第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1 1页页第七章第七章 习题课习题课第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2 2页页平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数延续的概念延续的概念极极 限限 运运 算算多元延续函数多元延续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3 3页页全微分全微分的运用的运用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法那么求导法那么复合函数复合函数求导法那么求导法那么全微分方式全微分方式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的运用经济上的运用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4 4页页1.1.区域区域1邻域邻域第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第5 5页页3n维空间维空间2区域区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第6 6页页2.2.多元函数概念多元函数概念定义第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第7 7页页3.3.多元函数的极限多元函数的极限第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第8 8页页阐明：阐明：1定义中定义中 的方式是恣意的；的方式是恣意的；2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限3二元函数的极限运算法那么与一元函数类似二元函数的极限运算法那么与一元函数类似4.4.极限的运算极限的运算第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第9 9页页5.5.多元函数的延续性多元函数的延续性第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1010页页6.6.闭区域上延续函数的性质闭区域上延续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元延续函数，在上的多元延续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值2最大值和最小值定理最大值和最小值定理1有界性定理有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元延续函数是上的多元延续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元延续函数，假设上的多元延续函数，假设在在D D上获得两个不同的函数值，那么它在上获得两个不同的函数值，那么它在D D上上获得介于这两值之间的任何值至少一次获得介于这两值之间的任何值至少一次3介值定理介值定理第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1111页页7.7.偏导数概念偏导数概念第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1212页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1313页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1414页页. .高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1515页页. .偏导数在经济上的运用偏导数在经济上的运用: :交叉弹性交叉弹性第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1616页页即即第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1717页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1818页页10.10.全微分概念全微分概念第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第1919页页多元函数延续、可导、可微的关系多元函数延续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数延续函数延续偏导数延续偏导数延续函数可导函数可导第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2020页页11.11.全微分的运用全微分的运用主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2121页页12.12.复合函数求导法那么复合函数求导法那么以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2222页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2323页页13.13.全微分方式不变性全微分方式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间的函数或中间变量变量 的函数，它的全微分方式是的函数，它的全微分方式是一样的一样的.第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2424页页隐函数的求导公式隐函数的求导公式14.14.隐函数的求导法那么隐函数的求导法那么第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2525页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2626页页15.15.多元函数的极值多元函数的极值定义定义第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2727页页多元函数获得极值的条件多元函数获得极值的条件 定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点函数的驻点. .极值点极值点留意留意驻点驻点第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2828页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第2929页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3030页页条件极值：对自变量有附加条件的极值条件极值：对自变量有附加条件的极值第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3131页页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3232页页1. 讨论二重极限讨论二重极限解法解法1解法解法2 令令解法解法3 令令时, 以下算法能否正确?第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3333页页分析分析:解法1解法2 令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 .第二步 未思索分母变化的一切情况, 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3434页页解法3 令此法忽略了 的恣意性,极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 由于都不能保证自变量在定义域内以恣意方式趋于原点 .特别要留意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要留意在定义域内 r , 的变化应该是恣意的. 同时还可看到, 此题极限实践上不存在 .第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3535页页提示提示: 利用利用 故 f 在 (0,0) 延续;知在点(0,0) 处延续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明证明:第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3636页页而所以 f 在点(0,0)不可微 !第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3737页页例例1. 知知求出 的表达式. 解法解法1 令令即解法解法2 以下与解法1 一样.那么且第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3838页页例例2 2解解第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第3939页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4040页页例例3 3解解第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4141页页于是可得于是可得,例例4 4解解第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4242页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4343页页例例2. 设设其中 f 与F分别具解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得有一阶导数或偏导数, 求(2019 考研)第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4444页页解法解法2 方程两边求微分, 得化简消去 即可得第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4545页页例例3.3.设设有二阶延续偏导数, 且求解解:第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4646页页例例5 5解解分析分析:第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4747页页得得第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4848页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第4949页页有延续的一阶偏导数 , 及分别由下两式确定求又函数答案答案:( 2019考研 3. 设设第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第5050页页4. 设设均可微, 且在约束条件(x, y) 0下的一个极值点, 知 (x0, y0) 是 f (x, y)以下选项正确的选项是( ) D(2019考研)第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/17/20249/17/2024第第5151页页提示提示: 设设()代入()得