4.1 4.1 节点导纳矩阵节点导纳矩阵1.1.电力网络运行状态的描述：节点方程或回路方程电力网络运行状态的描述：节点方程或回路方程2.2.节点方程的待求变量：母线电压节点方程的待求变量：母线电压第第4 4章章 电力网络的数学模型电力网络的数学模型主要内容：主要内容：节点导纳矩阵的形成及修改；节点导纳矩阵的形成及修改；如何解网络方程；如何解网络方程；节点阻抗矩阵的形成及修改。节点阻抗矩阵的形成及修改。一、节点方程一、节点方程图示的简单电力系统，若略去变图示的简单电力系统，若略去变压器的励磁功率和线路电容，负压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗便可得到一个有荷用阻抗便可得到一个有5 5个节点个节点和和7 7条支路条支路等值网络。等值网络。将电势源和阻抗的串联变换成将电势源和阻抗的串联变换成电流源和导纳的并联，得到的等电流源和导纳的并联，得到的等值网络如图所示，其中：值网络如图所示，其中：以零电位为参考点，根据基尔霍夫电流定律，得到以零电位为参考点，根据基尔霍夫电流定律，得到4 4个独立个独立节点的电流平衡方程：节点的电流平衡方程：整理上述方程可得：整理上述方程可得：其中：其中：一般地，对一般地，对n n个独立节点的网络，可列写个独立节点的网络，可列写n n个节点方程：个节点方程：矩阵矩阵形式形式缩记缩记二、节点导纳矩阵元素的物理意义二、节点导纳矩阵元素的物理意义令：令：节点导纳矩阵节点导纳矩阵 中各元素的定义：中各元素的定义：n 节点节点 自导纳，等于与自导纳，等于与 相连所有支路导纳之和；相连所有支路导纳之和；n 节点节点 间的自导纳，等于节点间的自导纳，等于节点 间支路导纳的间支路导纳的负值。若节点负值。若节点 间不存在直接支路，间不存在直接支路， 。代入代入 节点节点 与零电位点之间的支路导纳；与零电位点之间的支路导纳； 节点节点 与节点与节点 之间的支路导纳。之间的支路导纳。讨论：讨论：当当 时，当网络中除节点时，当网络中除节点 以外所有节点都接地时，以外所有节点都接地时，从节点从节点 注入网络的电流同施加于节点注入网络的电流同施加于节点 的电压之比，即的电压之比，即等于节点等于节点 的的自导纳自导纳。其中：其中：当当 时，当网络中除节点时，当网络中除节点 以外所有节点都接地时，以外所有节点都接地时，从节点从节点 流入网络的电流同施加于节点流入网络的电流同施加于节点 的电压之比，即的电压之比，即等于节点等于节点 与与 之间的之间的互导纳互导纳。节点节点 电流电流实际方向自网络实际方向自网络流入地中。流入地中。12y123y10y13y23y20y30节点导纳矩阵中自导纳的确定节点导纳矩阵中自导纳的确定节点导纳矩阵中互导纳的确定节点导纳矩阵中互导纳的确定12y123y10y13y23y20y30节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 的特点的特点1.直观易得直观易得2. 稀疏矩阵稀疏矩阵 它的对角元素一般不为零，但在非对它的对角元素一般不为零，但在非对角线元素中则存在不少零元素。角线元素中则存在不少零元素。阶数：等于除参考节点外的节点数阶数：等于除参考节点外的节点数n对角元：等于该节点所连导纳的总和对角元：等于该节点所连导纳的总和非对角元非对角元Yij：等于连接节点：等于连接节点i、j支路支路 导纳的负值导纳的负值三、节点导纳矩阵的修改三、节点导纳矩阵的修改假定接线改变前导纳矩阵元素为假定接线改变前导纳矩阵元素为 ，接线改变后应修改，接线改变后应修改为为 。修改增量修改增量 的计算方法：的计算方法：(1)(1)从网络的原有节点从网络的原有节点 引出一条导纳为引出一条导纳为 的支路，同时增的支路，同时增加节点加节点 ；修改：导纳矩阵增加一行一列，且修改：导纳矩阵增加一行一列，且(2)(2)在网络原有节点在网络原有节点 之间增加一条导之间增加一条导纳为纳为 的支路；的支路；修改：修改：其余元素不必修改。其余元素不必修改。(3)(3)在网络的原有节点在网络的原有节点 之间之间切除一条导纳为切除一条导纳为 的支路；的支路；修改：相当于节点修改：相当于节点 之间增之间增加一条导纳为加一条导纳为 的支路。的支路。四、支路间存在互感时的节点导纳矩阵四、支路间存在互感时的节点导纳矩阵常用方法：采用消去互感的等值电路代替原来的互感线路常用方法：采用消去互感的等值电路代替原来的互感线路阻。阻。其中：其中：Y 矩阵的修改矩阵的修改在原有网络的节点在原有网络的节点i i、j j之间变压器的变比由之间变压器的变比由k k* *改变为改变为k k* * ZZijk*:1ZTZZijyT/k*Y 矩阵的修改矩阵的修改在原有网络的节点在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由之间变压器的变比由k*改变为改变为k*星网变换（补充）根据基尔霍夫电流定律因为：所以：根据等值条件，自网络外部流向节点根据等值条件，自网络外部流向节点i的电流保持不变的电流保持不变则：n23ij14y31y41y21yn1yi1yj1n23ij4y2iyij 在星型电路中心节点存在注入电流，在作星网变换前，要进行中心节点电流的移植，移植前后外电路注入电流不变，节点电压不变因为：所以： 电流移植前后，节点i，j电压差不变根据等比公式：4.2 网络方程的解法一、用高斯消去法求解网络方程一、用高斯消去法求解网络方程高斯消去法的高斯消去法的物理意义物理意义：带有节点电流移置的星网变换。：带有节点电流移置的星网变换。求解算法：按列消元。求解算法：按列消元。1.1.第第1 1次消元后可得：次消元后可得：修正反映了电流移植的星网变换结果1.节点i电流增量等于从节点1移植过来的电流 2.非对角线元素修正增量 3.对角线元素修正增量 为星网变换后节点i和j新增支路导纳的负值为星网变换后新接入节点i的支路导纳（正值）和被拆去的支路导纳（负值）的代数和第第2 2次消元，其系数矩阵演变为：次消元，其系数矩阵演变为：(n-1)(n-1)次次消元后消元后其中：其中：结论结论：1) 1) 时，时， 为通过第为通过第k k次消元后，在节点次消元后，在节点 间新间新接入的支路导纳；接入的支路导纳；2) 2) 时，时， 为通过第为通过第k k次消元后，从节点次消元后，从节点 被拆去被拆去的支路导纳（取的支路导纳（取- -）与节点）与节点 新接入的支路导纳取（新接入的支路导纳取（+ +）的代）的代数和。数和。例题4-3 用星网变换求解所示网络解(1)将节点电流分解星网变换，消去节点1(2)节点2电流移植，消去节点2合并导纳(3)把节点3电流移植到节点4 二、用高斯消去法简化网络二、用高斯消去法简化网络高斯消去法简化网络的方法：高斯消去法简化网络的方法：1.1.逐个地消去节点；逐个地消去节点；2.2.一次性消去若干个节点。一次性消去若干个节点。设有设有n n个节点的网络，拟消去个节点的网络，拟消去 号节点，保留号节点，保留 。代入代入4.3 4.3 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵一、节点阻抗局阵元素的物理意义一、节点阻抗局阵元素的物理意义阻抗形式的节点方程：阻抗形式的节点方程： 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵其中：其中：其中：其中：1.1.对角元素对角元素 为节点为节点 的自阻抗（输入阻抗）；的自阻抗（输入阻抗）；2.2.非对角元素非对角元素 为节点为节点 间的互阻抗（间的互阻抗（转移阻抗转移阻抗）。）。结论结论：1)1)节点节点 的自阻抗的自阻抗 ：在节点：在节点 单独注入电流，所有其他单独注入电流，所有其他节点的注入电流为零，节点节点的注入电流为零，节点 产生的电压同注入电流之比；产生的电压同注入电流之比；2)2)节点节点 间的互阻抗间的互阻抗 ：在节点：在节点 单独注入电流，所有单独注入电流，所有其他节点的注入电流为零，节点其他节点的注入电流为零，节点 产生的电压同注入电流之产生的电压同注入电流之比。比。自阻抗和互阻抗的物理意义：自阻抗和互阻抗的物理意义：令：令： ，则，则节点阻抗矩阵的求取方法：节点阻抗矩阵的求取方法：以物理概念为基础的支路追加法；以物理概念为基础的支路追加法；从节点导纳矩阵求取逆阵。从节点导纳矩阵求取逆阵。二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵二、用支路追加法形成节点阻抗矩阵支路追加法支路追加法根据系统的接线图，从某一个根据系统的接线图，从某一个与地相连与地相连的支路开始，逐步增的支路开始，逐步增加支路，扩大阻抗矩阵的阶次，最后形成整个系统的节点阻加支路，扩大阻抗矩阵的阶次，最后形成整个系统的节点阻抗矩阵。抗矩阵。注注：第：第1 1条支路必须是条支路必须是接地支路接地支路，以后每次追加的支路必须，以后每次追加的支路必须至少有至少有1 1个端点同已出现的节点相接个端点同已出现的节点相接。追加支路的追加支路的2 2种情况：种情况：1.1.追加树支：新增支路引出一个新节点，阻抗矩阵扩大一阶，追加树支：新增支路引出一个新节点，阻抗矩阵扩大一阶，由原来的由原来的p p阶变为阶变为p+1=qp+1=q阶；阶；2.2.追加连支：在已有的两个节点间增加新支路，网络节点数追加连支：在已有的两个节点间增加新支路，网络节点数不变，阻抗矩阵阶次不变。不变，阻抗矩阵阶次不变。阻抗矩阵的修改阻抗矩阵的修改1.1.追加树支追加树支阻抗矩阵中各元素的计算：阻抗矩阵中各元素的计算：在原网络的任一节点在原网络的任一节点 单独注入电流单独注入电流 ，而其余节点的电，而其余节点的电流均为流均为0 0。1)1)由于支路由于支路 无电流通过，故该支路的接入不会改变原网无电流通过，故该支路的接入不会改变原网络的电压和电流分布。即阻抗矩阵中对应原网络的元素将保络的电压和电流分布。即阻抗矩阵中对应原网络的元素将保持原有数值不变；持原有数值不变；2)2)由于支路由于支路 无电流通过，故无电流通过，故 3)3)从原网络来看，从节点从原网络来看，从节点 单独注入电流与从节点单独注入电流与从节点 注入电注入电流效果相同，故流效果相同，故 结论结论：当增加：当增加1 1条树支时，阻抗矩阵的条树支时，阻抗矩阵的原有部分保持不变原有部分保持不变，新增的一行新增的一行( (列列) )各非对角线元素各非对角线元素分别分别与引出该树支的原有节与引出该树支的原有节点的对应行点的对应行( (列列) )各元素相同各元素相同。而。而新增加的对角线元素为该树新增加的对角线元素为该树支的阻抗与引出该树支的原有节点的自阻抗之和支的阻抗与引出该树支的原有节点的自阻抗之和。4)4)若节点若节点 为参考节点为参考节点( (接地点接地点) )，则新增支路为接地树支。，则新增支路为接地树支。由于恒有由于恒有 ，故，故2.2.追加连支追加连支若原有各节点的注入电流保持不变，连若原有各节点的注入电流保持不变，连支支 的接入将改变网络中的电压分布。的接入将改变网络中的电压分布。代入代入代入代入若节点若节点 为接地点，新增支路为接地连支为接地点，新增支路为接地连支( )( )，则，则若若 ，则节点，则节点 合并为一个节点，故合并为一个节点，故说明说明：如将：如将 短接后，修改后的第短接后，修改后的第 行行( (列列) )和第和第 行行( (列列) )的对应元素完全相同。的对应元素完全相同。2.2.追加变压器支路追加变压器支路可分为追加树支和追加连支。变压器用一个等值阻抗同一个可分为追加树支和追加连支。变压器用一个等值阻抗同一个理想变压器相串联的支路来表示。理想变压器相串联的支路来表示。1)1)追加变压器树支追加变压器树支u由于新接支路中无电流通过，故该支路的接入不会改变原由于新接支路中无电流通过，故该支路的接入不会改变原网络的电压和电流分布。即阻抗矩阵中对应原网络的元素将网络的电压和电流分布。即阻抗矩阵中对应原网络的元素将保持原有数值不变；保持原有数值不变；u在原网络的任一节点在原网络的任一节点 单独注单独注入电流入电流 ，而其余节点的电流，而其余节点的电流均为均为0 0。则有。则有u从原网络来看，从节点从原网络来看，从节点 单独注入电流单独注入电流 与从节点与从节点 注注入电流入电流 效果相同，故效果相同，故2)2)追加变压器连支追加变压器连支若原各节点的注入电流保持不变，接若原各节点的注入电流保持不变，接入新连支将改变网络中的电压分布。入新连支将改变网络中的电压分布。矩阵元素计算分矩阵元素计算分2 2步进行：步进行：a.a.从节点从节点 追加变压器树支，引出新节点追加变压器树支，引出新节点 ，将阻抗矩阵扩大将阻抗矩阵扩大1 1阶；阶；b.b.在节点在节点 间追加阻抗为间追加阻抗为0 0的连支。则有的连支。则有三、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆三、用线性方程直接解法对导纳矩阵求逆常采用对常采用对导纳矩阵求逆导纳矩阵求逆的方法来得到阻抗矩阵。的方法来得到阻抗矩阵。 的物理意义的物理意义：若把若把 当作注入电流的列向量，当作注入电流的列向量， 就是节点电压的列向量，就是节点电压的列向量，当只有节点当只有节点 注入单位电流，其余节点的电流为注入单位电流，其余节点的电流为0 0，网络各，网络各节点的电压在数值上等于阻抗矩阵的第节点的电压在数值上等于阻抗矩阵的第 列的对应元素。列的对应元素。对节点导纳矩阵对节点导纳矩阵 分解分解节点导纳矩阵第节点导纳矩阵第 列元素的计算公式：列元素的计算公式：