第七讲第七讲 傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质与收敛问题与收敛问题孙孙 黎黎信息与通信工程系信息与通信工程系Email: lisunmail.xjtu.edu.cn2014-03内容提要内容提要傅里叶级数的性质傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象傅里叶级数与LTI系统内容提要内容提要傅里叶级数的性质傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象傅里叶级数与LTI系统线性性质线性性质时移性质时移性质时间反转性质时间反转性质若x(t)为偶函数，则其傅里叶级数系数也是偶函数 若x(t)为奇函数，则其傅里叶级数系数也是奇函数 时域尺度变换性质时域尺度变换性质傅里叶级数系数虽然没有变化，但是傅里叶级数表示发生了变化相乘性质相乘性质周期卷积性质周期卷积性质假设x(t)和y(t)都是周期为T的周期信号。 缺乏实际意义周期卷积性质周期卷积性质周期卷积：其中：仍然是一个周期为T的周期信号注意：周期卷积可以在任何一个周期内进行。周期卷积性质周期卷积性质共轭对称性共轭对称性若x(t)为实信号，则 共轭对称性共轭对称性若x(t)为实偶信号，则ak是实偶函数若x(t)为实奇信号，则ak是虚奇函数帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理一个周期信号的平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和举例举例1举例举例2关于一个周期为3和傅里叶级数系数为ak的连续时间周期信号给出如下信息： 1. ak=ak+2；2. ak=a-k； 3. ;试确定x(t)。4.解：由条件1可知：x(t)=x(t)e-j(4/3)t 由条件2可知：x(t)=x(-t) 所以x(t)仅在t=0,1.5,-1.5,3,-3,4.5,-4.5有非零值由条件3可知：x(t)=(t), -0.5=t=0.5 由条件4可知：x(t)=2(t-1.5), 0.5=t=2 内容提要内容提要傅里叶级数的性质傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象傅里叶级数与LTI系统傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性综合公式综合公式分析公式分析公式收敛的含义：ak为有限值综合公式中的无穷级数收敛于x(t)傅里叶级数的收敛条件傅里叶级数的收敛条件第一组条件 (平方可积条件)：周期信号在一个周期内平方可积，即：第二组条件(狄里赫利条件)：在任何周期内，x(t)均绝对可积;在任何有限区间内，x(t)只有有限个起伏变化；即任何单个周期内，x(t)的最大值和最小值的数目有限；在任何有限区间内，x(t)只有有限个不连续点，且在这些点处x(t)为有限值。几个不满足狄里赫利条件的信号几个不满足狄里赫利条件的信号不满足条件1几个不满足狄里赫利条件的信号几个不满足狄里赫利条件的信号不满足条件2几个不满足狄里赫利条件的信号几个不满足狄里赫利条件的信号不满足条件3关于傅里叶级数收敛性的几点说明关于傅里叶级数收敛性的几点说明收敛并不意味着逐点相等，而只意味着信号和它的傅里叶级数表示之间不存在能量上的差别平方可积条件和狄里赫利条件并不等价，它们都是傅里叶级数收敛的充分条件，而不是必要条件工程实际应用中的绝大多数信号都满足平方可积条件或狄里赫利条件最小均方误差近似最小均方误差近似引入如下近似误差函数：一个周期内的误差能量为：最小均方误差近似最小均方误差近似为了使上式最小，展开式中的各系数应为：这一结果表明：在最小均方误差准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。吉伯斯现象吉伯斯现象吉伯斯现象吉伯斯现象吉伯斯现象：当用傅里叶级数的部分和来近似周期信号时，在间断点附近会不可避免地出现振荡和超量，并且超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。内容提要内容提要傅里叶级数的性质傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象傅里叶级数与LTI系统系统函数与频率响应系统函数与频率响应系统函数频率响应利用傅里叶级数求利用傅里叶级数求LTI系统的输出系统的输出如果一个LTI系统的输入是周期信号x(t)，则：系统的输出响应为：输出信号的傅里叶级数系数可见：输出信号是与输入信号同周期的周期信号，LTI系统的作用是改变各个谐波分量的幅度和相位，再将结果相加。谢谢大家！谢谢大家！