因式分解综合运用因式分解综合运用一、检测训练：分解因式（1）a-2a2+a3 (2) x2(a-1)+y2(1-a) (3) 4a(2x-y)2-36a (4) (x2+y2)2-4x2y2(5) (x2-3)2+(3-x2)+1 (6) m4-2(m2-1/2)(7) -3a(1-x)-2b(x-1)+(1-x) (8) 8x(2x+y)3-12x2(2x+y)2二、用简便方法计算：（1）399401 （2） 5921859+92（3）（4） 23101299223三、在实数范围内分解因式。（1） x2-5 (2)x4-9 (3) x4-10x2+25 (4) x4-4y4因式分解综合运用因式分解综合运用1、已知、已知a+b=5, ab=7 ，先化简再求，先化简再求a2b+ab2-a-b之值之值2、已知、已知a,b,c是三角形是三角形ABC三边，且三边，且4a2b-8a2c-4abc+8a3=0，判断三角形形状。，判断三角形形状。3、试说明、试说明32012432011+1032010能被能被7整除。整除。4、设、设n为整数，试说明为整数，试说明(2n+1)2-25能被能被4整除。整除。5、二次三项式、二次三项式mx2+32x-25(m0)有一个因式为有一个因式为2x+5，求另一，求另一个因式及个因式及m的值。的值。6、已知、已知a+b=1/2, ab=3/8 ，求，求a3b+2a2b2+ab3之值之值7、已知、已知a,b为实数，且为实数，且a2-2a+b2=-1，求，求 的值。的值。8、已知、已知a2+b2=25, a+b=7 ，且，且ab，求，求a-b的值。的值。9、已知、已知x+y-2+x2-2xy+y2=0，求，求x+2y的值。的值。10、已知、已知x(x-1)-(x2-y)=-3, 求求x2+y2-2xy的值的值11、已知、已知a-3=b+c，求多项式求多项式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b-a+c)的值。的值。12、给出三个多项式、给出三个多项式2a2+3ab+b2, 3a2+3ab, a2+ab，任选两个进行加法（或减法），再将结果分解因式。任选两个进行加法（或减法），再将结果分解因式。13 已知已知a2+b2-a+4b+17/4=0 ，求，求a,b之值之值3. 手表表盘的外圆直径手表表盘的外圆直径D=cm,内圆直径内圆直径d=cm，在外圆与内，在外圆与内圆之间涂有黑色材料，如右图，试求涂上材料的圆环的圆之间涂有黑色材料，如右图，试求涂上材料的圆环的面积（面积（ ，结果保留两位有效数字），结果保留两位有效数字）.怎样计算比较简怎样计算比较简便？便？练习练习 解：解：1. 平方差公式是什么样子？平方差公式是什么样子？ 说一说说一说( (a+b)()(a- -b) )=a2- -b22. 如何把如何把 x2- -25 因式分解？因式分解？ 把平方差公式从右到左地使把平方差公式从右到左地使用，就得出用，就得出 x2- -25 = x2- -52 = ( (x+5)()(x- -5) ) 像上述例子那样，把乘法公式从右到左地像上述例子那样，把乘法公式从右到左地使用，可以把某些类型的多项式因式分解，这使用，可以把某些类型的多项式因式分解，这种方法叫做种方法叫做公式法公式法. 例例1 把把4x2- -y2 因式分解因式分解. 举举例例分析分析 可以用平方差公式进行因式分解吗？可以用平方差公式进行因式分解吗？因为因为4x2可以写可以写成成( (2x) )2，所以，所以能用平方差公能用平方差公式因式分解式因式分解.解解4x2- -y2 = ( (2x) )2- -y2= ( (2x+y)()(2x- -y) ).例例2 把把 25x2 - - y2 因式分解因式分解举举例例例例3 把把 ( (x+y) )2- -( (x- -y+1) )2 因式分解因式分解 .举举例例解解( (x+y) )2- -( (x- -y+1) )2= (x+y) )+( (x- -y+1)()(x+y) )- -( (x- -y+1)= ( (2x+1)()(x+y- -x+y- -1) )= ( (2x+1)()(2y- -1) )例例4 把把x4- -y4 因式分解因式分解. 举举例例分析分析 可以用平方差公式进行因式分解吗？可以用平方差公式进行因式分解吗？可以！因为可以！因为 x4- -y4=( (x2) )2- -( (y2) )2解解x4- -y4= ( (x2) )2- -( (y2) )2= ( (x2+y2)()(x2- -y2) )= ( (x2+y2)()(x+y)()(x- -y) ) 在例在例4中，第一次用平方差公式因式分解后，中，第一次用平方差公式因式分解后，得到的一个因式得到的一个因式x2- -y2还可以再用平方差公式因式还可以再用平方差公式因式分解分解. 在因式分解中，必须进行到每一个因式都不在因式分解中，必须进行到每一个因式都不能再分解为止能再分解为止.例例4 把把x4- -y4因式分解因式分解. 解解x4- -y4 = ( (x2) )2- -( (y2) )2 = ( (x2+y2)()(x2- -y2) ) = ( (x2+y2)()(x+y)()(x- -y) )注意注意例例5 把把 x3y2 - -x5 因式分解因式分解 .举举例例分析分析 第一步做什么？第一步做什么？先提出公先提出公因式因式x3.解解 x3y2- -x5= x3( (y2- -x2) )= x3( (y+x)()(y- -x) ). 要是能把要是能把2表示成表示成某个数的平方，那就某个数的平方，那就可以用平方差公式进可以用平方差公式进行因式分解行因式分解. 在系数为实数的多项式组成的集合中，在系数为实数的多项式组成的集合中，x2- -2能表示成两个多项式的乘积的形式吗？能表示成两个多项式的乘积的形式吗？探究探究上学期学过，上学期学过，因此，因此，x2- -2能进行因式分解：能进行因式分解： 本书如果没有特别声明，都是在系数为本书如果没有特别声明，都是在系数为有理数的多项式组成的集合中进行因式分解有理数的多项式组成的集合中进行因式分解 .注意注意 1. 填空：填空：练习练习（1）9y2 = ( ( ) )2；3y2. 把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：答案答案：( (3y+2x)()(3y- -2x) )（1）9y2- -4x2；答案：答案：4xy（2）1- -25x2（5）a3- -ab2（6）x4- -16答案答案：( (1+5x)()(1- -5x) )（4）( (x+y) )2- -( (y- -x) )2答案：答案：a( (a+b)()(a- -b) )答案：答案：( (x2+4)()(x+2)()(x- -2) )3. 手表表盘的外圆直径手表表盘的外圆直径Dcm，内圆直径，内圆直径dcm， 在外圆与内圆之间涂有黑色材料，如右图在外圆与内圆之间涂有黑色材料，如右图.试求涂试求涂 上材料的圆环的面积上材料的圆环的面积( ( ，结果结果保留两位有效保留两位有效 数字数字).).怎样计算比较简便？怎样计算比较简便？1. 完全平方公式是什么样子？完全平方公式是什么样子？说一说说一说( (a+b) )2=a2+2ab+b2，( (a- -b) )2=a2- -2ab+b2. 2. 如何把如何把 x2+4x+4 因式分解？因式分解？由于由于x2+4x+4=x2+2 x 2+22，因此把完全平方公式从右到，因此把完全平方公式从右到左地使用，可得左地使用，可得x2+4x+4=( (x+2) )2.例例6 把把x2- -3x + 因式分解因式分解.举举例例例例7 把把 9x2+12x+4 因式分解因式分解.举举例例解解 9x2+12x+4= ( (3x) )2+2 3x 2+22= ( (3x+2) )2.例例8 把把- -4x2+12xy- -9y2 因式分解因式分解.举举例例解解 - -4x2+12xy- -9y2= - -(2x) )2- -22x3y+( (3y) )2 = - -( (4x2- -12xy+9y2) )= - -( (2x- -3y) )2例例9 把把a4+2a2b+b2因式分解因式分解. 举举例例解解 a4+2a2b+b2= ( (a2) )2 + 2 a2 b + b2= ( (a2+b) )2.例例10 把把x4- -2x2+1 因式分解因式分解. 举举例例解解 x4- -2x2+1= ( (x2) )2- -2x21+12= ( (x2- -1) )2= (x+1)()(x- -1)2= ( (x+1) )2( (x- -1) )2 1. 下列多项式是否具有完全平方公式右端下列多项式是否具有完全平方公式右端 的形式？的形式？练习练习（1）x2+2x+4；答案答案：不具备不具备（2）x2- -10x+5.答案：不具备答案：不具备2. 把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解：（2） 16y2- -24y+9；（4）3x4+6x3y2+3x2y4.（2） 16y2- -24y+9；= ( (4y) )2 - -2 4y 3 + 32；= ( (4y- -3) )2 ；（4）3x4+6x3y2+3x2y4.= 3x2( (x2+2xy2+y4) ).= 3x2 x2+2 x y2+( (y2) )2 .= 3x2( (x+y2) )2.小结与复习小结与复习 本章学习多项式的因式分解本章学习多项式的因式分解. 把一个多项式表示成若干个起着把一个多项式表示成若干个起着“基本建筑块基本建筑块”作用的多项式的乘积的形式，这为解决许多问题架起作用的多项式的乘积的形式，这为解决许多问题架起了桥梁了桥梁. 例如例如，以后我们要学习的分式的约分，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二次不等式等，都解一元二次方程，解一元二次不等式等，都需要把多项式因式分解需要把多项式因式分解. 因式分解还可以在许多实际问题中简化因式分解还可以在许多实际问题中简化计算计算.这一章我们介绍了因式分解的两种方法：这一章我们介绍了因式分解的两种方法：一、提公因式法一、提公因式法 关键是找出各项的公因式，步骤如下：关键是找出各项的公因式，步骤如下：（1）公因式的系数）公因式的系数. 如果多项式的系数为整数，那么取各项如果多项式的系数为整数，那么取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的系系数的绝对值的最大公因数作为公因式的系数数. 如果原来多项式的第如果原来多项式的第1项的系数为负，那项的系数为负，那么把负号提出，此时括号内的各项要变号么把负号提出，此时括号内的各项要变号.（2）公因式含的字母是各项中相同的字母，）公因式含的字母是各项中相同的字母， 字母的指数取各项中次数最低的字母的指数取各项中次数最低的（3）公因式含的式子是各项中相同的式子，）公因式含的式子是各项中相同的式子， 该式子的指数取各项中次数最低的该式子的指数取各项中次数最低的. 在找出公因式后，把多项式的每一项写在找出公因式后，把多项式的每一项写成公因式乘以其余因式的形式，这样把公因成公因式乘以其余因式的形式，这样把公因式提出后，括号内的各项就很容易写出式提出后，括号内的各项就很容易写出.二、公式法二、公式法 把平方差公式，完全平方公式从右到左地把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用，就可以把某些类型的多项式因式分解使用，就可以把某些类型的多项式因式分解.在因式分解中需要注意以下几个问题：在因式分解中需要注意以下几个问题：（1）常常要先提公因式，然后再用公式法进）常常要先提公因式，然后再用公式法进 行因式分解行因式分解.（2）因式分解一定要进行到每一个因式都不）因式分解一定要进行到每一个因式都不 能再分解为止能再分解为止.至于什么样的多项式不能表示成两个多至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式，这跟多项式的系数项式的乘积的形式，这跟多项式的系数在什么数集有关系在什么数集有关系. 例如，在系数为有理数的多项式组成例如，在系数为有理数的多项式组成的集合中，的集合中，x2- -2不能表示成两个一次多项不能表示成两个一次多项式的乘积的形式式的乘积的形式. 但是在系数为实数的多项式组成的集但是在系数为实数的多项式组成的集合中，有合中，有结结 束束