第六章、随机第六章、随机样本与抽本与抽样分布分布 数理数理统计的的义务: : 察看景象察看景象, ,搜集搜集资料料, ,创建方法建方法, ,分析推断。分析推断。统计推断推断: : 研研讨如何利用一定的数据如何利用一定的数据资料料对所关所关怀的的问题作出尽作出尽能能够准确、可靠的准确、可靠的结论。 特点是特点是: :由由“部分推断部分推断“整体。整体。引言引言实验的设计与分析统计推断 总体体: :研研讨对象的全体象的全体( (整体整体) )。个体个体: :每一个研每一个研讨对象。象。6.1.1 6.1.1 总体体第第6.16.1节节 简单随机样本简单随机样本样本本: : 由部分个体构成的集合。由部分个体构成的集合。经常常说, ,来自来自( (或取自或取自 ) )某某总体的体的样本。本。样本具有二重性本具有二重性: : 在抽在抽样前前, ,它是随机向量它是随机向量, ,在抽在抽样后后, ,它是数它是数值向向量量( (随机向量的取随机向量的取值) )。 样本容量本容量: : 样本中所含个体的个数。本中所含个体的个数。6.1.26.1.2简单随机样本样本简单随机样本样本简单随机随机样本本(s.r.s):(s.r.s):具有两个特点的具有两个特点的样本本: : 代表性代表性( (组成成样本的每个个体与本的每个个体与总体同分布体同分布), ), 独立性独立性 ( (组成成样本的个体本的个体间相互独立相互独立) )。 如如, ,检验一批灯泡的一批灯泡的质量量, ,从中从中选择100100只只, ,那么那么总体体: :这批灯泡的批灯泡的质量量个体个体: :这批灯泡中的每一只的批灯泡中的每一只的质量量样本本: :抽取的抽取的100100只灯泡只灯泡( (简单随机随机样本本) )的的质量量样本容量本容量:100:100样本本检验值: x1,x2,x100: x1,x2,x100X XX1,X2,X100X1,X2,X100100100样本本值 定定义: :设X X为一随机一随机变量量,X1,X2,Xn,X1,X2,Xn是一是一组独立且与独立且与X X同分布的同分布的随机随机变量量, ,称称X X为总体体; ;(X1,X2,Xn)(X1,X2,Xn)为来自来自总体体X X的的简单随机随机样本本; ;n n为样本容量本容量; ;每一个每一个xi(i=1,2,n)xi(i=1,2,n)称称为样本的一个本的一个观测值; ;在依次在依次观测中中, ,样本的本的详细观测值x1,x2,xnx1,x2,xn称称为样本本值. .留意留意: :样本是一本是一组独立同独立同总体分布的随机体分布的随机变量量. .样本的分布样本的分布统计的普通步的普通步骤:总体总体选择个体选择个体样本样本观测样本观测样本样本察看值样本察看值 (数据数据)数据处置数据处置样本有关结论样本有关结论推断总体性质推断总体性质 统计量统计量6.2 6.2 统计量量1 1、定、定义: :设X1,X2,XnX1,X2,Xn是来自是来自总体体X X的一个的一个样本本, , 是是样本的函数本的函数, ,假假设 中不含任何未知参数中不含任何未知参数, ,那么称那么称 为统计量量. .是来自总体是来自总体例例4.1.1 4.1.1 设设 未知,那么( )不是统计量。的的s.r.s,s.r.s,其中其中知知, , 样本均本均值 2 2、常用、常用统计量量: : 样本方差本方差( (修正修正) ) 样本本规范差范差 样本本k k阶原点矩原点矩 样本本k k阶中心矩中心矩顺序序统计量量设X1,X2,XnX1,X2,Xn的察看的察看值为x1,x2,xn,x1,x2,xn,从小到大排序得从小到大排序得到到: x(1),x(2),x(n), : x(1),x(2),x(n), 定定义 X(k)=x(k), X(k)=x(k), 由此得到的由此得到的(X(1),X(2),X(n)(X(1),X(2),X(n)或它或它们的函数都称的函数都称为顺序序统计量量. .显然然X(1) X(2) X(n)X(1) X(2) X(n)1) 1) 样本中位数样本中位数2) 2) 样本极差样本极差R= X(n)- X(1)R= X(n)- X(1)3 3、较常用的顺序统计量、较常用的顺序统计量3 3样本分布函数样本分布函数( (阅历分布函数阅历分布函数) )格里汶科定理格里汶科定理: :设总体设总体X X的分布是的分布是F(x),F(x),那么下式成立那么下式成立第第6.36.3节节 抽样分布抽样分布统计量的分布称量的分布称为抽抽样分布分布. .6.3.1 6.3.1 样本均值的分布样本均值的分布定理定理1.1.设X1,X2,XnX1,X2,Xn是来自是来自总体体 的的样本本, , 是是样本均本均值, ,那么有那么有注注: :在大在大样本本问题时, ,由中心极限定理知由中心极限定理知 留意：留意：1、两个独立的正、两个独立的正态分布的随机分布的随机变量的和仍服从正量的和仍服从正态分布分布.即即:假假设X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2独立独立,那么那么X1+X2N(1+ 2,12+ 22)正正态分布的可加性分布的可加性2、有限个独立的正、有限个独立的正态分布的分布的线性函数仍服从正性函数仍服从正态分布分布.即即:假假设XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互独立相互独立,实数数a1,a2,.,an不全不全为零零,那么那么z 1-X(x)规范正范正态分布及其分布及其100 %分位数分位数定定义:设XN(0,1),对恣意恣意01,假假设PX=,那么称那么称为规范正范正态分布的分布的100 % 分位数分位数, 记为z例例6.3.1 6.3.1 设XN(0,1), XN(0,1), 分分别为0.95,0.975,0.75,0.95,0.975,0.75,求求X X关关于于的的100 %100 %分位数分位数. .解解: =0.95 时,反反查表得表得:z0.95=1.645类似可得似可得:z0.975=1.96, z0.75=0.67 分布及其性质分布及其性质1.1.定义定义: :6.3.26.3.22.2.性性质: : 例例6.3.1 设设 是来自总体是来自总体 的的s.r.s,那么那么 服从服从( )分布。分布。例例 6.3.2 6.3.2 设设 是取自总体是取自总体N (0,4)N (0,4)的的s.r.s, s.r.s, 当当a= , b= a= , b= 时时, , 解解: : 由由题意得意得a =1/20b=1/1003. 3. 的密度曲线的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着随着n n的增大的增大, ,密度曲密度曲线逐逐渐趋于平于平缓, ,对称称. .定义定义:Xf(x)查表求分位数表求分位数:(1)假假设P(X)=,那么那么4. 4. 分布的分布的100 % 100 % 分位数分位数解解: 查表得表得:查表得表得:例例6.3.2. 设 X (10), P(X2)=0.95, 求求1,2.6.3.3 t 6.3.3 t 分布及其性质分布及其性质1.1.定义：定义： 特点: 关于y轴对称;随着自在度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于规范正态密度曲线.2.t2.t分布的密度曲分布的密度曲线: :Xf(x)3. t分布的分布的100%分位数分位数:Xf(x)例例6.3.3 设Xt(15),求求 =0.975 =0.005的分位数的分位数;解解: =t0.975(15),查表得表得=2.1315 =t0.005(15),查表得表得=-2.9467例例4.1.7(974) 4.1.7(974) 设随机变量设随机变量 X X 和和 Y Y 相互独立且都服从正态分相互独立且都服从正态分布布 , ,而而 和和 分别是来自分别是来自总体总体 X X 和和 Y Y 的的 s.r.s, s.r.s,那么统计量那么统计量 服从服从( )( )分分布布, ,参数为参数为( ).( ). t t9 9解解:故故 与与 独立独立,所以所以 6.3.4 F 6.3.4 F 分布及其性分布及其性质1.1.定定义2.性性质:3.F3.F分布的密度曲分布的密度曲线4.F4.F分布的分布的100%100%分位数分位数xf(x)5. 5. 分位数的分位数的计算算(1)假假设P(F)=,当当 较大那大那么么(2)假假设P(F)=(比比较小小),那么那么P(1/F1/)=1-,故故例例6.3.4 6.3.4 设F (24,15),F (24,15),分分别求求满足足 (2)=F0.975(24,15) (2)=F0.975(24,15)=2.70(3)P(X1/)=0.025所以所以=0.41=2.29解解(1) =F0.95(24,15)思索思索题： 6.3.5 6.3.5 正正态总体中其它几个常用的分布体中其它几个常用的分布定理定理6.3.3 6.3.3 设 是来自是来自总体体 的的 s.r.s, s.r.s, 分分别是是样本均本均值和和样本方差本方差, ,那么那么 定理定理6.3.4 6.3.4 设设 是来自总体是来自总体 的的 s.r.s, s.r.s, 分别是样本均值和样本方差分别是样本均值和样本方差, ,那么那么 其中：其中：那么有那么有引理：引理：设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立相互独立,从中分从中分别抽抽取容量取容量为n1,n2的的样本本,样本均本均值分分别记为求：求：例例6.3.5 (993) 6.3.5 (993) 设 是来自正是来自正态总体体 X X 的的s.r.s,s.r.s,证明明统计量量 Zt (2)例例6.3.6(994) 6.3.6(994) 设 是来自是来自总体体的的s.r.s, s.r.s, 是样本均值是样本均值, ,记记那么服从自在度那么服从自在度为 n-1 n-1 的的 t t 分布的随机分布的随机变量是量是( )( )1 1一枚均匀铜币，最少需抛掷多少次才干保证其正面出现一枚均匀铜币，最少需抛掷多少次才干保证其正面出现的频率介于的频率介于0.40.4和和0.60.6之间的概率不小于之间的概率不小于90%90%。试用。试用ChebyshevChebyshev不等式以及不等式以及De Moivre-LaplaceDe Moivre-Laplace中心极限定理分别计算同一中心极限定理分别计算同一问题。问题。250，685 5、某商店担任所在地域、某商店担任所在地域10001000人的商品供应，人的商品供应，某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.60.6，假定在这一段时间内个人购买与否彼此无关，假定在这一段时间内个人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才干以问商店应预备多少件这种商品，才干以99.7%99.7%的的概率保证不会脱销。概率保证不会脱销。 64364319.1)