2.2.1 双曲线及其双曲线及其 标准方程标准方程引入：引入：生活中的美丽曲线生活中的美丽曲线双曲线双曲线北京摩天大楼北京摩天大楼巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂法拉利主题公园法拉利主题公园 双曲线双曲线, ,让我们的生活更美丽让我们的生活更美丽! !那么数学中的双曲那么数学中的双曲线是怎样一种曲线呢？让我们一起来探究吧！线是怎样一种曲线呢？让我们一起来探究吧！自然通风冷却塔自然通风冷却塔花瓶花瓶1.回顾椭圆的定义？回顾椭圆的定义？探索研究平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的的距离的和距离的和等于常数（大于等于常数（大于F1F2）的点轨迹叫做椭圆。）的点轨迹叫做椭圆。思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹 ”是什么？画双曲线画双曲线演示实验：用拉链画双曲线演示实验：用拉链画双曲线如图如图如图如图(A)(A)， |MF |MF1 1| |- - - -|MF|MF2 2|=|F|=|F2 2F|=2F|=2a a如图如图如图如图(B)(B)，上面上面上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线由由由由可得：可得：可得：可得： | |MF | |MF1 1| |- - - -|MF|MF2 2| | = 2| | = 2a a （差的绝对值）差的绝对值） |MF |MF2 2| |- - - -|MF|MF1 1|=|F|=|F1 1F|=2F|=2a a根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？ 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的和为一个定的距离的和为一个定值（大于值（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距. 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数等于常数 （小于（小于F1F2） 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.注意注意| |MF1| - |MF2| | = 2a(1)(1)距离之差的距离之差的绝对值绝对值(2)(2)常数要常数要小于小于|F|F1 1F F2 2| |大于大于0 002a2c回忆椭圆的定义回忆椭圆的定义2.2.双曲线的定义双曲线的定义F1 1o2 2FM即即0a0）,F1(-c,0),F2(c,0)F1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，线轴，线段段F1F2的中点为原点建立直角坐标的中点为原点建立直角坐标系系1. 建系建系. .2.设点设点3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？4.4.化简化简. .3.3.双曲线的标准方程双曲线的标准方程令令c c2 2a a2 2=b=b2 2 （b0b0）yoF1M此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程两边同时平方，移项两边同时平方，移项F2 2F1 1MxOyOMF2F1xy双曲线的标准方程双曲线的标准方程焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程| |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。答案：答案：题后反思：题后反思：先把非标准方程先把非标准方程化成标准方程，化成标准方程，再判断焦点所在再判断焦点所在的坐标轴。的坐标轴。【提升总结提升总结】求双曲线标准方程的步骤：求双曲线标准方程的步骤：（1 1）确定焦点的位置）确定焦点的位置. .（2 2）设出双曲线的标准方程）设出双曲线的标准方程. .（3 3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a a，b b的值，写出双曲线的标的值，写出双曲线的标准方程准方程. .P47P47例例1.1.根据下列条件求双曲线的标准方程：根据下列条件求双曲线的标准方程：（1 1）两个焦点的坐标分别是）两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0)(-5,0),(5,0)，双曲线，双曲线上的点与两焦点的距离的差的绝对值等于上的点与两焦点的距离的差的绝对值等于8.8.因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在 x x 轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：因为因为c =5, 2a = 8,所以所以a a = 4= 4所以所以b b2 2 = c= c2 2-a-a2 2=5=52 2-4-42 2 =9=9所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：解：解：(2)(2)两个焦点的坐标分别是两个焦点的坐标分别是(0,-6),(0,6)(0,-6),(0,6)，且双曲线，且双曲线过点过点A A（-5,6-5,6）. .因为双曲线焦点在因为双曲线焦点在y y轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：解得：解得：a a2 2 = 16, b= 16, b2 2 = 20, = 20,所以所以a a2 2+b+b2 2 = = c c2 2 =36.=36.所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：解：解：由已知得由已知得c=6,c=6,又因为点又因为点A A（-5,6-5,6）在双曲线上）在双曲线上, ,待待定定系系数数法法P47P47例例1 1由已知得由已知得c=6c=6，且焦点在，且焦点在y y轴上，轴上，所以所以b b2 2 = = c c2 2 - -a a2 2=6=62 2 -4-42 2=20.=20.所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：另解：另解：得得a a=4,=4, 又因为点又因为点A A（-5,6-5,6）在双曲线上）在双曲线上, ,所以点所以点A A与两焦点与两焦点的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于2 2a,a,定义法定义法变式练习变式练习2、写出适合下列条件的双曲线的标准方程、写出适合下列条件的双曲线的标准方程 (1) a =4，b=3，焦点在，焦点在 x 轴轴上上； (2) a =3，c=5，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（ 0 ，-6）和（）和（ 0 ，6），并且经），并且经 过点过点P（ 2 2 ，-5）.解解： 因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在y轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为 c=6，且 c2= a2 + b2 36= a2 + b2 又又双曲线经过点双曲线经过点 联立联立可求得：可求得：双曲线的双曲线的标准方程为标准方程为 (法一法一)或待定系数法(法二法二) 因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的轴上，所以设它的标准方程为标准方程为由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为定义法解：解：提醒：提醒：求点的轨迹方程时，要结合具体的情况剔除不求点的轨迹方程时，要结合具体的情况剔除不满足条件的点满足条件的点.【变式练习变式练习】