12.2 格贴近度贴近度定义定义 : 设设 A，B F (U)，称称为为 A 与与 B 的的内积内积，又称，又称AB=为为 A 与与 B 的的外积外积。 按上述定按上述定义可知，模糊集的内可知，模糊集的内积与外与外积是是两个两个实数。数。2 若若 X =x1, x2, xn，记 A (xi) = ai，B (xi) = bi，则与与经典数学中的向量典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量与向量 b = b1, b2, bn 的内的内积 比比较，可以看出，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把十分相似，只要把经典数典数学中的内学中的内积运算的加运算的加 “+” 与乘与乘 “ ” 换成成逻辑加加 “” 与与逻辑乘乘 “” 运算，就得到运算，就得到 AB。3若若 AF (U)，记 A 的的 “高高” 为 Ah ，A 的的 “低低” 为 A b即即 Ah= A (u) | u U , A b= A (u) | u U , 则 AB = ( AB )h， A B= ( AB )b。 4 为方便起方便起见，我，我们在在闭区区间 0，1 中定中定义 “余余” 运算：运算：对于任意于任意实数数 a0，1，称称 ac =1a为 a 的余（或的余（或补）。5数补有下列性质:6命题命题 : : 内内积与外与外积运算有以下性运算有以下性质：(1) ( AB)C=AC BC，( A B )C= AC BC；(2) AB Ah Bh， A B Ab Bb；(3) AA =Ah， A A = Ab， AAC ， A AC ；(4) 0, 1，则 (A)B= ( AB)= A (B)；(5) A B 则 AC BC， A C B C 。7证明证明 仅证仅证 (1) 的第一式，第二式类似。的第一式，第二式类似。(2) (5)可以根据内积与外积的定义直接验证。因为可以根据内积与外积的定义直接验证。因为 故故 ( AB)C 是数集是数集 1 ( A(u) B(u) | uU 的的一个下界，一个下界，从而从而8以下证明以下证明 上式中只有等号成立。因为，如果有式中只有等号成立。因为，如果有即有按上确界的定义，按上确界的定义， u0 U，使得，使得9即这与下确界的定义矛盾，因此这与下确界的定义矛盾，因此 上 式只有等式成立，即有式只有等式成立，即有=10例例1 :1 : 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6,则 A B11定义定义 : : 设 A，BF (U)，称称 L( A，B) = ( AB) ( A B)C 或或 L( A，B) =1/2 ( AB) + ( A B)C 为用内用内积、外、外积表示的表示的贴近度近度 ( 简称格称格贴近度近度)。12则例例2 (P35)设论域R为实数域,F集的隶属函数为试求格求格贴近度近度N(A,B).解解对上述函数,有若则若故,内积是A(x)与B(x)相等时的值,这时所以,可令A(x)=B(x),求13 设 A，BF (R)，A、B 均均为正正态型模糊集，其隶型模糊集，其隶属函数如属函数如图 所示ABCDE0ax*bx(图图) 正态型模糊集正态型模糊集 A、B 14其中不是最大值点,因此选故15命题 : 格格贴近度有以下性近度有以下性质：A,BF(U),(1) 0 L( A，B) 1， L(，U) = 0 ;(2) L( A，B) = L( B，A );(3) L( A，A) = Ah (Ab)C，特特别 Ah=1，Ab= 0 时, (1) L( A, A ) =1;(2)(4) 若若 A B C，则 L( A, C) L( A, B) L( B, C)(3)证明从略。明从略。164. 贴近度的其它表示方法贴近度的其它表示方法定定义: 可以用下列各公式定可以用下列各公式定义贴近度：近度：17182.3 F F模式识别的原则模式识别的原则-集对集集对集1. 择近原近原则-集对集集对集已知已知 n 个个标准模型准模型 ( 模糊集模糊集 ) ( 模型模型库 ) : A1，A2，An F (U)。待待识别对象（不是象（不是 U中的元素中的元素 u，而而）是是 U上的模糊集上的模糊集 BF (U)， 为F(U) 上的上的贴近近度，若度，若对 Ai 有有则认为 B 与与 Ai 最最贴近，判定近，判定 B 属于属于 Ai 一一类。19例例3： 一个公司在社会上的声誉是一个模糊概一个公司在社会上的声誉是一个模糊概念，它是由多个因素决定的。如公司的念，它是由多个因素决定的。如公司的 u1：管理水平；管理水平； u2：员工才能；工才能； u3：长期投期投资价价值；u4：财务健全；健全； u5：善用公司善用公司资产；u6：产品品/服服务质量。量。20 这样公司在社会上的声誉就可以看作是公司在社会上的声誉就可以看作是论域域 U =u1，u2，u3，u4，u5，u6 上的一个模糊集。上的一个模糊集。 现有有 4 个公司的个公司的 “声誉声誉” 模型模型 A1，A2，A3，A4，与其相与其相应的管理模式的管理模式为 D1，D2，D3，D4，以以及待及待识别的某公司的的某公司的 “声誉声誉” B。试用用择近原近原则识别 B 的管理模式。的管理模式。21指标指标类型类型u1u2u3u4u5u6管理模式管理模式A10.920.830.880.900.830.90D1A20.880.860.850.960.920.90D2A30.890.860.860.940.860.88D3A40.350.340.320.400.480.40D4B0.910.850.880.900.850.90？22假设用某一贴近度公式计算得：假设用某一贴近度公式计算得： ( A1, B； ( A2, B； ( A3, B； ( A4, B。根据择近原则根据择近原则，B 与与 A1 最贴近，即最贴近，即 B 与与 A1 采取的管理模式采取的管理模式最靠近。最靠近。232 最大隶属原最大隶属原则 点点对集集 问题的数学模型问题的数学模型 (1) 第一类模型：第一类模型：设在论域设在论域 U U上有若干模糊上有若干模糊集：集：A1，A2，AnF ( U)，将这些模糊集视为将这些模糊集视为 n 个标准模式，个标准模式，u u0 U 是待识别的对象，问是待识别的对象，问 u u0 应属于哪个标准模式应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ?24 (2) 第二类模型：第二类模型：设设 AF ( U )为标准为标准模式，模式，u u1, u2, , un U 为为 n 个待选择的个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个对象，问最优录选对象是哪一个 u ui (i =1，2， n ) ?25 最大隶属最大隶属(度度)原原则（第一（第一类模型）模型） 设 A1， A2，AnF ( U )， u0 U是待是待识对象，象，若若 Ai 满足条件足条件Ai (u0) = max A1(u0)，A2(u0)，An(u0) (3.5.1)则认为 u0 相相对隶属于隶属于 Ai。26 最大隶属最大隶属(度度)原原则（针对第二第二类模型）模型） 设 AF ( U ) 为标准模式，准模式，u1，u2，un U 为待待选对象，若象，若 ui 满足条件足条件A (ui ) = max A (u1)，A (u2)，A (un) 则 ui 为最最优录选对象。象。27例例4 4: 选择优秀考生。秀考生。设考考试的科目有六的科目有六门x1：政治：政治 x2：语文文 x3：数学：数学x4：理、化：理、化 x5：史、地：史、地 x6：外：外语考生考生为 y1，y2，yn，组成成问题的的论域域 Y = y1, y2, , yn。设 A = “优秀秀”，是，是 Y 上的模糊集，上的模糊集，A (yi) 是第是第 i 个学生隶属于个学生隶属于优秀的程度。秀的程度。给定定 A (yi) 的的计算方法算方法如下：如下：28式中式中 i =1, 2, , n 是考生的是考生的编号，号，j =1, 2, ,6 是考是考试科目的科目的编号，号， j 是第是第 j 个考个考试科目的科目的权重系数。重系数。 按按照最大隶属度原照最大隶属度原则，就可根据就可根据计算出的各考生隶算出的各考生隶属于属于“优秀秀”的程度（隶属度）来排序。的程度（隶属度）来排序。 例如若令例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5， 6= 0.7, 有有 四四个考生个考生 y1, y2, y3, y4，其考其考试成成绩分分别如下表如下表29表表 考生成考生成绩表表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y471856392638268898263956190849463859162877082708130则可以可以计算出算出于是于是这四个考生在四个考生在“优秀秀”模糊集中的排序模糊集中的排序为：y2, y4, y1, y3.31例例5：考考虑通通货膨膨胀问题。设论域域为 R+ = x R| x0，它表示价格指数的集合，将通，它表示价格指数的集合，将通货状状态分成分成 5 个个类型型（x 表示物价上表示物价上涨 x %)：通通货稳定定轻度通度通货膨膨胀32中度通中度通货膨膨胀重度通重度通货膨膨胀恶性通性通货膨膨胀33 当当 x0 = 8 时，即物价上即物价上涨率率为 8 %，我我们有有： A1， A2 ， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。此此时，通，通货状状态属于属于轻度通度通货膨膨胀。 当当 x0 = 40 时，即物价上即物价上涨率率为40 %，我我们有有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4， A5 。此此时，通，通货状状态属于属于恶性通性通货膨膨胀。