第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 动量矩定理动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理实际问题实际问题引言引言引言引言 均质轮受外力作用而绕均质轮受外力作用而绕其质心其质心O作定轴转动，它有作定轴转动，它有角速度和角加速度。轮的动角速度和角加速度。轮的动量：量：外力的矢量和为：外力的矢量和为： 这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动的运动。轴转动的运动。引言引言1 质点的动量矩质点的动量矩 质质点点Q的的动动量量对对于于点点O的的矩矩，定定义义为为质质点点对对于于点点O的动量矩，是矢量的动量矩，是矢量12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r 质质点点动动量量 mv 在在 oxy 平平面面内内的的投投影影(mv)xy对对于于点点O的的矩矩，定定义义为为质质点点动动量量对对于于z轴轴的的矩矩，简简称称对对于于z轴轴的的动动量矩，是代数量量矩，是代数量 类类似似于于力力对对点点之之矩矩和和力力对对轴轴之之矩矩的的关关系系，质质点点对对点点O的的动量矩矢在动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对轴上的投影，等于对 z 的动量矩。的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是在国际单位制中，动量矩的单位是 kgm2/s。 方向：方向： 是代数量，它的正负可以通过右手定则判是代数量，它的正负可以通过右手定则判断；即：手心握转动轴坐标轴），四指的指向为质点动量的断；即：手心握转动轴坐标轴），四指的指向为质点动量的方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相同为正、相反为负。同为正、相反为负。 12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。质质点点系系对对某某点点O的的动动量量矩矩等等于于各各质质点点对对同同一一点点O的的动动量量矩矩的的矢量和。矢量和。2 质点系的动量矩质点系的动量矩质质点点系系对对某某轴轴 z 的的动动量量矩矩等等于于各各质质点点对对同同一一 z 轴轴的的动动量量矩矩的的代数和。代数和。质质点点系系对对某某点点O的的动动量量矩矩矢矢在在通通过过该该点点的的 z 轴轴上上的的投投影影，等等于质点系对该轴的动量矩。于质点系对该轴的动量矩。12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩3 平动刚体的动量矩平动刚体的动量矩刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。质点计算其动量矩。对轴的：对轴的：对点的：对点的：12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩定轴转动刚体对转动轴的动量矩令令 Jzmiri2 称为刚体对称为刚体对 z 轴的转动轴的转动惯量惯量, 于是得于是得即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩例例1 均均质质圆圆盘盘可可绕绕轴轴O转转动动，其其上上缠缠有有一一绳绳，绳绳下下端端吊吊一一重重物物A。若若圆圆盘盘对对转转轴轴O的的转转动动惯惯量量为为J，半半径径为为r，角角速速度度为为w，重重物物A的的质质量量为为m，并并设设绳绳与与原原盘盘间无相对滑动，求系统对轴间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。的动量矩。解：解：LO的转向沿逆时针方向。的转向沿逆时针方向。12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一固定轴的动量矩为：固定轴的动量矩为：即：其对即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动时对该轴的动量矩之和。时对该轴的动量矩之和。5 平面运动刚体的动量矩平面运动刚体的动量矩12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 刚体对轴刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量与该质点到轴与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即的垂直距离的平方乘积的算术和。即对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式 由由定定义义可可知知，转转动动惯惯量量不不仅仅与与质质量量有有关关，而而且且与与质质量量的的分分布布有有关关；在在国国际际单单位位制制中中，转转动动惯惯量量的的单单位位是是: kgm2。同同一一刚刚体体对对不不同同轴轴的的转转动动惯惯量量是是不不同同的的，而而它它对对某某定定轴轴的的转转动动惯惯量量却却是是常常数数。因因此此在在谈谈及及转转动动惯惯量量时时，必必须须指指明明它它是是对对哪哪一一轴轴的的转动惯量。转动惯量。6 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 1. 均质细杆均质细杆z1dxxxCzdxxxOl 设设均均质质细细杆杆长长 l，质质量量为为m，取微段，取微段 dx, 那么那么一、简单形状刚体的转动惯量一、简单形状刚体的转动惯量12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 2. 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量均质薄圆环对于中心轴的转动惯量设细圆环的质量为设细圆环的质量为m，半径为，半径为R。那么。那么3.均质圆板对于中心轴的转动惯量均质圆板对于中心轴的转动惯量设设圆圆板板的的质质量量为为m，半半径径为为R。将将圆圆板板分分为为无无数数同同心心的的薄薄圆圆环环，任任一一圆圆环环的的质质量量为为dm2rdr ( m/R2 ), 于于是是圆圆板板转转动动惯惯量量为为12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 在在工工程程上上常常用用回回转转半半径径来来计计算算刚刚体体的的转转动动惯惯量量，其其定定义义为为如果已知回转半径，则物体的转动惯量为如果已知回转半径，则物体的转动惯量为 回回转转半半径径的的几几何何意意义义是是：假假想想地地将将物物体体的的质质量量集集中中到到一一点点处处，并并保保持持物物体体对对轴轴的的转转动动惯惯量量不不变变，则则该该点点到到轴轴的的距距离离就等于回转半径的长度。就等于回转半径的长度。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。二、回转半径二、回转半径(惯性半径惯性半径)12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 定定理理：刚刚体体对对于于任任一一轴轴的的转转动动惯惯量量，等等于于刚刚体体对对于于通通过过质质心心、并并与与该该轴轴平平行行的的轴轴的的转转动动惯惯量量，加加上上刚刚体体的的质质量量与两轴间距离平方的乘积，即与两轴间距离平方的乘积，即三、平行移轴定理三、平行移轴定理 由由定定理理可可知知：刚刚体体对对于于所所有有平平行行轴轴的的转转动动惯惯量量，过质心轴的转动惯量最小。过质心轴的转动惯量最小。12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 例例2 如如下下图图，已已知知均均质质杆杆的的质质量量为为m，对对 z1 轴轴的的转转动动惯惯量量为为J1，求杆对，求杆对z2 的转动惯量的转动惯量J2 。解：由解：由 ，得，得(2)(1)得得zz1z2abC12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 例例3 均质直角折杆尺寸如图，其质量为均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴求其对轴O的转动惯量。的转动惯量。解：解：12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩圆盘对过其质心轴的转动惯量：圆盘对过其质心轴的转动惯量：杆对过点杆对过点O的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得：12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩例例4 求对轴求对轴O的转动惯量的转动惯量一、质点的动量矩定理一、质点的动量矩定理质质点点对对某某定定点点的的动动量量矩矩对对时时间间的的一一阶阶导数，等于作用力对同一点的矩。导数，等于作用力对同一点的矩。12.2 动量矩定理动量矩定理 将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得的动量矩的关系代入，得质质点点对对某某固固定定轴轴的的动动量量矩矩对对时时间间的的一一阶阶导导数数等等于于质质点点所所受受的的力对同一轴的矩力对同一轴的矩12.2 动量矩定理动量矩定理 设设质质点点系系内内有有n个个质质点点，作作用用于于每每个个质质点点的的力力分分为为外外力力Fi(e) 和内力和内力Fi(i) 。由质点的动量矩定理有。由质点的动量矩定理有这样的方程共有这样的方程共有n个，相加后得个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理12.2 动量矩定理动量矩定理上式左端为上式左端为于是得于是得质质点点系系对对某某固固定定点点O的的动动量量矩矩对对时时间间的的导导数数，等等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。12.2 动量矩定理动量矩定理在应用质点系的动量矩定理时，取投影式在应用质点系的动量矩定理时，取投影式质质点点系系对对某某固固定定轴轴的的动动量量矩矩对对时时间间的的导导数数，等等于于作作用用于于质质点点系系的的外外力力对对于于同同一一轴轴的的矩矩的的代代数数和。和。12.2 动量矩定理动量矩定理1. 质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律如如果果作作用用在在质质点点上上的的力力对对某某定定点点(或或定定轴轴)之之矩矩恒恒等等于于零零，则则质质点点对对该该点点(或或该该轴轴)的的动动量量矩矩保保持持不不变。变。三、三、 动量矩守恒定理动量矩守恒定理当当外外力力对对于于某某定定点点(或或某某定定轴轴)的的主主矩矩等等于于零零时时，质点系对于该点质点系对于该点(或该轴或该轴)的动量矩保持不变。的动量矩保持不变。2. 质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律假设：假设： 那么那么 （常矢量）（常矢量）假设：假设： 那么那么 （常量）（常量）12.2 动量矩定理动量矩定理例例5 一一绳绳跨跨过过定定滑滑轮轮，其其一一端端吊吊有有质质量量为为 m 的的重重物物A，另另一一端端有有一一质质量量为为m的的人人以以速速度度u 相相对对细细绳绳向向上上爬爬。若若滑滑轮轮半半径为径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。解：以系统为研究对象，受力如图。解：以系统为研究对象，受力如图。设设重重物物A上上升升的的速速度度为为v，则则人人的的绝绝对对速速度度va的大小为的大小为由于由于MO(F (e)0，且系统初始静止，所以，且系统初始静止，所以LO0。 由由上上可可知知，人人与与重重物物A具具有有相相同同的的的的速速度度，此此速速度度等等于于人人相相对对绳绳的的速速度度的的一一半半。如如果果开开始始时时，人人与与重重物物A位位于于同同一一高高度度，则则不不论论人人以以多多大大的的相相对对速速度度爬爬绳绳，人人与与重重物物A将将始始终终保保持持相相同同的高度。的高度。uvavevmgmguAOFOxFOy12.2 动量矩定理动量矩定理 设设刚刚体体绕绕定定轴轴 z 以以角角速速度度w 转动，那么转动，那么 Lz Jzw。12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程刚体绕定轴转动的转动微分方程xyzFN1FN2FnF1F2刚刚体体受受到到主主动动力力和和轴轴承承约约束束反反力力，如如不不计计摩摩擦擦，则则由由质质点点系系动量矩定理得动量矩定理得或或刚刚体体对对定定轴轴的的转转动动惯惯量量与与角角加加速速度度的的乘乘积积，等等于于作作用用于于刚刚体体上上的的主主动动力力对对该该轴轴的的矩矩的的代代数数和和。以以上上各各式式均均称称为为刚刚体体绕绕定定轴轴转转动动的的微微分分方方程程。应应用用刚刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程刚体绕定轴转动的转动微分方程 此形式与牛顿第二定律类似。此形式与牛顿第二定律类似。例例6 如如下下图图，已已知知滑滑轮轮半半径径为为R，转转动动惯惯量量为为J，带带动动滑滑轮轮的皮带拉力为的皮带拉力为F1和和F2 。求滑轮的角加速度。求滑轮的角加速度a 。解：由刚体定轴转动的微分方程解：由刚体定轴转动的微分方程于是得于是得 由由上上式式可可见见，只只有有当当定定滑滑轮轮匀匀速速转转动动包包括括静静止止或或虽虽非非匀匀速速转转动动，但但可可忽忽略略滑滑轮轮的的转转动动惯惯量量时时，跨跨过过定定滑滑轮轮的皮带拉力才是相等的。的皮带拉力才是相等的。F1F2ORa12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程刚体绕定轴转动的转动微分方程 质质点点系系相相对对于于质质心心的的动动量量矩矩对对时时间间的的一一阶阶导导数数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。等于作用于质点系的外力对质心的主矩。质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理12.4* 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 设设作作用用在在刚刚体体上上的的外外力力可可向向质质心心所所在在平平面面简简化化为为一一平平面面力力系系，由由质质心心运运动动定定理理和和相相对对质质心心的的动动量量矩矩定理得定理得上式也可写成上式也可写成yxxyOCD12.5* 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程以以上上两两式式称称为为刚刚体体平平面面运运动动微微分分方方程程。应应用用时时，前前一式取其投影式。即一式取其投影式。即12.5* 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程THETHEENDEND谢 谢！