路边苦李路边苦李 王戎王戎7岁时，与小岁时，与小伙伴们外出游玩，看伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。王戎站在原地不动。王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李树在道边而多子，此必苦李。”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样他运用了怎样的推理方法的推理方法?1这与事实这与事实矛盾。矛盾。说明说明李子是甜的这个假设是错李子是甜的这个假设是错的还是对的的还是对的？假设假设李子不是苦的，即李子是甜的，李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗那么，树上的李子还会这么多吗？所以，所以，李子是苦的李子是苦的2 王戎的推理方法是王戎的推理方法是: 假设假设李子不苦李子不苦, 则则因树在因树在“道道”边边,李子早就被李子早就被别别 人采摘人采摘, 这与这与“多子多子”产生产生矛盾矛盾. 所以假设所以假设不成立不成立,李为苦李李为苦李.3探究探究1：为什么在三角形中最多有一个直角？为什么在三角形中最多有一个直角？你会证明吗？你会证明吗？假设假设在三角形中有两个直角，在三角形中有两个直角，则则这两个角的和就是这两个角的和就是180，再加上第三个，再加上第三个内角，就大于内角，就大于180了。了。这与这与三角形的内角和等于三角形的内角和等于180相矛盾相矛盾。因此，因此，假设直角三角形有两个内角是直角假设直角三角形有两个内角是直角是是不成立的不成立的。所以所以直角三角形中最多有一个直角。直角三角形中最多有一个直角。4这种证明方法与前面的证明方法不同，这种证明方法与前面的证明方法不同，它是先假设结论不成立它是先假设结论不成立(即结论的反面成即结论的反面成立立)，然后从这个假设出发，经过逐步推，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，得出与已知条件、学过的概念、理论证，得出与已知条件、学过的概念、已证明的定理或性质、基本事实矛盾的已证明的定理或性质、基本事实矛盾的结果，从而得到原结论的正确。象这样结果，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。的证明方法叫做反证法。探究探究1：掀起你的盖头来：掀起你的盖头来认识反证法认识反证法56用用反证法证题反证法证题的一般步骤：的一般步骤：（1 1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。探究探究2 2：深度挖掘：深度挖掘了解反证法了解反证法7名家情系反证法名家情系反证法 反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些“疑难疑难”问问题的有力工具。题的有力工具。 牛顿说：牛顿说：“反证法是数学家最精当反证法是数学家最精当的武器之一的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它：英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！全局拱手让给对方！”8在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求证：求证：B B C CA AB BC C证明：假设证明：假设，则则（）这与这与矛盾矛盾假设不成立假设不成立 B B C CABABACAC等角对等边等角对等边已知已知ABACABACB B C C 反证法的步骤：假设结论反面成立反证法的步骤：假设结论反面成立逻辑推理得出矛逻辑推理得出矛盾盾 否定假设肯定结论否定假设肯定结论尝试解决问题尝试解决问题感受反证法感受反证法9 求证：在一个三角形中，求证：在一个三角形中，最大的内角不小于最大的内角不小于6060。已知：已知：ABCABC求证：求证：ABCABC中最大的内角不小于中最大的内角不小于6060. .证明：假设证明：假设，则则。，即即。这与这与矛盾假设不成立矛盾假设不成立 ABCABC中最大的内角小于中最大的内角小于6060A60A60,B B6060, ,CC6060A+B+C180A+B+C180三角形的内角和为三角形的内角和为180180度度ABCABC中最大的内角不小于中最大的内角不小于6060. .A+B+A+B+C C6 60 0+60+60+60+60=180=180尝试解决问题尝试解决问题感受反证法感受反证法10已知：如图，直线已知：如图，直线a,b被直线被直线c所截，所截， 1 2求证：求证：ab1=2 (两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等)这与已知的这与已知的12矛盾矛盾假设不成立假设不成立证明：假设结论不成立，则证明：假设结论不成立，则abab小试身手小试身手运用反证法运用反证法11A A证明：假设证明：假设a a与与b b不平行，则不平行，则可设它们相交于点可设它们相交于点A A。 那么过点那么过点A A 就有两条直就有两条直线线a a、b b与直线与直线c c平行，这与平行，这与“过直线外一点有且只有一条过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行直线与已知直线平行”相矛相矛盾。盾。 假设不成立。假设不成立。 a/b. a/b. 已知：如图有已知：如图有a a、b b、c c三条直线，且三条直线，且a/c,b/c.a/c,b/c. 求证：求证：a/ba/babc(1)(1)你首先会选择哪你首先会选择哪一种证明方法一种证明方法? ?(2)(2)如果你选择反证如果你选择反证法法, ,先怎样假设先怎样假设? ?结果结果和什么产生矛盾和什么产生矛盾? ?再显身手再显身手巩固反证法巩固反证法12假假设设结结论论的的反反面面正正确确推理论证推理论证得出结论得出结论回顾与归纳回顾与归纳反设反设归谬归谬结论结论 得得出出矛矛盾盾（已已知知、公公理理、定定理理等等） 假假设设不不成成立立，原原命命题题成成立立.13写出下列各结论的反面：写出下列各结论的反面：（1）a/b（2）a0（3）b是正数是正数（4）aba0b是是0或负数或负数a不垂直于不垂直于ba b万事开头难，让我们走好第一步！万事开头难，让我们走好第一步！14常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：是是不是；存在不是；存在不存在不存在平行平行不平行；垂直不平行；垂直不垂直不垂直等于等于不等于；都是不等于；都是不都是不都是大于大于不大于；小于不大于；小于不小于不小于15探究4：我来告诉你（我来告诉你（经验之谈经验之谈） 1.存在性问题存在性问题2.否定性问题否定性问题3.唯一性问题唯一性问题4.至多、至少类问题至多、至少类问题5.一些基本命题、基本定理一些基本命题、基本定理哪些问题适宜用反证法总之，直接证明比较困难的命题总之，直接证明比较困难的命题大家议一议！16注意注意:用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。错误的。17 -德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法反证法，就象禁止拳击家使用拳头。 同学们，学了这节课，你们有何体会？ 反思中成长反思中成长收获反证法收获反证法18