应用数学概论应用数学概论主讲人主讲人 张兴永张兴永1前言应用数学概论应用数学应用数学 随着科学技术的迅速发展，人们在各个领域的研随着科学技术的迅速发展，人们在各个领域的研究已进入了定量化和精确化阶段，数学越来越广泛地究已进入了定量化和精确化阶段，数学越来越广泛地应用到自然科学、社会科学、工业技术和经济管理等应用到自然科学、社会科学、工业技术和经济管理等各个领域之中。社会不仅仅需要一些数学家和专门从各个领域之中。社会不仅仅需要一些数学家和专门从事数学研究的人才，而是更重要和更大量的是需要在事数学研究的人才，而是更重要和更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题。的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题。 特别是随着计算机的迅速发展，高新科学技术要特别是随着计算机的迅速发展，高新科学技术要进入生产，数学应用起着极为重要的作用，进入生产，数学应用起着极为重要的作用， 2前言应用数学概论 如飞机的设计如何在计算机里进行模拟、发射卫如飞机的设计如何在计算机里进行模拟、发射卫星为什么用三级火箭等等；再如，荣获诺贝尔医学奖星为什么用三级火箭等等；再如，荣获诺贝尔医学奖的的CT技术，其核心就是由技术，其核心就是由X光成像反推三维结构的数光成像反推三维结构的数学模型学模型ador变换。可以说高技术实际上是一种数变换。可以说高技术实际上是一种数学技术，因此数学应用在当今改革开放和高科技飞速学技术，因此数学应用在当今改革开放和高科技飞速发展的时代越来越显示其重要性。发展的时代越来越显示其重要性。 3前言应用数学概论1、数学不仅是一门科学，也是一种文化，更是、数学不仅是一门科学，也是一种文化，更是一种语言。一种语言。 数学科学数学科学(Mathematical Sciences, 简称数学简称数学(Mathematics)是研究数、量的关系和空间形式的一个是研究数、量的关系和空间形式的一个庞大的科学体系，它包含纯粹数学、应用数学以及这两庞大的科学体系，它包含纯粹数学、应用数学以及这两者与其它学科的交叉部分者与其它学科的交叉部分. 数学是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与数学是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想像力于一体的学问，也是自然科学、技术科学、社想像力于一体的学问，也是自然科学、技术科学、社会科学、经济和管理科学的巨大的智力资源会科学、经济和管理科学的巨大的智力资源. 数学为数学为其它科学提供语言、观念和方法，它与计算机技术、其它科学提供语言、观念和方法，它与计算机技术、计算机工程的紧密结合产生了直接应用于生产的数学计算机工程的紧密结合产生了直接应用于生产的数学技术，这是许多高新技术的核心技术，这是许多高新技术的核心. 4前言应用数学概论 数学是一门科学，也是一种文化，更是一种语言。数学是一门科学，也是一种文化，更是一种语言。 所谓数学又是一种文化，是因为它在人类理性地认识所谓数学又是一种文化，是因为它在人类理性地认识世界的过程中起着重要的作用，数学的思想和方法的世界的过程中起着重要的作用，数学的思想和方法的传播对提高国民素质，提高人们的分析与决策能力、传播对提高国民素质，提高人们的分析与决策能力、推理与创造能力都是至关重要的。对小学、中学、大推理与创造能力都是至关重要的。对小学、中学、大学到研究生、博士后以及所有在职人员的数学教育都学到研究生、博士后以及所有在职人员的数学教育都是数学事业的不可或缺的重要组成部分是数学事业的不可或缺的重要组成部分. 阅读作为人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取阅读作为人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的主要手段和认识世界的重要途径。数学阅读是学知识的主要手段和认识世界的重要途径。数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的重要途径。随着知识，发展数学思维，学习数学语言的重要途径。随着科学技术，特别是信息技术的飞速发展，要求人们不仅科学技术，特别是信息技术的飞速发展，要求人们不仅需要具备语文和外语的阅读能力，而且还需要具有一定需要具备语文和外语的阅读能力，而且还需要具有一定的数学阅读能力。的数学阅读能力。5前言应用数学概论2、 数学应用的广泛性数学应用的广泛性 早在早在100多年前马克思就指出：多年前马克思就指出：“一门科学只有成功一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步”这这一科学论断在这一科学论断在这100多年的社会发展和科技进步中得以多年的社会发展和科技进步中得以进一步的验证进一步的验证 1959年年5月，华罗庚教授在月，华罗庚教授在人民日报人民日报上发表了上发表了大哉数学之为用大哉数学之为用，精彩地叙述了数学的各种应用：，精彩地叙述了数学的各种应用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。的重要贡献。 下面列举几个数学在我国重大的经济建设、科学技下面列举几个数学在我国重大的经济建设、科学技术和军事与安全等若干领域的重要应用。术和军事与安全等若干领域的重要应用。6前言应用数学概论国家安全国家安全 复杂通讯系统 声音、数据和电子 的安全要依靠数学上很复杂的工具. 用储备物资的管理 不用进行试验的核武库的维护 是建立在数学建模和先进的计算的基础之上的. 监视系统的运作需要广泛应用与数据的收集和分析有关的数学。由于以数学为基础的智能、后勤和作战系统的应用，保障了军事现代化的建设，7前言应用数学概论技术技术 在设计、制造和技术的应用中数学无处不在，在设计、制造和技术的应用中数学无处不在，.从微处理器到飞机发动机，从卫星通讯网络到家庭从微处理器到飞机发动机，从卫星通讯网络到家庭市场系统，从空中交通管制系统到大型计算机的复市场系统，从空中交通管制系统到大型计算机的复杂系统等，数学得到广泛的应用。杂系统等，数学得到广泛的应用。 诸如计算机辅助成像扫描仪、核图象显示器、核诸如计算机辅助成像扫描仪、核图象显示器、核磁共振成像技术等现代医学成像系统的运作有赖于磁共振成像技术等现代医学成像系统的运作有赖于信号的数学处理信号的数学处理. 人类基因组计划的成功需要用数学人类基因组计划的成功需要用数学来搜索把基因序列和人类疾病关联起来的信息来搜索把基因序列和人类疾病关联起来的信息. 阐明阐明蛋白质褶的复杂几何是理解蛋白质功能的关键蛋白质褶的复杂几何是理解蛋白质功能的关键. 医院医院的病人病历记录的管理日益需要应用数学来构建有的病人病历记录的管理日益需要应用数学来构建有效的数据库效的数据库.医学医学 8前言应用数学概论金融金融 在度量风险以及对金融证券、金融机构和金融系统（单个的国家、贸易集团以及诸如国际结帐那样的全球体系）行为的建模. 由于增加的数据、容量、算法的有效性以及计算速度，概率论和先进的金融模型的结合促进了利率、货币、商品、产权和其它的金融证券的复杂的建模. 对于诸如风险的价值、信贷暴露的有价证券理论以及非线性证券等领域的更好的理解有赖于数学的应用.9前言应用数学概论环境的监测 建立海洋和大气的有效的模型以预测人类活动对环境的影响对于形成坚实的公共和管理政策是必不可少的. 气候模型需要操作大量的数据和研究复杂的同时的相互作用（如大气中许多微量化学物质间的相互作用.）所有这些模型都基于不确定性；为判定其有效性需要大量地用数学. 10前言应用数学概论3、应用数学中的基本方法、应用数学中的基本方法 数学分析、代数与几何和概率统计的教学内容和方法在解决实际问题中具有重要意义，但仅仅这些知识是远远不够的，下面介绍一些常用的数学应用方法。（1）最优化方法 最优化方法是在解决实际问题中应用最广泛的方法之一，它涉及面广、内容丰富，且随着计算机的发展，解决问题的范围越来越宽。最优化方法至少包含几十个分支，主要有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划。11前言应用数学概论1）线性规划 线性规划是运筹学的一个重要分支，它起源于工业生产组织管理的决策问题。线性规划问题就是指目标函数为诸决策变量的线性函数，给定的条件可用诸决策变量的线性等式或不等式表示的决策问题。线性规划求解的有效方法是单纯形法，在数学上线性规划是用来确定多变量线性函数在变量满足线性约束条件下的最优值；随着计算机的发展，出现了如单纯形法等有效算法，它在工农业、军事、交通运输、决策管理与规划等领域中有广泛的应用。12前言应用数学概论2）整数规划 线性规划的决策变量是连续变量，最优解可能是小数或分数。但是在许多实际问题中，往往要求所得的解为整数，例如投资项目的选择、机器的台数、完成工作的人数、装货的车数等，分数和小数的答案就没有现实意义了。 若限制决策变量是非负整数，则这种线性规划问题称为整数规划问题。目前，求解整数规划模型常用的方法有割平面法和分枝界限法，它们都是建立在线性规划求解的单纯形法基础上的。 13前言应用数学概论 3）非线性规划 在经济管理等领域中，除了一些实际问题可归结为线性规划之外，还有许多实际问题，其目标函数或约束条件很难用线性函数表达，若目标函数或约束条件中有一个或多个是决策变量的非线性函数，则称这种模型为非线性规划模型。一般来说，非线性规划模型的求解要比线性规划模型求解困难得多，虽然现在已经发展了许多非线性规划的算法，但到目前为止，还不象线性规划那样有通用的单纯形算法，而是各种算法都有自己特定的适用范围，如最速下降法、牛顿法、可行方向法、惩罚函数法等。尽管如此，非线性规划的实际应用还是相当广泛的。 14前言应用数学概论4）动态规划 动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。1951年美国数学家贝尔曼等人，根据一类多阶段决策问题的特性，提出了解决这类问题的“最优性原理”，并研究了许多实际问题，从而创建了最优化问题的一种新方法动态规划。 多阶段决策问题是指这样一类活动的过程，由于它的特殊性，可将它划分为若干个互相联系的过程，在它的每个阶段都需要做出决策，并且一个阶段的决策确定以后，常影响下一个阶段的决策，从而影响整个过程决策的效果。多阶段决策问题就是要在允许的各阶段的决策范围内，选择一个最优决策，使整个系统在预定的标准下达到最佳的效果。有时阶段可以用时间表示，在各个时间段，采用不同决策，它随时间而变动，这就有“动态”的含意。动态规划就是要在时间的推移过程中，在每个时间段选择适当的决策，以便整个系统达到最优。近几十年来，动态规划的理论、方法和应用等方面取得了突出的进展。15前言应用数学概论（2）数理统计方法 数理统计方法是以概率论为基础，根据试验的数据，对研究对象的客观规律性作出合理的估计与推断，常用的数理统计方法有参数估计、假设检验、方差分析、回归分析和判别分析等。16前言应用数学概论1）参数估计 在对实际问题进行数学建模时，我们常常会遇到下列问题：在确定了问题涉及的关键量和发现了制约问题的基本规律或部分规律之后，可以得到这些关键量之间关系的数学关系式，但是在这些数学关系式中尚包含若干未知参数。我们不能直接从这些关系式得到这些关系量的定量变化规律，但实际问题往往又提供了某些表征关键量变化的信息（如试验数据等），如果利用这些信息结合关键量的表达式来估计未知参数，那么实际问题能得到解决。17前言应用数学概论2）假设检验 对有些实际问题，我们常常会遇到需对总体的期望值或方差进行某种假设，然后根据给定的已知数据，通过概率的计算进行检验，对所作的假设进行推断，从而作出正确的选择，3）方差分析 用不同的生产方法生产同一种产品，比较各种生产方法对产品的影响是人们经常遇到的问题。为此，需要找出对产品有显著影响的因素。方差分析就是鉴别各因素效应的一种有效的统计方法。它是在上世纪20年代由英国统计学家首先使用到农业试验上去，后来发现这种方法的应用范围十分广阔，可以成功的应用在试验工作的很多方面。18前言应用数学概论4）回归分析 回归分析是考察两个变量之间或一个随机变量与一组随机变量统计关系的一种重要方法，它在许多领域中都有极其广泛的应用。5）判别分析 判别分析方法最初应用于考古学，例如要根据挖掘出来的人头的各种指标来判别其性别、年龄等。近年来，在生物学分类，医疗诊断，地质找矿，石油钻探，天气预报等许多领域，判别分析方法已成为一种有效的统计推断方法。19前言应用数学概论（3）微分方程与差分方程方法）微分方程与差分方程方法 在自然科学、工程技术、经济、军事、社会等学科中的大量的实际问题，有时很难用变量的直接函数关系式来描述其内在规律，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这就需要建立微分方程模型。（4）图论方法）图论方法 许多事物以及它们之间的联系都可以用图形直观的表示，许多实际问题用图论方法来解决就比较形象直观，容易理解。因此图论是一门非常有用的学科，很多实际问题都可化为图论问题解决。20前言应用数学概论（5）糊数学方法）糊数学方法 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。众所周知，经典数学是以精确性为特征。然而，与精确相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的。甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还好。例如，要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼睛的中年男子”。尽管这里只提供了一个精确信息-男人，而其他信息-大胡子、高个子、长头发、戴宽边黑色眼睛、中年等都是模糊概念，但是只要你将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而成功的应用。21前言应用数学概论 当然还有大量的应用数学方法如对策论、排队论、层次分析及计算机仿真等，这些方法在实际问题中都具有广泛的应用。4、关于数学软件、关于数学软件 由于科学技术及计算机的飞速发展，各类数学软件不断涌现，这使在解决各类复杂的问题变得非常简单了。现在常用的数学软件有Mathematica、MATLAB、SAS等软件。 （1）Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的数学软件，它的主要使用者是从事理论研究的数学工作者和其它科学工作者、以及从事实际工作的工程技术人员。22前言应用数学概论 （2）SAS是Statistical Analysis System的缩写，意为“统计分析系统”，是由美国SAS研究所（SAS INSTITUTE INC.）于1976年推出的用于决策支持的大型信息集成系统。是当前最重要的专业统计软件之一。（3）MATLAB是“Matrix Laboratory”的缩写，意为“矩阵实验室”，是当今很流行的科学计算软件。 在欧美高校，MATLAB已成为许多课程的基本教学工具，是大学生、硕士生和博士生必须掌握的基本技能；在设计研究单位和工业部门，MATLAB已成为必备的标准软件。近年来，MATLAB在国内的知名度越来越大，并已广泛地应用于教学和科研领域。23前言应用数学概论5 5、应用数学的常用算法、应用数学的常用算法 1）蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。 2）数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。 3）线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。应用数学中，大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。 24前言应用数学概论 4）图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决。 5）动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到。 6）最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7）网格算法和穷举法。网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 25前言应用数学概论 8）一些连续离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9）数值分析算法。如果在应用中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10）图象处理算法。实际问题中，有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。 26前言应用数学概论6 、科技论文写作规范：、科技论文写作规范：一篇学术科技论文需包含8个必要的组成部分：(1) 题名（Title,Topic） 1)题目是一篇论文给出的涉及论文范围与水平的第一个重要信息，有人认为“论文题目是文章的一半” 。 2）对论文题目的要求：简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分。 3）论文题目一般不要超过20字。 (2)题名之后是作者的姓名和单位，对多名作者按贡献大小排列。(3)摘要（Abstract） 1)摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即获得必要的信息；27前言应用数学概论2）摘要应包含以下内容：从事这一研究的目的和重要性；研究的主要内容、使用的方法，指明完成了哪些工作；获得的基本结论和研究成果、突出论文的新见解及结果的意义；3）摘要文字精练，内容充分概括，字数一般不超过论文字数的5%；4）论文摘要不要列举例证，不讲研究过程，不用图表，不给数学表达式，也不要自我评价。(4)关键词（Key words）一般关键词35个，便于情报检索等。前四部分是论文的前置部分，下面是论文的主体部分：28前言应用数学概论(5)引言（ Introduction） 1)引言部分内容包括：研究的理由、目的、背景、前人的工作和现在的知识空白、理论依据和实际基础、预期的结果及其在相关领域里的地位、作用和意义。 2）引言的基本目的是要吸引读者读下去，所以文字不可太长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。(6)正文（Main body）1)正文是一篇论文的主要部分，它占据了论文的最大篇幅；2）作者的创造性成果或新的研究结果都将在这一部分得到反映；3）正文部分要内容充实，论据充分、可靠，论证有力，主题明确，层次分明，脉络清晰。29前言应用数学概论(7)结论（Conclusion） 1)结论是整篇论文的的结局，要从论文的全部材料出发，经过推理、判断、归纳等逻辑分析过程而得到的新的学术总观点、总见解。 2）结论应该准确、完整、明确精练。 3）结论应包含以下几个方面： a）本文研究结果说明了什么问题，得到了什么规律，解决了什么理论或实际问题； b）对前人有关工作作了哪些修正、补充、发展证实或否定； c）本文研究的不足之处或遗留未解决的问题，以及解决这些问题的可能的关键点和方法。30前言应用数学概论(8)参考文献（Reference） 1)在正文中提及或直接引用的材料、原始数据等来自于一些公开刊物的可在参考文献中列出； 2）参考文献需标明刊物著者的姓名、刊物名称、卷次、页码和出版日期。如：1 刘元高,等.MATLAB实用教程M，北京：高等教育出版社，2000.9.2李为国，张青.一类微分方程周期解的存在性J.科学通报，2003，18-23. 3)参考文献反映出真实的科学依据，分清自己和别人的观点或成果，对前人科学成果的尊重，便于检索。31前言应用数学概论7 、几种创造性思维方法、几种创造性思维方法 在数学应用过程中，发挥创造性思维是必不可少的，这些思维方法有许多共同的性质，比如：不轻易否定别人的意见；怀疑一般常识；努力发现别人尚未察觉的事物等。 下面介绍几种创造性思维方法（1）小组群体思维 1） 在集体科研活动中，成员要相互平等、相互尊重的充分交流，各自发挥自己的特长，敢于发表自己的意见和想法。“三个臭皮匠低个诸葛亮！”32前言应用数学概论 2）必须注意一些“交流忌语”a）武断的评价。 轻易使用“这绝对不行”、“这根本行不通”这类语句不仅会刺伤同事的自尊心，还往往会起到束缚自己思路的作用。要注意学会倾听，要让对方把话讲完，稍加思考再发表自己的看法。b）回避责任 遇到问题的第一反应便是“怎么办呢？”这是只能依靠别人时所使用的语言。而“我想这样做，你看怎么样？”这种自己也承担一部分责任的态度是必要的，如不然，对问题的观察和分析、对工作的适应能力就会变得越来越迟钝。c）无可奈何 “没办法”，说这句话只是为了回避问题，不仅使自己的能力充分发挥出来，而且还会压抑人们对问题的深入观察、思考和实际行动的能力。33前言应用数学概论d）对交流失去信心。 “很难听懂他说的什么”、“他简直无动于衷！”这也反应出一种对待问题的消极态度。(2)发散性思维方法1）发散性思维是发明创造的一个有力的武器； 2）特别是遇到难题时，最好不要有什么想法就沿一条胡同钻下去，应把自己的思路尽量展开，去寻求最佳的方案。如：a）这问题和什么问题相似？b）假如变动某些部分将会怎样？c）如果分解成两部分将会怎样？d）重新组合又会怎样？e）放大或缩小又会怎样？f）极限情况如何？g）抓住问题的关键词联想法。34前言应用数学概论(3)从整体上把握问题的方法 将思路充分展开之后，就可以登高一步，努力把握问题的全貌，这种能力极为重要，没有这种能力就会“只见树木，不见森林”，经常陷于问题的某个局部而不能自拔。把握住问题的全貌的一个非常有效的途径是去研究问题的结构。35前言应用数学概论8、创新人才的素质、创新人才的素质1)坚定的自信 创新者必须要有强烈的创新愿望，时刻注意周围的新技术、新工艺和新事物，千方百计把它应用到工作中来，所以我们要勤奋学习，善于思考，勇于实践，因为创新思维一定要建立在科学的基础上，加上深入细致的实践，才能使理想转变为现实。 2)深厚的理论基础和广博的知识面 创新的想法必须建立在科学的基础上，特别是原始创新是建立在深厚的基本理论之上的，所以学习一定要好。要做到学深学透，学会学活是不容易的，但是旦你真正掌握了理沦，它就会显示出强大的力量，取得你事先难于想象的好结果。 36前言应用数学概论3)强烈的创新愿望 对创新者来说，强烈的创新愿望是发现问题和提出问题的前提。创新人才的重要品质在于时刻关注着周围的新事物和技术进步，不断地学习，不断地探索是否可以引用到自己的工作中来，或者把它用到另一个领域。 4)良好的分析能力和实践技能 一个优秀的创新人才应具有从许多的因素中，找出最关键的因素，分析它的运动过程和作用，然后加以控制和利用。关键因素有时是硬件，有的是软件，这里除了需要深厚的理论基础，也需要经验，是一个比较复杂的、也是很重要的问题。37前言应用数学概论5)掌握正确的研究方法要明确创新研究的目标和要求，然后选择技术途径。 6)健全的体魄和坚强的心理承受能力在紧张剧烈的市场竞争环境中，每个人都在心理上承受着巨大的压力。繁忙的工作，复杂的问题，要求我们在任何情况下，都要保持乐观的情绪，敏锐的观察分析能力，没有健康的身体是难以胜任的。38前言应用数学概论