方程平面应力问题时，平面应力问题时， z不一定等于零，不一定等于零， x = - y不一定成立，其它相同。不一定成立，其它相同。2、轴对称变形、轴对称变形几何方程几何方程某些轴对称问题某些轴对称问题原理第3.3-4节3.4 3.4 屈服准则屈服准则物体变形：物体变形：弹性变形弹性变形 塑性变形塑性变形 = S单向拉伸：单向拉伸：弹性伸长变形弹性伸长变形屈服屈服均匀塑性变形均匀塑性变形 塑性失稳塑性失稳断裂断裂多向应力状态：考虑所有应力分量，以及物体变形与应力多向应力状态：考虑所有应力分量，以及物体变形与应力 状态的特点。状态的特点。屈服准则：屈服准则：变形体内质点由变形体内质点由弹性状态过渡到弹性状态过渡到塑性状态塑性状态，并，并维持维持继续继续进行塑性变形进行塑性变形所需满足的力学条件，所需满足的力学条件，即即各应力分量各应力分量与与材料性能材料性能之间必须符合的一定之间必须符合的一定关系。关系。(塑性条件、屈服条件塑性条件、屈服条件)原理第3.3-4节说明：说明：对于各向同性材料，对于各向同性材料，f 为为应力不变量应力不变量的函数；的函数；C是只与变形时是只与变形时材料性质材料性质有关的常数，或是与有关的常数，或是与材料性质材料性质以及以及应变历史应变历史有关的函数；有关的函数；屈服准则只是针对屈服准则只是针对变形体内的质点变形体内的质点，而不是整个变形体；，而不是整个变形体；f ( ij ) C 无意义无意义。已提出基于不同假设而产生屈服的力学条件，但普遍应用已提出基于不同假设而产生屈服的力学条件，但普遍应用且较符合实际的主要有且较符合实际的主要有密席斯密席斯(Mises)屈服准则和屈服准则和屈雷斯加屈雷斯加(Tresca)屈服准则。屈服准则。原理第3.3-4节1864年，年， Tresca，挤压实验，提出，挤压实验，提出Tresca屈服准则屈服准则 材材料的屈服与最大切应力有关，即当变形体内质点的料的屈服与最大切应力有关，即当变形体内质点的最大切最大切应力应力达到达到某一定值某一定值（材料的性能：剪切屈服强度）时，材（材料的性能：剪切屈服强度）时，材料就发生屈服。（最大切应力不变条件）料就发生屈服。（最大切应力不变条件）一、一、 Tresca屈服准则屈服准则单向应力状态单向应力状态原理第3.3-4节一般应力条件下一般应力条件下平面应变状态和主应力异号的平面应力状态下平面应变状态和主应力异号的平面应力状态下物理意义：当材料产生塑性变形时，体内质点的最大切物理意义：当材料产生塑性变形时，体内质点的最大切 应力保持不变。应力保持不变。或或原理第3.3-4节受内压薄壁圆筒，受内压薄壁圆筒，半径半径r =300mm，内压，内压p=35Mpa，(1) S =700Mpa，求管处，求管处于弹性变形的最小壁厚于弹性变形的最小壁厚tmin 。例例3-5 Tresca屈服屈服准则的应用准则的应用原理第3.3-4节1913年，年，Mises屈服准则屈服准则 当质点的等效应力到达某定当质点的等效应力到达某定值时，材料屈服，该定值与应力状态无关。值时，材料屈服，该定值与应力状态无关。二、二、 Mises屈服准则屈服准则单向应力状态下单向应力状态下原理第3.3-4节物理意义：物理意义：(1926年，年，Hencky )在三向应力的作用下，当在三向应力的作用下，当变形体内单位体积形状改变的弹性能达到某常数时，材变形体内单位体积形状改变的弹性能达到某常数时，材料屈服。料屈服。单位体积的弹性能单位体积的弹性能体积变形能体积变形能形状变形能形状变形能Mises屈服准则屈服准则原理第3.3-4节平面应力状态下平面应力状态下平面应变状态下平面应变状态下轴对称应力状态下轴对称应力状态下原理第3.3-4节例例3-6 Mises屈服屈服准则的应用准则的应用受内压薄壁圆筒，受内压薄壁圆筒，半径半径r =300mm，内压，内压p=35Mpa，(1) S =700Mpa，求管处于，求管处于弹性变形的最小壁厚弹性变形的最小壁厚tmin 。原理第3.3-4节屈服准则的数学表达式可用几何图形描述，即屈服屈服准则的数学表达式可用几何图形描述，即屈服轨迹和屈服表面。轨迹和屈服表面。三、屈服准则的几何表达三、屈服准则的几何表达 屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面1、平面应力状态的屈服轨迹、平面应力状态的屈服轨迹Mises椭圆，长半轴椭圆，长半轴 ，短半轴，短半轴 。Mises屈服准则屈服准则( 3 = 0)坐标变换坐标变换原理第3.3-4节Tresca屈服准则屈服准则( 3 = 0)Tresca屈服轨迹屈服轨迹 内接于内接于Mises椭圆的六边形，椭圆的六边形， Tresca六边形。六边形。对于理想塑性材料，按对于理想塑性材料，按Tresca屈服准则，点位于六边形上屈服准则，点位于六边形上 塑性塑性，六边形内，六边形内 弹性弹性，六边形外，六边形外 无意义无意义；按；按Mises屈服准则，点位于椭圆上屈服准则，点位于椭圆上 塑性塑性，椭圆内，椭圆内 弹性弹性，椭圆外椭圆外 无意义无意义。原理第3.3-4节两个轨迹有差别，两个轨迹有差别， Mises椭圆在外，椭圆在外，Tresca六边形在内，要产生塑性变六边形在内，要产生塑性变形，按形，按Mises准则，需要较大的应力；准则，需要较大的应力；两个轨迹六个交点两个轨迹六个交点A ( S,0) 、C ( S, S ) 、E (0 , S) 、G ( - S,0) 、I ( - S, - S ) 、K (0 ,- S) ，为，为单向应力单向应力状态状态和和轴对称轴对称应力状态，两应力状态，两准则一致准则一致。两个轨迹六个点两个轨迹六个点B( ) 、D ( ) 、F( ) 、 H ( ) 、J( ) 、L ( ) ，为，为纯剪切应力纯剪切应力状态和状态和平面应变平面应变应力状态，应力状态，两准则差别最大。两准则差别最大。原理第3.3-4节2、屈服表面、屈服表面主应力空间主应力空间 以主轴作为坐标系的空间。以主轴作为坐标系的空间。任意点任意点P，矢量，矢量OP ，等倾线，等倾线ON，分解为，分解为OM和和MP ， OM代表代表应力球张量应力球张量， MP代代表表应力偏张量应力偏张量。按按Mises屈服准则屈服准则原理第3.3-4节Mises屈服表面屈服表面 以为以为ON轴线，以轴线，以为为 半径的圆柱面，半径的圆柱面， Mises圆柱面。圆柱面。Tresca屈服表面屈服表面 Mises圆柱的内接圆柱的内接六棱正柱面，六棱正柱面， Tresca六棱柱面。六棱柱面。屈服表面与主轴坐标平面的交线即屈屈服表面与主轴坐标平面的交线即屈服轨迹，服轨迹，12个特征点在屈服表面上为个特征点在屈服表面上为柱面的母线。柱面的母线。屈服表面的几何意义：主应力空间上的点位于屈服表面屈服表面的几何意义：主应力空间上的点位于屈服表面上，处于塑性状态；在屈服表面内，处于弹性状态；对上，处于塑性状态；在屈服表面内，处于弹性状态；对理想塑性材料，位于屈服表面外，无意义。理想塑性材料，位于屈服表面外，无意义。原理第3.3-4节 平面平面 主应力空间中，过原点垂直于等倾线主应力空间中，过原点垂直于等倾线 ON的平面。的平面。应力球张量为应力球张量为0，单向应力线单向应力线纯剪切线纯剪切线3、 平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹原理第3.3-4节设设 ，Tresca屈服准则中间主应力对屈服没有屈服准则中间主应力对屈服没有影响，影响， Mises屈服准则中间主应力对屈服有影响。屈服准则中间主应力对屈服有影响。四、中间主应力的影响四、中间主应力的影响 屈服准则的简化表达式屈服准则的简化表达式罗德罗德(Lode)应力参数，表示应力参数，表示 2在应力莫尔圆中的位置变化。在应力莫尔圆中的位置变化。原理第3.3-4节Mises屈服准则屈服准则中间主应力中间主应力 应应 力力 状状 态态10111.1551圆柱体应力状态圆柱体应力状态(单向应力叠加静水应力单向应力叠加静水应力)平面应变应力状态平面应变应力状态(纯剪切叠加静水应力纯剪切叠加静水应力)圆柱体应力状态圆柱体应力状态(单向应力叠加静水应力单向应力叠加静水应力)Tresca屈服准则屈服准则T准则准则K = 0.5 S， M准则准则K = 0.50.577 S；在板料成形等在板料成形等平面应力平面应力状态中，状态中， 可取在可取在 上的平均值，约为上的平均值，约为 =1.1。T准则准则M准则准则-1+101.1551原理第3.3-4节两个屈服准则的比较两个屈服准则的比较（各向同性理想塑性材料）（各向同性理想塑性材料）两屈服准则的表达式与坐标的选择无关，是应力不变量的两屈服准则的表达式与坐标的选择无关，是应力不变量的函数；函数；三个主应力可以任意置换，且拉应力与压应力作用相同；三个主应力可以任意置换，且拉应力与压应力作用相同；屈服准则表达式与应力球张量无关；屈服准则表达式与应力球张量无关；（实际应力球张量的影响（实际应力球张量的影响可参阅固体现实应力空间的钟罩理论）可参阅固体现实应力空间的钟罩理论）Tresca 屈服准则只和最大、最小主应力相关，是线性函数，屈服准则只和最大、最小主应力相关，是线性函数，当主应力顺序已知时，使用方便；当主应力顺序已知时，使用方便；Mises屈服准则还考虑中间屈服准则还考虑中间主应力的影响；主应力的影响；实验证明一般韧性金属材料与实验证明一般韧性金属材料与Mises屈服准则符合较好；屈服准则符合较好；Mises屈服表面是屈服表面是Tresca 六棱柱面的六棱柱面的外接圆柱面，当单向应外接圆柱面，当单向应力和轴对称应力状态时，两准则相同；当平面应变状态时，力和轴对称应力状态时，两准则相同；当平面应变状态时，两准则相差最大。两准则相差最大。原理第3.3-4节五、五、硬化硬化材料的屈服准则简介材料的屈服准则简介材料加工硬化类型材料加工硬化类型 等向强化等向强化 随动强化随动强化 混合强化混合强化 2 1 2 1 2 1各向同性材料的等向强化各向同性材料的等向强化材料硬化后仍保持各向同性；材料硬化后仍保持各向同性；硬化后屈服轨迹的中心位置硬化后屈服轨迹的中心位置和形状保持不变。和形状保持不变。原理第3.3-4节材料加工硬化规律的两种假设材料加工硬化规律的两种假设单一曲线假设单一曲线假设 ：流动应力是：流动应力是等效应变等效应变的函数，与应力的函数，与应力状态无关，决定于材料的性质；该假设方便应用，有待状态无关，决定于材料的性质；该假设方便应用，有待进一步证实。进一步证实。能量条件假设：材料的硬化程度取决于变形过程中的能量条件假设：材料的硬化程度取决于变形过程中的塑塑性变形功性变形功，与应力状态和加载路径无关；该假设具有一，与应力状态和加载路径无关；该假设具有一般性，较复杂，不便应用。般性，较复杂，不便应用。原理第3.3-4节加工硬化模型加工硬化模型硬化材料变形的三种应力状况硬化材料变形的三种应力状况当当 时，加载，塑性流动；时，加载，塑性流动；当当 时，卸载，弹性变形；时，卸载，弹性变形；当当 时，中性变载，保持变形。时，中性变载，保持变形。原理第3.3-4节例例3-7 屈服准则在塑性加工中的实际运用屈服准则在塑性加工中的实际运用应区分弹性区和塑性区，选择合适的屈服准则；在塑性加工中，应区分弹性区和塑性区，选择合适的屈服准则；在塑性加工中，为了控制变形，必须让需要变形的部分优先满足屈服准则。为了控制变形，必须让需要变形的部分优先满足屈服准则。 zA rA AAB zB zA rA A zBABABFF AB原理第3.3-4节例例3-8 判断应力状态是塑性还是弹性状态判断应力状态是塑性还是弹性状态?0.2 S0.8 S0.8 S0.2 S1.2 S0.7 S0.4 S1.5 S0.9 S塑性塑性塑性塑性塑性塑性弹性弹性不存在不存在弹性弹性原理第3.3-4节例例3-9 屈服准则的屈服准则的应用应用受内压薄壁圆筒，受内压薄壁圆筒，半径半径r ，内压，内压p，壁厚，壁厚t ， 屈服极限屈服极限 S ，求产生屈服的内压，求产生屈服的内压p 。Mises屈服准则屈服准则Tresca 屈服准则屈服准则原理第3.3-4节